Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Если зависящее от одного переменного параметра а семейство кривых Дх,у,и)=О имеет огибающую, то параметрические уравнения последней определяются из системы уравнений Исключая из системы (Ц параметр а, получим уравнение вида Х1(х, у) = О. (2) Следует отметить, что формально получаемая кривая (2) (так называемая дискриминантнал кривая) наряду с огибающей, если таковая имеется, может содержать геометрическое место особых точек данного семейства, не входящее в состав огибающей этого семейства. При решении задач этого параграфа рекомендуется делать чертежи, П р и и е р.
Найти огибающую семейства прямых х соз а + у 31н а — р = О (р - сопе$, р > О). Р е ш е н и е. Данное семейство прямых зависит от параметра о,. Составим систему уравнений (1): ! х соз а + у а(п а — р = О, -х 31п С4+ у сов а О. Решив систему относительно х и у, получим параметрические уравнения огибающеи; Возводя оба уравнения в квадрат и складывая, исключим параметр а 2 3 2 х +у =-р. $17. Длина дуги проетранствени«и«кривой (х — а) + д 2 2 а 2 Глава ЧЬ ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Таким образом, огибающей данного семейства прямых служит окружность радиуса р с центром В начале координат. Данное же семейство прямых есть семейство касательных к этой окружности (рис.
82), 2063. Найти Огибающую семейства окруж- ностей (Й вЂ” параметр, р = сопз$). 2065. Найти огибающую семейства окружностей одинакового ра- ;ф диуса В, центры которых находятся на оси ОХ. 2066. Найти кривую, которую огибает отрезок длины 1, когда его концы скользят по осям координат. 2067. Найти огибающую семейства прямых, образующих с осями координат треугольник постоянной площади Я. 2068.
Найти огибающую эллипсов постоянной площади Я, оси симметрии которых совпадают. 2069, Исследовать характер «дискриминантных кривыхв семейств следующих линий (С вЂ” параметр): а) кубических парабол и = (х — С); 3. б) полукубическнх парабол у = (х — С); 2 а. в) парабол Нейля у = (х — С); г) строфоид (а + х)(р — С) = х (а — х). 2070. Уравнение траектории движения снаряда, выпущенного из ;« точки О с начальной скоростью и под углом с«к горизонту (без учета сопротивления воздуха), будет Принимая угол и за параметр, найти огибающую всех траекторий снаряда, расположенных в Одной и той же вертикальной плОскОсти (пщ~абола безоаасиосжи) (рис. 83).
5 17. Длина дуги пространственной кривой Дифференциал дуги пространственной кривой в прямоугольных декартовых координатах равен где х> 9, з — текущие координаты точки кривой. Если х=х(й), у=у(г), в-4~) - — параметрические уравнения пространственной кривой, то длина дуги участка ее от г = (, до г = ~2 Равна ~а 2 В задачах №№ 2071 — 2076 найти длину дуги кривой: 2071. х = 2, у = (, з = — От ( = О до 1 = 2.
2 2(в 3 2072. х = 2 сов (, у = 2 Вгп ~, з - — ~ от г = 0 до 1 к, 3 2073. х = е сов (', и = е нп 1, 2 = е' от Ф = О до произвольного 1. 2 3 2074.у= "—, з= "— отх=Одох=б. 2 ' 6 2075, х = Зу, 2ху = 92 от точки О(0; О; О) до точки М(3; 3; 2). 2076.
ц = а агсвш ~, 2 = - "1п а ~ ~ от точки 0(0; О; О) до точки а 4 а — х М(хо Уо зо). 2077, Положение точки для любого момента ~ (~:. О) определяется уравнениями х ~ 2(, у = 1п (', 2 Найти среднюю скорость движения между моментами 11 = 1 н Ф 10. 9 18. Вектор-функции скалярного аргумента 1'. Производная вектор-Функции скалярного аргумента. Вектор-функция а а(«) может быть определена путем задания трех скалярных Функций а„(г), а„(г) и а,(() — ее проекции на координатные оси: а - а,(1)1 + а„(~)1 + а,(1)(«, Производная вектор-Функции а = а(() по скалярному аргументу 1 есть НОВВя Вектор-функция, Определяемая равенстВом «Ь~ . В(г+ ЛЦ) — В(2) да„(~) .
да,(~) . да,(() — = 1)ш — 1+ ~ 1+ «)1 и-в аг «1( д1 «(г Глава У1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ $ 19. Естественный трехгранник пространственной кривой 2082. Найти производную по параметру ~ объема параллелепипе, да, построенного на трех векторах: а =1+ ~)+ ~'Й; Ь= 2И вЂ” )+ ~й," с = -~1+ 1) +)с. 2 З~ 2083. Уравнение движения г = 31сов 1+ 41 ь1п 1, где ~ — время. Определить траекторию движения, скорость и уско-; рение движения. Построить траекторию движения и векторы ско- рости и ускорения для моментов (: = О, ~ = — и 1 = —. »т я 4 2 2084.
Уравнение движения г = 21 сов 1 + 2) Я1П1+ ЗЫ Определить траекторию движения, скорость и ускорение движения.. Чему равны скорость и ускорение движения и каковы их направле- ' ния для моментов 1 = 0 и 1 = — о 2 2085. Уравнение движения г = 1 сов а сов а~ + ) в1п и сов ПМ + Й в1п О11, где и н ж — постоянные, ~ — время.
Определить траекторию движе- ' ния, скорость и ускорение движения и их направления. 2086. Уравнение движения снаряда (без учета сопротивления воздуха) Г =. «О1 — "— К, О 2 1 где «'О(ПО, 1»О, и ) — начальная скорость, Найти скорость и ускоре- ние снаряда в любой момент времени. 2087. Доказать„что если точка движется по параболе у = "—, з 0 таким образом, что проекция скорости на ось ОХ остается по. »'пх стояниой ~ — = со11в$1, то и ускорение точки остается постоянным. ~.а 2088.
Точка, находящаяся на нарезке винта, завинчнваемого в'-. балку, описывает винтовую линию х=асовО, у=аа1пО, з=ЬО, где Π— угол поворота винта, а — радиус винта, а Ь вЂ” высо га подъема. при повороте на один радиан. Определить скорость движения точки: 2089. Найти скорость точки на окружности колеса радиуса а„вра-.' щающегося с постоянной угловой скоростью в так, что его центр При атом движется прямолинейно с по~тониной скоростью ов.
9 19. Естественный трехгранник пространственной кривой ВО всякой неособенной точке М(х, д, г) пространственной кривой г = г(1) можно построить естественный трехгранни»с ('л«риадр), состоящим из трех взаимно перпендикулярных плоскостей (рис.
84): »И 1) сопри наса»ощеисл плоскости варн ММ,М»г содержащей векторы — н —; аг а г, вдос д1 2) нормальной плоскости ММ М, перпендикулярной вектору —:, дг, Й1 3) спрялглл»ощей плоскости ММ Ма, перпендикулярной двум первьгм плос- Ряс, 84. костям. В пересечении получаются три прямые: 1) каса»яельная ММ„2) главная нормаль ММ; 3) 6инормаль ММ, определяемые соотве гственяо векторами: 1) Т = — (вен»пор касательной); Йг д1 2) В = — х — (вектор бинор.вали); )г 6Г й~ 3) Х = В х Т (вектор главной нормали). Соответствующие единичные векторы Х', В, — р= —; ГГ1 ' 1В1 ' ь»огут быть вычислены по формулам ~Ь ' Й' Если Х, У, 2' — текущие координаты точки касательной, то уравнения касательной в точке М(х, у, г) имеют внд л.-х У вЂ” у Я вЂ” г — 1 (1) Т. Т.
Т. ' где Т = —, Т = =, Т„= —; из условия перпендикулярности пряи'х ф <Ь . сй' у сИ' - Б' мой и плоскости получаем уравнение нормальной плоскости Т,(Х вЂ” х) + Т„(У вЂ” у) + Т,(Х вЂ” г) -О, (2) Заменяя в уравнсниях (1) и (2) T„, Т, Т. Иа В„, В„, В, и Ф„, Ф„, Ю,, по- ЛУЧИМ уравнения бинормали й главнОЙ нормали и, Соотвстстввнно, Сопрй- асающейся плОскОсти и спрямляющей плоскости.
и Отсюда при ( = 1 получим Следовательно, (1, -1, 0) и 10. -1, 1», — уравнение касательной, Р(х„ у, г) = О, С(х, у, г) = О, Глава И, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ При м ер 1. Найти основные единичные векторы т, ~ и р кривой В точке г = 1. Написать уравнения касательной, 1лавной нормали и бийормзли В втой:: точке. Решение. Имеем: 111 = 6$ — 61+ 2Ы; ОЗ6~ 1+ 2» + ЗЙ 31 — 31+ Й вЂ” 111 — 81+ 9(с Л4 ' Д9 ' „йЯ Так как при 1 - 1 имеем х = 1, у = 1, г = 1, то — уравнение тлавиой нормали. 1 Если пространственная кривая задана как пересечение двух поверхностей '.
$19. Естественный трехгранник пространственной кривой то Вмссто ВекторО — и —, можно брать векторы Йг(йх, Йу, Йг» и Й1 Йг Йг Й г(Й х, Й у, Й г), причем Одну из переменйыя х, у, г можно считать йезаВисимой и полагать ее второй дифференциал равным нулю. П р и м е р 2. Написать уравнение соприкасающейся плоскости окруж- ности в точке ее М(1; 1; — 2), Р е ш е н и е, Дифференцируя систему (3), считая х независимой пере- менной, будем иметь; хЙх + уЙу + гЙг ~ О, Йх + Йу + Йг = О Йх +Йу +уйу+Йг +гйг -О, Йу+Йг=О. Полй1'ая х ~ 1, у = 1, г = — 2, пОлучим: Йу = — Йх; Йг = О; 2 г г 2 Й у= — — Йх; Йг~ — Йх 3 *' 3 Следовательно, соприкасающаяся плоскость определяется векторами Отсюда нормальный вектор соприкасающейся плоскости есть и, следовательно, ее уравпспие — 1(х — 1) — (у — 1) — (г + 2) О, х+у+г=О, 1то и Должно быть, тзк как изп1з кривая расположена В зтой плоскОсти.
2090. Найти основные единичные векторы т, м„~» кривой х 1 — соег, у=61п(, г=Й Глава 71. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ з 20. Кривизна и кручение пространственкой кривой 2091. Найти единичные векторы касательной и главной нормали конический спирали г = е'(1 соз 2 + ) з(п ~ + )с) в произвольной точке. Определить углы, составляемые этими пря. мыми с осью ОЯ. 2092.
Найти основные единичные векторы т, ч, р кривой 2 у = в точке х = 2. 2093. Для винтовой линии х=асоз2, у=аз1п2, г=Ы написать уравнения прямых, составляющих ребра естественного:,:: трехгранника в произвольной точке линии. Определить направляющие косинусы касательноЙ н главной нормали. 2094. Написать уравнения плоскостей, образующих естествен- ~ ный трехгранник кривой 2 2 2 2 2 „2 х +У +2 =б,х — У +г 4 в точке ее М(1; 1; 2). 2095, Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости кривой 2 3 .М; х = $, у = 2, 2 = 1 в точке М(2; 4; 8). ф з 2096.
Составить уравнения касательной, нормальной плоскости и соприкасающейся плоскости кривой х= —, у= —, г= —. 4 ' 3 2 Найти точки, в которых касательная к этой кривой будет парал- ' лельна плоскости х + Зу + 22 — 10 = О, 2097. Составить уравнения касательной, соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали кривой х= 1, У=-1„2= 2 в точке 2 2. Вычислить направляющие косинусы бинормали в этой точке, 2098. Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к следующим кривым." а) х = В соз 1, д = В яп Ф соз 2, 2 В з1п 1 при 2 = —; 2 х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
