Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Формула Тейлора для функции нескольких переменных Пусть функция )у(х„у) имеет в окрестности точки (а, Ь) непрерывные частные производные всех порядков до (л + Ц-го включительно. Тогда в рассматриваемой окрестности справедлива формула Тейлора; йх. у) Ла Ь) + —, К(а, ЬКх — а) +»'„'(а, Ь)(у — Ь)1 + + — (~„"„.(а, Ь)(х — а) + 2)'„"(а, Ь)(х — а)(у — Ь) + ~„"„(а, Ь)(у — Ь) 1+ 1 Г д д ~я + .- + — ~(х — а) — + (у — Ь) — ~ Яа, Ь) + В (х„у), л! ~ ду 1 г д д -~н+ 1 В,(х, у) = ~(х-а) — +(у — Ь) — ~ ~(а+ О(х — а), Ь+ О(у — Ь)) (л+ 1»! ~ дх ду.1 (О < О<1).
В других обозначениях: »'(х + й, у + й) = Д(х, у) + —, (Ь|'„(х, у) + М„'(х, у)1+ + — (Ь |„"(х, у» + 2Ьж~""„(х, у) + й ~„'„'(х, уЦ + ". + я 1 ) д дтне1 + ~Ь +Ь ~ д(х, у) + ~ь — +й — 1,Г(х+ ОЬ; у = ОЦ), (2) Ы), И д ) ' ( +1))) д ду1~ М(х, у) д~(х, у) + — с(~~(х, у) + „, + + — Й ~(х у) + с)»у(х+ ОЬ„у+ Ол).
л', (л+ 1»! (3) Чзстныи случай формулы (1) при а = Ь - О называется формулаа Маклорена. Аналогичные формулы справедливы для функции трех и большего числа переменных. П р и мер. Найти приращение, получаемое функцией Ях, у) = х — 2у + ) Зху при переходе от значений х = 1, у 2 к значениям х = 1 + Ь, у, = 2+ Ь. Р е ш е н и е.
Искомое приращение можно найти, применяя формулу (2). вычислим предварительно последовательные частные производные и их значения в данной точке (1; 2): ~,' (х, у) = Зх + Зу, 2)=3 1+3.2=9, »'„' (х, у) = -бу + Зх, 2) ок — 6 4+ 3 1 яя — 21„ ~;„'(х, у) = бх, 2)=б 1=6, ~„'„(х, у) = 3, 2) = 3, ;~" (х, у) = -12у, 2) — 12 2 = -24, $13, Экстремум Функции нескольких переменных 218 Глава У$. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1"; (х, у) = 6, ~'„'„" (1; 2) 6, р"„"~(х, у) = О, )'"' (1; 2) = О, ~.-уУ(х, у) = О, ~х ~'" (х, у) = — 12, ~"' (1; 2) = — 12.
УУУ УУУ Все дальнейшие производные тождественно рвВНЫ нуЛВ. Подетавяяя найденные результаты в формулу (2), получим М(х, у) = Д1 + Й, 2 + Ц вЂ” )'(1, 2) = Ь - 9 + Ф(-21) + + —,1Л 6+ 2ЬА 3+ й (-24)1+ — 1Ь б 1 ЗЬ й О+ ЗЬФ . О+ й ( — 12)1= . 31 = 9Ь вЂ” ЗИ + ЗЬ + ЗЬ)2 — 12)2 + Ь вЂ” 2й . 1996. Разложить Дх + й, у + Ц по целым положительным степе ням Ь и й, если )У(х, у) = цх + 2Ьху + су .
2 2 1997. Функцию ~(х, у) = -х + 2ху + Зу — бх — 2у — 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки ( — 2; 1). 2 1998. Найти приращение, получаемое функцией Ях, у) = х у при:-; переходе от значений х = 1, у = 1 к значениям х, = 1+ Ь, у, 1+ й. 1999. Функцию ~(хг у, г) = х + у + г + 2ху — уг — 4х — Зу — г + 4 разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1; 1). 2000.
Разложить |(х + Й, у + Й, г + 1) по целым положительныМ . степеням Й, Й и 1, если )"(х, у, г) = х + у + г — 2ху — 2хг — 2уг, 2001. Разложить по формуле Маклорена до членов 3-го поряд включительно функцию ДХ, У) е З1ПУ. 2002. Разложить по формуле Маклорена до членов 4-го порядк включительно функцию Дх, у) = сов х соа у. 2003, Разложить по формуле Тейлора в окрестности точки (1; 1 до ~л~~~~ 2-го ~ор~д~~ включительно фу~кци~ ~(х, у) = у, 2004. Разложить по формуле Тейлора и окрестности точки (1; -1 до членов 3-го порядка включительно функцию ~(х, у) = е 2005. Вывести приближенные формулы с точностью до членов 2.гО порядка ОтнОсительно Величин О и Р для Выражений: а) агс$д —; б) если Ц и ф~ малы по сравнению с 1. 2006+.
Используя формулу Тейлора до членов 2-го порядка, вычислить приближенно: ),г 0З зф 98. б) (О 9б)2,е1 2007. Пусть г есть та неявная функция От х и у, определяемая уравнением г — 2хг + у = О, которая принимает значение г = 1 при х = 1 и у = 1. Написать несколько членов разложения функции г по возрастающим степеням разностей х — 1 н у = — 1. $13. Экстремум функции нескольких переменных 1', Определен и с экстремум а фу н к ци и. Говорят,чтсфункция Дх, у) имеет максимум (минимум) Д(а, Ь) в точке Р(а, Ь), если для всех отличных От Р точек Р'(х, у) в достаточно малой окрестности точки Р выполнено неравенство Да, Ь) > 1'(х, у) (или соответственно Да, Ь) < Дх, у)). Мзксимум или минимум функции называется ее эксюцюмумсм, Аналогично определяется экстремум функции трех и большего числа переменных.
2'. Необходимые условия экстремума, Точки, в которых дифференцируемая Функция Дх, у) может достигать экстремума (так называемые стационарные точки), находятся путем решения системы уравнений ~х( «у)- (1) (нсябходимые условия экстремума), Система (1) эквивалентна одному уравнению с1Дх, у) - О. В общем случае в точке экстремума Р(а„Ь) ФУнкции Лх, у) или Й~(а, Ь) = О, или Ща, Ь) не существует. 3'.Достаточные условия экстремума, ПустьР(а, Ь) — стациснарная точка функции 1'(х, у), т.
е, дДа, Ь) О. Тогда: а) если д ~(а, Ь) < О при йх + с)у > О, то Да, Ь) есть махси нум функции 2 2 2 Й ° у)' б) если О Д(а, Ь) > О при дх + Оу > О, то Да, Ь) есть минимум функции 2 2 2 ~(" у)' 2 в) если О Да, ь) меняет знак, то Да, ь) не является экстремумом Функции Ях, у). Приведенные условия эквиввлентны следующим: пусть |„' (а, Ь) = Г„' (а, Ь) - О 1';;(а, Ь), .8 - Г„"„(а, Ь), С «'„'„(а, Ь). Составим дисхриминант Л-А С-В'. Тогда: 1) если Л > О, то функция имеет экстремум в точке Р(а, Ь), а именно максимум., если А < О (или С < О), и минимум, если А > О (или С > О); 2) если 22О дР И .дд — =- — + ?.— = О, дх дх дх д~ д7 .д, — — +л — =О, ду ду ду «??(х,у) = О или 'х+у — 5 О, 2 2 ху — 2=0. Глава У(.
ФУНКЦИИ НРСКОЛЬКИХ ПБРЕМЕННЫХ «»? < О„та экстремума в точке Р(а, Ь) нет; 3) если Л - О, то вопрос о наличии экстремума функции в точке Р(а, Ь) остается открытым (требуется дальнейшее исследование). 4'. Случай функции многих переменных. Для Функции трех и большего числа переменных необходимые условия существования экс*ремума аналогичны условиям 1', (1), а дос гаточные у~~о~~я аналогичны условиям 3', а), б), в). П р и и е р 1, Исследовать на экстремум Функцию х х' + зху — 15х — 12у.
3 2 Р е ш е н и е. Найдем частные производные и составим систему уравнений (Ц: Решая систему, получим четыре стационарные точки: ?(» )» 2(» )» 3( ' )' 4( Найдем производные 2-га порядка дв дз — =бх, — =бу, дхду и составим дискриминаит Л = А С вЂ” В для каждой стационарной точки. 1) Для тачки Р:А — = 6, 8 = ~ — ~ = 12, С вЂ” ~ 6; Л = АС вЂ” Ь - 36 — 114 < О. Значит, в точке Р? экстремума нет. 2)дляточки Р:А 12,В = 6, С= 12; Л= 144 — 36 > О,А>0. В тачке Р функция имеет минимум, Минимум этот равен значению функции при х = 2, у~1: 3) Для тачки Р: А = — 6, В = -12, С вЂ” 6; Ь = 36 — 114 < О.
Экстремума нет. 4) Для точки Р4' А = — 12, В = -б, С = — 12; »'-? 144 — 36 > О, А < О. В точке Р функция имеет максимум, равный г -8 — 6 + 30 + 12 = 28. б'. У с л о в н ы й э к с т р е и у и. В простейшем случае условным зкс. тремумом функции Д(х, у) называется максимум или минимум этой Функции, достигнутый при условии, что ее аргументы связаны уравнением «?»(х, у) = О (ур«?екение связи). Чтобы найти условный экстремум функции »? 13. Экс «ремум функции нескольких переменных »(х, у) при наличии соотношения ««?(х, у) = О, составляют так называемую функци?о Лагранжа Г(х, у) = «(х, у) + ) - «р(х, у), где»', — неопределс?п?ый постоянный множитель, и ищут обычный экстре- мум атой вспомогательной Функции.
Необходимые условия экстремума сво- дятся к системе трех уравнений; с тремя неизвестными х, у, )., из которой можно, вообще говоря, определить эти Беизвес? Еые. Вопрос а существовании и характере условнога экстремума решается на основании изучения знака второго дифференциала Функции Лагранжа для испытуемой системы значений х, у, ), полученной из (2) при условии, чта «?х и «(у связаны уравнением д«(? д««» 2 2 дх ду — «?х+ — «?у = 0 (йх + «?у ~ О). А именно, Функция Г(х, у) имеет условный максимум, если Й Г < О, и ус2 лавпыи минимум, если «? 7 > О.
В частности, если дискриминант «? для функции г(х, у) о стационарной точке положителен, та в атой точке имеется условный максимум функции Дх, у), если А =. 0 (или С «0), и условный минимум, если А > 0 (или С > 0). Аналогично находится условный экстремум функции трех или большего числа переменных при наличии одного или нескольких уравнений связи (число которых, однако, должна быть меньше числа переменных), Здесь приходится вводить в функцию Лагранжа столько неопределенных мнажитслеи, сколько имеется уравнений связи. П р и и е р 2. Найти экстремум функции ??Ри условии, что переменные х и у удовлетворяют уравнению Р е ?и е и и е, Геометрически задача сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значений аппликаты г плоскости г б — 4х — Зу для точек 2 2 1?ерссече??ия ее с цилиндрам х + у = 1.
Составляем функцию Лагранжа: 2„' — = 2х — у+ 1 =О, 2~ ="-. 2у — х + 1 О; — 4+ 2(.х О, — 3 + 2).у =* О, хз + у 1, решая которую найдем: 3 5 дР дР дР— = 2(., — * О, — = 2~., дхду ду то 4 3 2 = — — иу= — —,тос(Р 5 5' условныи максимум. =6+ — + — = 11, 16 9 $ВЗХ г. 6 — — — — =*1 16 9 %1П 5 5 в области Имеем — = -4+ 2(х, — — 3+ 2Ау.
Необходимые условия дают систему дР . дР дх ду уравнений д Р=2А(Йх +ду). Ясли ) = —, х — и у = —, то й Р > О и, следовательно, в этой точке функция 2' 5 5' 5 имеет условный минимум, Если Х --, х 2 следовательно~ В этой точке функция имеет Таким образом, 6'. Наибольшее и наи мен ь шее значения функ ции.:ь' Ж Функция, дифференцируемая в ограниченной замкнутой обласги, достигает .«~, сВоеГО наибОльшеГО (наименьшего) значения или В стзЦИОнарной точке, или 'Ф В точке границы Области. В И':2 П р и м е р 3.
Определить наибольшее и наименьшее значения функции ' ... 2=Х +у — ху+х+у $13. Экс1 ремум Функции нескольких переменных Р е ш е н и е. Указанная область есть треугольник (рис. 70). 1) Найдем стационарные точки: отсюда х -1 У = 1 пол(чаем точку М( 1 — 1) 8 точке М значение функции з = — 1. Иссле- М лозанне на экстремум не обязательно. 2) Исследуем функцию на границах области. Рис. 70, 2 При х = О име6м 8 = у + у и задача сводитсЯ к Отысканию наибольш6ГО и наименьшего значений этой функции одного аргумента на отрезке -3 ~ у ~ О, Проведя исследование, найдем, что (г ) з = 6 В точке (О; — 3); 1 ( 1'~ наем х о 2 При у О получаем г = х + х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
