Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 29
Текст из файла (страница 29)
ся формулой Р(е) = | е "((е) йе. Найти Р(р), если: а) Я~) = 1", б) )(~) . е'"'; в) Я(~) = аш ~3г„г) Д~) = сов ~Ы~. 2276. Пользуясь Формулой 1 х дх= — (и>О), вычислить интеграл х 1п х (1х. 2277":. Пользуясь формулой ~ ~1 е~ М= — (р>О), Р вычислить интеграл ~е" ог. о Применяя дифференцирование по параметру, вычислить следующие интегралы." 2272. | ' "* ' "" Ох (а > О, О > О). 2279. | е * е!птхйх (и > О, О > О). х о 222О ( еееяВих 3 х(1+ хз) 222). | )"( — ' — "'*') Ех (~и~ < и.
х~л:х1 2282. | е '— '"~~ ех (и > О). Вычислить следующие несобственные интегралы." Оа юс 1 уе 2285. ~ — ~, где 8 — область, определяемая неравенствами Г ЫхИ х4+Р2' (3~ 5 9. Крив«)ли)«ейные интегралы Рис, 101, ь 9. Криволинейные интегралы 1( )ын ~(у Дх„д,.) Л 8. = Дх, у) «)а а — "" айви« Глава У11, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЖЙПЬИ ИНТЕГРАЛЫ 2286"'*. «)х 1 ", (а > О). (х2 ) у2 ( а2)2 0 0 2287. Ннтеграл Эйлера — ХХуассона, определяемый формулой Х = е х дх, может быть записан также в виде Х = е-)~' Йу.
Пе- 0 0 РЕМНОЖаи ЭТИ ФОРМУЛЫ И ПЕРЕХОДЯ ЗаТЕМ К ПОЛЯРНЫМ КООРДИНатамт вычислить Х. е)е) «к~ <тр 2288. Вычислить дх ду с«2 (х2+ у2+ 22 т 1)2 Исследовать на скоднмость несобственные двойные инте~ ралы*, 2, 2 2289д+. 1П Х2+у2 с(Хс(у, ГдЕ 8 — КруГ Х + у ~ 1, «$) 2290.
~ ~" ~",, где с) — область, определяемая неравенством .) (х2-" у2)" (ь') х + у ~ 1 (~внешность» круга). 2291». ( ( — '-" — ~-, где Я вЂ” квадрат )х) й 1, )р( е 1. ' З З зтт(х .р)з ' 2292. ~ " ' ~, где р' — Область, определяемая неравен° ) (Х2 з. у2.(. 22)й ' ««) 2 2 2 стном х + у + л:э 1 (~внешность» шара). 1'.Криволинсйпый интеграл первого типа. Пусть Дх, у) — непрерывная функция, у — «()1а х - 61 — некоторая гладкая кривая С.
Построим систему гочек ЛХ,.(х(, у,.) (1 = О, 3, 2, ..., л), разбивающих кривую С на элементарные дуги М, 1ЛХ, = Ь г,, и составим интегральную сумку 2„' ~~) )(х,, (р,)аз,.))релиз атейетыыы ври а - и шах аз -О иазетиаентси ты1 )з«Ри ВОЛИ 1«вйй Ы.И И ит82рал(з))«П(Сртзеа«) Шизе «з (с(» — дифференциал дуги) и вычисляется по формуле Х(х, у) «Ь = Х(х, «р(х)) 1+ («()'(х))2 с(х. с В случае параметрического зздания кривой С: х = «р(~), у =- ))((2) (с«< 2 - р1 имеем х Лх у) 42 = ФФ) МФ «р'2(2)+«(«'2(2) Йг.
(й Ф 4 'й (х+ у) с«в, Ф Ф С Рассматривают также криволинейные интегралы первого типа от функции трех переменных Дх, у, г), взятые по пространственной кривой, которые вычисляются аналогично. Криволинейный интеграл первого типа не зависит от )«алраелс'нил пути инт«(грироваиил; если подынтегральную функцию Х интерпретировать как линейную плотность кривой интеграции С, то ар«от интеграл представляет собой массу кривой С. П р и м с р 1, Вычислить криволинейный интеграл где С вЂ” контур треугольника А.оО с вершинами А(1; О), 8(О; 1) н О(0; О) (рис. 101).
Решен не, Здесь уравпениеАВ:у= 1 — х, уравнение ОВ: х = О, уравнение ОА: у = О, Поэтому будем иметь (х+у)сЬ= (х+у)сЬ+ (х+у)дг ~ 2 1 1 ~ (х т р) аз = ~ .2 йх е ~ р ар ~ хах -,)2 +1. с)л 0 0 0 2', Кр и вол и пейн ы Й интеграл второго т н и а. Если Р(х,у) и Я(х, у) — непрерывные функции, у = «()(х) — гладкая кривая С, пробегаеМа«Я ПРИ ИЗМЕНЕПНИ Х От а ДО Ьт тО СООтастетВУ«ОЩИЙ «Сриееяи)«Ейный иитс2- рал второго типа выражается следующим образом." Р (х, у) «Ь + 4)(х, у) йу ~Р(х, «р(х)) + «р'(х)Щх, (р(х))1«)х.
В более общем случае, когда кривая С задана парамстрически: х = «()(~), у - )~1(1), где 2 изменяется от с«до р, имеем И(х, у) «)х .- Ю(х, у) с)у = ~Р(ЧФ, Ч(~)«р'(2) ~ ФФ2), Ч(Ф)«(«'(~)1 д2- ( 3 9. Криволинейяь(е интегралы или о 0 Р Дх + 9 ду = — — — Дх Ду, Глаза УП. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Апалогичиые Формулы справедливы для криволинейного интеграла второщ: типа, взятого по пространственной кривой, Криволинейный интеграл второго типа меняет свой знак на обратный при изменен и и пап рая лен и я пути и н тегри. р о в а н и я.
Механически этот интеграл можно интерпретировать как ра боту соответствующей переменной силы (Р(х, у), 9(х, уЦ вдоль кривой ии теграции С. П р и и е р 2. Вычислить криволинейный интеграл где С вЂ” верхняя половина эллипса х = а соз 1, у = Ь е(п г, пробегаемая по' часовой стрелке.
Р е ш е н и е. Имеем у Йх+х ду= 1Ь з(п 1 (-аз(п~)+а соз Ф ЬсозТ)дг о 0 = -аЬ ~ з1п ~ д~ + а Ь~ соз ~ Д» -аЬ . 3 . 3 3 г 3 4 3 3 3', С л у ч а й и о л н О г о д н Ф Ф е р е н ц и а Л а. Если подынтеграль-.: ное выражение криволинейного интеграла второго типа есть полный: дифференциал некоторой однозначной Функции У = У(х, у), т. е. Р(х, у) Дх+ Щх, у) Ду ° ЙУ(х, у), то этот криволинейный интеграл не зависит'.. от пути интегрирования и имеет место формула Ньютона — Лейбница (хв, ((в) с Р(х, у) дх + Щх, у) Йу =!У(хз, у ) — (.((х,, у,), (1):» (х,; р,( где (х~»' у() — начальная и (хз', уз) — конечная ТОчки пути.
В частности» если' контур интегрирования С замкнут, ТО Р(х„у) Дх + Р(х, у) Ду О. (2) Если 1) контур интегрирования С содержится целиком внутри некоторой односвязной области Я и 2) Функции Р(х, у) и Щх, у) вместе со своими ча-" стныии производными 1-го порядка ненрерывны в области Я» то необходи-' мым и достаточным условием для существования функции 1( является тождественное выполнение в области 8 равенства ЭЯ ЭР (3 дх ду (см. $ 8 гл. У1), При невыполнении условий 1) и 2) соотношение (3) еще гарантирует существования однозначной функции У и Формулы (Ц и ( могут оказаться неверными (см.
задачу М 2332), Укажем способ нахождени Функции 1((х, у) по ее полному диФФеренциалу, основанный па испол зовании криволинейных интегралов (т. е. еще один способ интегрировани полного диФФеренциала). За контур интегрирования С возьмем ломаную Р„Р М (рис.
102), где Ро(ху уо) — ФиксирОванная точка М(х~ у) — пеРеменнал точка. 'Хогда вдоль РОР1 имеем У = Уо и Ду = О, а вдоль Р,М имеем дх О. Получаем ('"(х. у) - (~(хо уо) - Р(х. у) дх+ Фх* у) ду = (хв' ув» О Аналогично, интегрируя по ломаной Р Р М, име Р(х, У) — У(хо, У„) = 9(хо, У)ДУ+ Р Мв "в П р и и е р 3, (4х + 2у) дх + (2х — бу) ду ° д(,(.
Н Р е ш е н и е. Здесь Р(х, у) = 4х+ 2у и Щх, у) = 2х (3), очевидно, выполнено. Пусть х„= О, у„= О, Тогд У(х, у) = 4хдх + (2х — бу) ду + С = 2х о О у(х, у) - — бу ду + (4 + 2у) д, + С - — 3у~ где С - У(0; О) — произвольная постоянная. 4', Формула Грина для пл О скости. Если С вЂ” границаобласти Ж и функции Р(х, у)„ЩХ, у) непрерывны, вместе со своими частными производными 1-го порядка, в замкнутой области Я+ С, то справедлива формула Грина где обход контура С выбирается так, чтобы область Я оставалась слева, 5', Приложения криволинейных и нтегралов. 1)ПЛО(4адь, ограниченная замкнутым контуром С, равна с с (направление обхода контура выбирается обратным движению часовой стрелки) Глава УП.
КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $9. Криволинейные интегралы Более удобна для приложений следующая формула пл()щади; Ь вЂ” у (х Йу — уйх) - — (~ х Й~~~. с 2) Рабо)т)а силы, имеющей проекции Х = Х(х, у, г), У 1(х, у, г), Я Я(х, у, г» (или соответственно работа силового поля), вдоль пути С выражается интегралом Если существует Функция У функция) такаят что дС вЂ” =Х дх = У(х, у, г) (потенциальная или силовая то работа, независимо ()т вида пути С, равна (хт Ут «в» ('в У««т) я.
() '+ у ~у+ у() = д«уу = у(х г ) — (.у'(х у г ) (дрУ( «~) ~ха Уе д() где (х, у,, г,) — начальная, (х, у, х ) — конечная точки пути. А. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕ ВОГО ТИПА Вычислить следующие криволинейные интегралы: 2293. ) хрот, тда С вЂ” контур квадрата(х~ .> ~у~ = а (а > 0). 3,' 2294., где С вЂ” огреэок прямой, соединяющей точки («в хтт«2та О(О; О) и А(1; 2). '4 ' х2 тх 2295. ~ ху (2э, где С вЂ” четверть эллипса — + .— = 1, лежащая в а2 Ь2 первом квадранте. 2 2296. ~ у" дэ, где С вЂ” первая арка циклоиды х = а(« — а1п «), ~ у = а(1 — соэ «).
2297. х2+ у2 йв, где С вЂ” дуга развертки окружности х = а(сов «+ «в1п «), у а(в1п « — «сов «) ~0 < «< 2я1. 2 2 2 2 98. ~ (х + у ) (1э, где С вЂ” дуга логарифмической спирали с г = ае (т > О) от точки А(О; а) до точки О( — е*(); О), 2299. (х + у) дат где С вЂ” правый лепесток лемнискаты с а сов 2(р. 2 2 2300. (х + г) дв, где С вЂ” дуга кривои х «, у = —, г = « З«2 з .))2 с ~О < «'=' Ц. 2301.
~ „, где С вЂ” первый виток винтовой линии х2+у2+ гв с х = асов «т у = а в1п «т г = Ь«. 2302. 2у2+гг дэ,гдеС вЂ” окружностьх +у +г а,х=у. 2 2 2 2 с 2303'"'. Найти площадь боковой поверхности параболического цилиндра у= -х, ограниченной плоскостями г О, х = О, г=х, у = 6, 3 2 8 2304. Найти длину дуги конической винтовой линии х ае сов «, у = ае в)п «, г ае' от точки О(0; О, О) до точки А(а; О; а). Х2 и2 2305. Определить массу контура эллннса — + Ы- = 1, если лиа2 Ь2 иейная плотность его в каждой точке М(х, у) равна ~у~. 2306. Найти массу первого витка винтовой линии х = асов «, у = а э1п «, г = Ь«, если плотность в каждой точке численно равна значению радиуса-вектора этой точки.
2307. Определить координа гы центра тяжести полуарки циклоиды х = а(« — э1п «),у = а(1 — сов «) 10 < «< к1. 2308. Найти момент инерции относительно оси ОЯ первого витка винтовой линии х = а сов «, у = а в1п «, г = Ь«. 2309. С какой силой масса М, рапп ределеннан с постоянной плот- 2 2 2 , ° ностью на окружности х + у а, г О, воздеиствует на массу лт, помещенную в точке А (О; О; Ь)? В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
