Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 18
Текст из файла (страница 18)
количество жидкости, протекающей через поперечное сечение трубы в единицу времени, 1777"-, Условие то же, что и в задаче М 1776, но труба имеет прямоугольное сечение, причем основание а велико по сравнению с высотой 2Ь. В этом случае скорость течения и в точке М(х, ц) определяется фОрмулои Определить расход жидкости 9. 1778"". При изучении динамических свойств автомобиля часто используется построение диаграмм специального вида; на оси абсцисс откладываются скорости и, на оси ординат — величины„обратные соответствукицим ускорениям а.
Показать, что площадь 8, ограниченная дугой этого графика, двумя ординатами и = ие и О п и О«.ью йбсцисс, чи«..«еенно рйвнй времени, необходимому для того, чтооы уВеличить скорость движения автомобиля От в до п~ (ВРГмя ра эгона). 1779. Горизонтальная балка весом 9 и длиной е находится в равновесии под действием направленной вниз вертикальной нагрузки, равномерно распределенной по длине балки, и опорных реакций А ИВ А В = ~) ~1, направленных вертикально вверх. Найти изги- 2 1' бающий момент М в поперечном сечении х, т. е.
момент относительно точки Р с абсциссой х всех сил, действующих на часть балки АР. 1780. Горизонтальная балка длины е находится в равновесии под действием опорных реакций А н .8 н распределенной по длине балки нй~ рузки с интенсивностью д Йх, где х — расстояние от левой опоры, Й вЂ” постоянный коэффициент. Найти изгибающий момент М„ в сечении х, П р и м е ч а н и е. Интенсивностью распределения нагрузки называется нагрузка (сила), отнесенная к единице длины. 1781"". Найти количество теплоты, выделяемое переменным синусоидальным током 1 = Х,В1п ~ — Я~ — «р1 ~ T 7 В течение периода Т в проводнике с сопротивлением г«. 5 1, ОЕНОжИЕ ПОНЯТИЯ $1, Основные понятия Х Х + "Ю' .,„ у у 2ху т.е.Г 1, "- =Ф у)* Глава T1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРБМКННЫХ 1". Понятие функции нескольких пере меня ых.
Обо-' 3 н а ч е н и я ф у н к Ц и й. Переменная Величина 2 называется ОДнознач'- нОй функцией двух переменных х, у, если каждой совокупности их значений (х, у) из данной области соответствует единственное определенное значение з. Переменные х, у называются аргументами или независимыми ' Переменными. Функциональная зависимость обозначается так: 2 = ~(х, у), или 2 .гт(х, у) и т.
и. Аналогично определяются функции трех и большего числа аргументов. П р и м е р 1. Выразить объем конуса (' как функцию его образующей х и радиуса основания у. Р е ш е н и е, Из геометрии известно, что объем конуса равен 2=ДХ,У) 1 2 1г ° -яу л, ~М 3 0 ! где Ь вЂ” высота конуса. Но л = х — у . Следовательно„ 2 2 у 1 2 2 2 р('х,у) Р'- -яу х — у Это и есть искомая функциональная зависимость.
Рис. 63. % Значение Функции х )'(х, у) В точке Р(а, Ь), т. е. пр . х - а и у = Ь, обозначается ~(а, Ь) или ДР). 1'еометрическиж изображением фу~~ции 2 - = ~(», у) В ~ря~~у~~~~~ой системе координа л., У, Я, Вообще говоря, Является некоторая поверхность (рис. 63). 2 2 При мер 2, Найти ~(2, — 3) и ~ 1, Й, если ~(х, у) * х1 2ху Решение.
Подставляя х 2 и у -3„находим 2 2 2+1 3) 13 2 2 (-3) 12 Подставляя х = 1 и заменяя у на У, будем иметь Х 2',Область существования Функции. Под обласгпыо су- и~есжвовайил (ОйргдВлгйим) функции 2 ~(х, у) понимается СОВокупность точек (х, у) плОскости ХОУ, и которых Данная функция определена (т. е. принимает определенные деиствительные значения). В простейших случаях Область существования функции преДставляет собОй конечную или беско. вечную часть координатной плоскости ХОТ, ограниченную одной или не- сколькими кривыми (граница области).
Аналогично для Функции трех переменных и = Дх, у, 2) областью су- ществования функции служит некоторое тело в пространстве ОХТА. П р и м е р 3. Найти область существования функции 2 = Д:Р:7' Р е ш е н и е. Функция имеет действительные значения, если 4 — х — у > О 2 2 или х + у < 4. Последнему неравенству удовлетворяют координаты точек, лежащих внутри окружности радиуса 2 с центром в начале координат, Об- ласть существования функции есть внутренность этого круга (рис, 64). П р и м е р 4.
Найти область существования функции 2 агсип — + .~»у. х 2 Р с ш ен и е. Первое слагаемое функции определено при -1 ~': — < 1 или 2 -2 < х < 2. Второе слагаемое имеет действительные значения, если ху 1 О, ~х>О, ~х"-О, т. е. в двух случаях: при ~ „~ О' или при ~ у ~ О' Область существования всей Функции изображена на рис, 65 и включает границы области. 3'. Л и н и и и поверхности уров н я функции, Диниейуров- нл функции 2 = ~(х, у) называется такая линия Дх, у) - С на плоскости ХОУ, в точках которой функция прииимает одно и то же значение 2 = С (обычно проставляемое на чертеже в виде отметки), Поверхностью уровня Функции трех аргументов и Дх, у, 2) называется такая поверхность 7(х, у, 2) = С, в точках которой функция принимает по- стоянное значение и С.
2 П р и и е р 5. Построить линии уровня функции 2 = х у, 2 С Решен не, Уравнение линий уровня имеет вид х у С или у = —. х2 Полагая С = О, +1, +2...„получим семейство линий уровня (рис. 66). 5 3, Частные прои»»одные 5 2. Непрерывность В этом случае пишут Е 3. Частные производньхе Гла»» И. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 1', Предел функции. ЧислоА называется пределом функции х-)(х, у);— при стремлении точки Р'(х, у) к точке Р(а, Ь), если для любого е > О существует такое Ь > О, что при О < р < о, где р = (х — а) + (у- Ь) — рас- е. 2 2 стояние между точками Р и Р', имеет место неравенство ~ДХ, у) — А! < е, 11п1 ~(х, у) =А. Х Ф 2 у Ь 2', Н е и р е р ы в н о с т ь и т о ч к и р а з р ы в а. Функция 2 Дх„у);-, называется непрерывной в точке Р(а, Ь), если 11п1 Дх, у) = Да, Ь), у ~ь Функция, непрерывная во всех точках некоторой области, называется непрерывкой в этой области.
Нарушение условий непрерывности для функции ~(х, у) может происхо-: дить как В отдельных точках (изолщюванная шочюа разрыва), так и В точках, образующих одну или несколько линий (линии разрыва), а иногда и:. более сложные геометрические образы. При мер 1. Найти точки разрыва функции ху+ 1 2 х — у Ре ш е н и е.
Функция потеряет смысл, если знаменатель обратится в . 2 2 нуль. Но х — у = О или у = х — уравнение параболы. Следовательно, данная . функция имеет ливией разрыва параболу у х, 1797'ь. Найман следующие пределы функций: а) 1ип (х + у )в1п —; г) 1пп ~1+-~; 2 2, 1 ~к х-о ху' х ° ОО х у о у- » б) 111п д) 1пп х+у х О х+у у — ~ '"О у-о 2 2 в) 1пп е) 1пп х-О х "-о х +у 2 2 2 у 0 1798.
Исследовать на непрерывность функцию 2 2 2 2 д(х у) 1-х — у прих +у 41, 0 прих +у >1, 1799, Найти точки разрыва следующих функций; а)г =1п х +у2„ 2 в) г 1 1 — х' — у б)г = 1 г)в = сов —. ху* (х у) 1800", Показать, что функция 2ху 2 „ 2 — прих +у ФО, х +у О прих=у=О непрерывна по каждой из переменных х и у в отдельности, но не является непрерывной в точке (О, О) по совокупности этих переменных. 1", О п р е д е л е н и е частных п р о н з в о д н ы х.
Если 2 = )'(х, у), то, полагая, например, у постоянной, получаем производную Эг 1,.„, Дх+ Лх, у) — Д(х, у) Эх ьх -О Лх которая называется чае1пной производной функции 2 по переменной х. Аналогична определяется и обозначается частная производная функции г по переменной у. Очевидно, что для нахождения частных производных можно пользоваться обычными формулами дифференцирования. П р и и е р 1, Найти частные производные функции х = 1п$а —.
у Р е 1п е н и е. Рассматривая у как постоянную величину, получим дл 1 1 1 2 1~- соз — У ув1п— Х 2Х У у у у Аналогично, рассматривая х как постоянную, будем иметь ду 1ах со32х у УЗЯ1п~х у у у П р и и е р 2, Найти частные производные функции трех аргументов и = х у 2+ 2х — Зу+ г+ 5, 32 3 3, Часткыв производные функций: Найти частные производные 1801. г = х + у — Заху, 3 3 8О х 2 181О. г = агсз1п 2 2' Х +У 1811. г = 1п а1п "+ а .
1812. и = (ху)'. 1804. х -Д':7. 1826, Найти г = г(х, у), если 1805. х х +д 1808. х = 1х (х~ lх +у 1. дг Эу х" + у2 — еслих +у ФО1 2 2ху 2 2 йх, у) = хг+ у' О, если х = у О, 1821. Вычислить Глава И. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2'. Те о р е и а Э й л е р а. Функция Дх, у) называется однородной Функцией измерения п„если для любого действительного множителя Й имеет место авенство р Длх, йд) = й"~(х, у). Целая рациональная Функция будет однородной, если все члены ее одного и того же измерения, Для однородной дифференцируемой Функции измерения и справедливо соотнон2ение (л2еорсма Эйлера) х~'„(х, у) + у~~(х, у) нЯх, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
