Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Показать, что х — ~ + у — г = г. г г дх ду 1960. Показать„что функция г, определяемая уравнением у = ": = хор(г) + у(г), удовлетворяет уравнению 1961. Функции у и г независимой переменной х заданы системой::: ура~~е~~й Найти —, —,, — „— при х = 1, у = О, г = 1. ««у ~Ь ««у ~1 г ««х 6х~ с1х 1962. Функции у и г независимой переменной х заданы системой уравнений хуг а, х+у+г=Ь. Найти Йу~ Йг~ «1 у «1 г. 1963. Функции и и о независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений ди д«« д и д и д и до до Э о Э у д у Вь«числить...,,...,, при х О, дх ЭУ дх~ дхдУ дуз дх ЭУ дх2 дхду у = 1.
1964. Функции и и о независимых переменных х и у заданы неявно системой уравнений и+у=х, и уу=О. Найти Йи, Йу~ Й и~ Й у. 2 2 1965. Функции и и н переменных х и у заданы неявно системой уравнений ди ди до до Найти дх ду дх ду 1966. Найти: а) — и —, если х = и соз о, у = и зш и, г со; дг дг дх ду' б) — и —, если х = и + о, у = и — н, г = ин'„ дз дг дх ду' в) сЬ, если х = е, у = е, г = ин.
1967. г Г(Г, д), где Г и «р — функции переменных х и у„определяемые системой уравнений Х = ГСОВ «Р, У = ГВ1П ф. Най~~ — н дг дг дх ду ' 1968, Рассматривая г как функцию х и у, нанти — и —, если м дг дг дх ду ' х = асов «рсозр, у = Ьяп«асов ~«, г = с а(п«~«, При замене переменных в дифференциальных выражениях входящие в них нроизводные следует выразить через производные по новым переменнь«м, используя правила дифференцирования сложных функций.
ф 10. Замена переменных Глава У1. ФУНКЦИИ НКСКОЛЬКНХ ИЕРЕМЕННЫХ 203 1'. Замена пер еме и н ы х н выражения х, содержащих. обыкновенные производные, П р и и е р 1. Преобразовать уравнение х —,. + 2х — + —. у = О, 2ду ду й дха дх хз КЛИ ОКОНЧИТЕльио х — х — 1 + — О. перейдя к полярным координатам д ~ду~ д д»ду~ д®~дх» ду 2д у 2 зду 4«1 у — — — = = — 2»=+2 —, ( 8) 22 — +2 дх2 дх дх~ дх д» дг~ дг х = гсоз (р.
у гз1п «р- за. » Подставляя найденные выра2кения производных В данное уравнение и 1 меняя х через —, получим — -2 ~2 — +2 — +2 ° -~~2 ~ +а 2у=О 1 3 ду ду 1» 2ду~ 22 22 ~ д2 „,2 2 ~ д2~ з1п«р + гсоз«р дг д«р гсоз«р+ гз1п«р П р и м е р 2. Преобразовать уравнение гсоз»р — гз«п»р или после упрощений приняв у за аргумент, а х за Функцию, Р е «и е н и е. ВыраЗИМ проиаводныс от у по х через производные От х по у.:„ ф 1 дх дх ду д6~2дИ вЂ” = а — (а »» О) «»~; »»х полагая х = —. 1 Решен и е. Имеем Выразим производные от у по х через производные от у по 2, .
ду ду ду дг дг 2ду дх дх 1 <й ' д«2 Подставия Эти ВЫражсния ПРОИЗВОДНЫХ В ДВННОЕ ураВИЕНИе„будем иметь П р и м е р 3. Преобразовать уравнение дх х+у ду х — у' Р е ш е н и е. Рассматривая г как Функцию «р, из Формул (1) получим дх - соз»р дг -- гз1п «р д«р, ду = з1п»р дг + гсоз «р д«р„ отскща з1п»р — + гсоз»р дг «1у з1п«рдг+ гсоз«рд«р д»р дх соз«рдг — гз1п«рд»р дг соз»р — — » з1п»р д«р Подставляя в данное уравнение выра2кения для х, у и —, будем иметь ду дх 2'. Замена перемен н ых в вырви«ения х, содержащих частные производные.
преобразовать к новым независимым переменным а и р, где а = х — аг, Р= х+ а«. Глава Ч1. ФУИЩЙИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ре ш е н и е. Выразим частные производные от и по х и 2 через частные производные от и по а и Д. Применяя Формулы диФФеренцирования сложной .'ф функции Эи дн да дм др Эм ди да дм ЭР— — — — + — —, — = — — +— ,а д2 дад2 43 Э2 ' дх дадх ЭР дх "Ы Эи ди ди ~ ди ди'~ — — ( Ф)+ й" о Ж да ЭИ ~ЭР да~' Позтому ДиФФеренцируем вторично, применяя те же Формулы: и, следовательно, Подставив — и — в д~~н~~ ур~~~е~ие, будем иметь Эи,ди Э2 дх 2дцдцди2дцдц,дц я — -2 + — о" — — 2 — + —, да дадр д~ да дадр Э~3 2 и' 1 дц' 1 дв'~ 23и~ 2 ХХ~ — — — — — — ~ +2 —. =8 Э~ 2 до, д~ или полагая х = е.
П р и и е р 5. Преобразовать уравнение х— 2 дз Эх 1 новые независимые переменные и = х, ~ =— Д 1 1 Ф= я х + у — = 2, прин~в за: 2Э2 Эд — и за новую Функцию: 1 х !Ъ: 2 Р е ш е н и е. Выразим частные производные —. и — через частные проЭз дх дх дф д~ ди~ изводные — и †. Для этого продифференцируем данные соотношения ди до между старыми и новыми переменными: С другой стороны, 4в '= —. Йи + — <Ь. ди~ ди2 дИ ЭО Подставляя эти выражения в данное уравнение, получим 1969.
Преобразовать уравнение 2д р х ~ — "+2х' — 'У+у=О, Главе У1, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЫ~ИХ ПЕРЯМЕННЫХ $11. Касательнм плоскость и нормаль к поверхности 1970. Преобразовать уравнение йз (1 — х) — ~~ — х —" =О, полагая х = сов ~. 1971.
Преобразовать следующие уравнения, приняв за аргумент и: .:." 1972. Тангенс угла р, образованного касательной МТ и радиусом-вектором ОМ точки касания (рис. 69), выражается следующим образом; М)' = 1+ ="ф' Преобразовать это выражение, перейдя к полярным координатам: х = Г сов (~5, д = Г 31п (~). :-'1 1973. Формулу кривизны линии 1 Ф к= (1+(у') ) выразить в полярных координатах х = Гсов <р, у Гйп у. 1974.
Преобразовать к новым независимым переменным и и и УРаВНЕНИЕ .Д еслии=х,п=х +у. 2 2 1975. Преобразовать к новым независимым переменным и и п УРаВНЕНИЕ если и = х, и -- У-. 1976. Уравнение Лапласа д2 д2 дх др преобразовать к полярным координатам Г и ~Р, полагая х = Г сов ф, д = Г 81п ф.
1977. Преобразовать уравнение 2д 2 2д 2 х — — и — =О, дх дф полагая и ~ хд и у ~ — ° У 1978. Преобразовать уравнение Д" -Х" =(Д-Х)2, дх дф введя новые независимые переменные 2 2 1 1 И=Х +У,О=-+ Х ф и новую Функцию и = 1п г — (х + у). 1979. Преобразовать уравнение дхдд д~~ приняв за новые независимые переменные и = х + у, и — и за новую ф Функцию п~ = — ° 198О. Преобразовать уравнение + 2д + полагая ы = х + ц, 0 = х — д, п~ ~ хд — .е, где иР = Пап, и) $ 11. Касательная плоскость и нормаль к поверхности 1'.
Уравнения касательной плоскости н нормали д л я с л у ч а я я в н о г о з а д а н и я и о в е р х н о с т и, Касательной илоыосжью к поверхности в точке М (точка касания) называется плоскость„ в которой лишкат все касательные в точке М к различным кривым, проведенным на поверхности через эту точку, Нормалью к поверхности называется перпендикуляр к касательной плоскости в точке касания. Если уравнение поверхности в декартовой системе координат задано в явной Форме г )'(х, ф, где Дх, у) — дифференцируемая Функция, то уравнение касательной плоскости в точке М(х„, уо, гв) поверхносги есть ~ — 2з = ~,',(хо Ус)(~ — хе) + ~'„(хо Ув)(у — ~о).
(1) одень зе = Дх„, уо), а Х, У, Я вЂ” текущие координаты точки касательной плоскости, Глава Ч1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Э 11. Касательная плоскость н нормаль к поверхности Уравнения нормали имеют вид ~(-хо у — уо ~ го (2),, ~х (хое уо) ~ уу(хо уо) где Х, У, У вЂ” текущие координаты *очки нормали. П р и и е р 1. Написать уравнения касательной плоскости и нормали к,:, 2 поверхности г = — — у в ее тачке М(2," — 1; Ц. Х 2 Р е ш е н и е. Найдем частные производные данной функции и их зна- чения в точке М: Оееюде, иримеияя бюрмуяы (1) и еде, будем иметь е — е 2ья — бе е дер т 1у х-2 у+1 или 2х + 2у — г — 1 = Π— уравнение касательной плоскости и — = — = с 2 †= — — уравнения нормали.
— 1 2'.Уравнения касательной плоскости и нормали для с л у чая неявного задан и я поверх ности, В том сетучает когда уравнение гладкой поверхности задано в неявной 4юрме Р(х, у. 2) = О и Р(х, уо, г,) О, соответствующие уравнения будут иметь такой вид: Р,'(хо Уо го)(~ — хо) +Р;(хо Уо 'о)(У вЂ” Уо) + Р,'("о Уо го)(~ — го) = О :1 — уравнение касательной плоскости и Х вЂ” хо дди-у< 2-го Р; (х.уо.го) Р„'(х у~го) Р;(хо.уо го) — уравнения нормали. П р и м е р 2. Написать уравнения плоскости и нормали к поверхности .:, ~ .з з Зхуг г а в точке, для которой х = О, у = а.
Решение, Найдем аппликату точки касания, подставив х- О, у а . ' 3 3 в уравнение поверхности: — г' = а, откуда г - — а. Таким образом, точка: касания есть М(О„а, — а). Обозначив через Р(х, у, г) левую часть уравнения, найдем частные про-,,":,, изводные и их значения в точке М", Р' Зуге (Р,' )М = — За, Р' =* Зхг, (Р' ) = О, в у М Ф Р," - Зху — Зг, (Р'.) = -За . Применяя формулы (3) и (4), получим — За (х — О) + О(у — а) — За (г + а) = О или х + г + а Π— уравнение касательной плоскости, х у — а 2+а или — — = — — уравнения нормали. 1 О 1981. Написать уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к следующим поверхностям в указанных точках: а) к параболоиду вращения г = х +у в точке (1, "— 2; 5); 2 2 2 2 2 б) к конусу —" + У вЂ” — — О в точке (4; 3; 4); 16 9 8 в)к сфере х + у + г = 2Вг в точке(В сов а; Выпи; В).
2 2 2 1982, В каких точках эллипсоида а 2 й2 2 с нормаль к нему образует равные углы с осями координат? 1983. Через точку М(3; 4; 12) сферы х + ц + г 169 проведены 2 2 2 плоскости, перпендикулярные осям ОХ и ОУ, Написать уравнение плоскости, проходящей через касательные к получившимся сечениям в их общей точке М. 1984, Показать, что уравнение касательной плоскости к центральной поверхности 2-го порядка ах +Ьд +сг =Й 2 2 2 о' уо' го) имеег вид ах х + Ьрду + сг .г = Й. 1985, К поверхности х + 2у + Зх = 21 провести касательные 2 2 2 плоскости, параллельные плоскости х + 4У + бг = О.
2 2 2 1986. К эллипсоиду —" + =" + г = 1 провести касательные плоскости, отсекающие на координатных осях равные по величине отрезки. 2 2 2 1987. На поверхности х + у — г — 2х = О найти точки, в которых касательные плоскости параллельны координатным плоскостям.
1988. Доказать, что касательные плоскости к поверхности хуг = 3 образуют с плоскостями координат тетраэдр постоянного объ- евуа Глава У1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2 12. Формула Тейлоре для Функции нескольких переменных 1989. Показать, что касательные плоскости к поверхности ./х + +,/д + .5 = ./а отсекают на осях координат отрезки, сумма которых постоянна. 1990, Показать, что конус 2 2 2 Х У 2 + -к 2 Ь2 2 '„Ф 1 и сфера +у +)2 — — ~ = — (Ь +с) 1™ с 2 касаются друг друга в точках (О, +Ь, с). 1991.
Углом между двумя поверхностями в точке их пересечения называется угол между касательными плоскостями, проведенными к данным поверхностям, в рассматриваемой точке. Под каким углом пересекаются цилиндр х +у =В (х — В) +у +г 2 2 2 2 в точке М~ —,—,017 ).2' 2 '$ 1992. Поверхности называются орвтогональными, если они пе- -" ресекаются под прямым углом в каждой точке линии их пересе- '; чения. 2 2 2 2 Показать, что поверхности х + у + г г (сфера), у = х(а'9'~ 2 2 2 2 (плоскооть) н в = тл" т у ))Н Н )конус), являющиеся коорлннвт- ) ) ными поверхностями сферических координат г, у, ~у, взаимно ор--~ тогональны.
1993. Показать, что все плоскости, касательные к конической по-„':~ верхности г = х~Я в ее точке М(хо, у,, ге), где х ~~ О, проходят череэ: ., начало координат, 1994е', Найти проекции эллипсоида г х+у+2 — ху — 1 О 2 2 2 на координатные плоскости. 1995. Доказать, что нормаль в любой точке поверхности врап:Ж-; ния 2 = )".( х + у ) ()"' ~ О) пересекает ось вращения. 2 2 ут 3 12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
