Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Р е п«е н и е, Искомая поверхность образуется вращением дуги ОА ве круг прямои АВ, уравнение которой х = па. Принимая у за независим переменную и учитывая, что ось вращения АВ сдвинута относительно к: ординатной оси ОУ' на расстояние па, будем иметь 3 - 2п (яа — х) — Йу. пз «1д Переходя к переменной «, получим в 8 = Зп (яа — а«+ а 8»п «) = 2п «па — а«+ аяп «) 2ав1п — д«-4на ~ ~ив»п- — «в1п-+ в1п«в1п-~ й2 = . = 4»«а ~-2ясов — + 2«сов — — 4в»п — + — в(п — ~ = 8п~п — — ~а . 2» 4.
2«1»' 4» 2 2 2 2 8 21, ~ З1 '» 1714. Размеры параболического зеркала АОВ указаны на рис. 56,, Требуется найти площадь поверхности этого зеркала. 1715. Найти площадь поверхности ~веретена», кото'- рое получается в результате вращения одной полуволыЖ синусоиды у = з1п х вокруг оси ОХ. 1716. Найти площадь поверхности, образованной вр, щением части тангенсоиды у = (~ х от х О до х = -: ф вокруг оси ОХ, 1717. Найти площадь поверхности, образованной вра; щением вокруг оси ОХ дуги кривой у = е, от х = О д Рис.
56. х +~ 1718, Найти площадь поверхности (называемой»с теноидом), образованной вращением цепной линии у = а с㻠— в, 1719. Найти площадь поверхности вращения астроиды х + у 2/3 2/3 - а '' вокруг оси ОУ. 1 2 1 173О. Найти площадь поверхности вращения кривой х = — «« — — 1п у 4' 2 вокруг оси ОХ, от у = 1 до р е. 1721, Найти поверхность тора, образованного вращением окруж- 2 2 2 ности х + (у — Ь) = а вокруг оси ОХ (Ь > а). 1722. Найти площадь поверхности, образованной вращением эллипса —, + — = 1 вокруг: 1) оси ОХ; 2) оси ОУ (а > Ь).
Х2 р~ аз Ь2 1723. Нанти площадь поверхности, образованной вращением одной арки циклоиды х = а(«' — з(п ~), у = а(1 — соз Ц вокруг: а) оси ОХ; б) осн ОУ; в) касательной к циклоиде в ее высшей точке. 1724. Найти площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ кардиоиды х = а(2соМ вЂ” соз22), «« = а(2 зш 1 — зш 2~). 1725. Определить площадь поверхности, образованной вращением лемнискаты г = а соз 2««» вокруг полярной оси. 2 2 1726. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды г 2а(1 + сов ««») вокруг полярной оси, $11. Моменты, Центры тяжести. Теоремы Гульдена 1' С т а т и ч е с к и й и о и е н т.
С«па»пическим маменшом относительно оси «материальной точки А, имеющей массу т и отстоящей от оси «на Расстоянии с«„называется величина М, = »т«И. Статическим м«»мен«пом относительно оси 1 системы и материальных точек с массами «и.», ш2, .„, 0$ называется сумма "ричем расстояния точек, ле»кащнх по одну сторону оси «, берутся со знаком плюс (+), а по другую — со знаком минус (-), Аналогично определяется с«па.
»»«ичесний момент сися«емм точек относительно плоскости, »'»сли массы непрерывно заполняют лииик» или фигуру плоскости ХОУ, ~о с»втические момспть» ЛХ„и М относительно координатных осей ОХ и вместо сумм «1) выражаются соответствующими интегралами. Для случая геометрических Фигур плотность считается Равной еди ице, у(8) еЬ; М», = х(8) дх е(Х, у дле = — у (Ь вЂ” у)4у* 2 Ь Х Ь Мх = — 1 — ™дх Мххх Ь х 1 х г)х ух Д+(у'»х хх ат- хз В частности: 1) для кривой х х(з), "у = у(з), где параметр 2 есть длин дугих имеем Б 'У, (дз- ( у — дифференциал дуги); 2) для плоской фигуры„ограниченной кривой у - у(х), осью ОХ и двумж: Вертикалями х ~ а и у = Ь, пОлучаем ь М.
- ~ у~у~ах; М, ~х(у~ах. 1 х (3): а а П р и м е р 1. Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ, треугольника, ограниченного прямыми — + — = 1, х = О, у = 0 (рис. 57),: ' у Р е нее н ие. Здесь у Ь 1 — — ~. Применяя формулы (3), получаем а/ (» 2 .Момент инерции. Момектом инерции относительно оси 1 ма-: териальной точки массы зе„отстояецей от оси 1 на расстоянии А называется числО Х» ~н4 2 Маме»е»геом и»ее»зции относительно оси 1 системы»т материальных гочек с массами»ге„ле2, ..., т„назь»вается сумма у,-~ у', где д „И2, ...у еՄ— расстояния точек от оси 1. В случае сплошной масс2»2 вместо суммы получаем соответствующий интеграл.
П р и м е р 2. Найти момен~ инерции треугольника с ~~~~~анием Ь и выл, ~отой Ь Относительно его основания. Р е ш е н и е. Сено~ание треугольника примем за ось ОХ, а его ~~со~у —: за ось ОУ (рис. 58). $11. Моменты. Центры тяжести. Теоремы Гульдена Разобьем треугольник на бесконечно тонкие горизонтальные полоски толщины «еу, играюшие роль элементарных масс дж.. Используя подобие трс- УГОЛЬНИКОВ, ПОЛУЧасм: Йш Ь вЂ” Ееу Ь ь ~ у(Ь вЂ” у) ду= — Ьй.
ЬГ2 1 2 х 131' 12 0 3'. Центр т я жести. Коорди»еа»пье цеиоера тяжести плоской фигуры (дуги или площади) массы М вычисляются по формулам М. М,. у х М*' М где М и Мт — статические моментье массы. В случае геометрических фигур масса М численно раВна соответствующек дуге или площади. Для координат центра тяжести (х, у ) дуги плоской кривой у = Дх) (а ~ х < Ь), соединяющей точки А(а; Да)) и В(Ь," ДЬ)), имеем 6 ь 3 ь хсЬ х 1+(у*)2дх усЬ у 1+ (у')2дх х уь а хх А а ь $ А~ (у'»хух ~Я+9'»ххх Координаты центра ТЯжести (х, у ) криволипейнОЙ тра»»ецки а 'е: х х" Ь, О ~ У аа Дх), могУт быть вычисленье по 4»ОРМУлам ь ь 2 ХУЙХ - У с»Х х = — ' у 8 8 ь где 3 = у «)х — площадь фигуры.
Аналогичные формулы имеют место для координат центра тяжестее тела. П р и м е р 3. Найти центр тяжести дуги полуокружности х + у = а (у > О) (рис. 59). 2 2 2 Решение, Имеем 2 '= Х у ах — х; у'=: а2- х2 Следовательно„ отх = -адох=а. 4'. Теоремы Гул ьдена. Теорема 1. Площадь поверхности, полученной от вращения дуги:. плоской кривой вокруг некоторой оси, лежащей в одной плоскости с кривой и ее не пересекающей, равна произведению длины дуги на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги кривой. Теорема 2.
Объем тела, полученного при вращении плоской фигуры вокруг некоторой оси, лежащей в плоскости фигуры и ее не пересекающей, ра~е~ произведению площади этой Фигуры нв д~~~у окружности, описываемой центром тяжести Фигуры. 1727. Найти статические моменты относительно осей координаг отрезка прямой заключенного между осями координат. 1728. Найти статические моменты прямоугольника со сторонами а и Ь относительно его сторон. 1729. Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и координаты центра тяжести треугольника, ограниченного прямыми х+у а,х=Оиу=О. 1730.
Найти статические моменты относительно осей ОХ и ОУ и ' координаты центра тяжести дуги астроиды з,з г~з г~з х +д =а лежащей в первом квадранте. 1731, Найти статический момент окружности г 2аа«п9 относительно полярной оси. 1732. Найти координаты центра тяжести дуги цепной линии в' 11. Моменты, Центры тяжести. Теоремы Гульдена 1733. Найти центр тяжести дуги окружности радиуса а, стяги» вающей угол 2и.
1734. Найти координаты центра тяжести дуги первой арки цик- лонды (О < $ ~» 2я). 1735. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной эллипсом — + — 1 и осями координат ОХ н ОУ (х '~ О, у ~ О). х~ у~ аз Р 1736. Найти координаты центра тяжести фигуры, ограниченной кривыми 1737. Найти координаты центра гяжести фигуры, ограниченной первой аркой циклоиды х = а(~ — а(п 1), у = а(1 — сов 1) и осью ОХ. 1738++. Найти ценгр тяжести полусферы радиуса а с центром в начале координат, расположенной над плоскостью ХОУ. 1739++. Найти центр тяжести однородного кругового конуса с радиусом основания г и высотой Ь. 1740+"'. Найти центр тяжести однородного полушара радиуса а с центром в начале координат, расположенного над плоскостью ХОУ.
1741. Найти момент инерции окружности радиуса а относительно ее диамет1м. 1~42. Нанти момент инерции прямоугольника со сторонами а и Ь относительно его сторон. 1743. Найти момент инерции прямого параболического сегмента с основанием 2Ь и высотой Ь относительно его оси симметрии. хз уз 1744, Найти моменты инерции площади эллипса — + — 1 аз Ьз относительно его главных осей.
1745":+. Найти полярный момент инерции кругового кольца с радиусами В и В (В < В ), т. е. момент инерции относительно оси, проходящей через центр кольца и перпендикулярной к его плоскости, 1746~""'. Найти момент инерции однородного прямого кругового конуса с радиусом основания В и высотой Б' относительно его оси. 1747++.Найти момент инерции однородного шара радиуса а и массы М относительно его диаметра. «748.
Найти поверхность и объем тора, получающегося от вра~Чения круга радиуса а вокруг оси, расположенной в плоскости круга и отстоящей от центра его на расстоянии Ь (Ь > а). Глава Ъ'. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 10 1С 3 з= 0,1» )»-0,1 — -250(м) Ф А = Дх) дх. 1749, а) Определить положение центра тяжести дуги астроид 2~3 2/3 2,13 + Д а, ЛЕЖац(ЕИ В ПЕРВОи чЕТВЕРти.
б) Найти центр тяжести Фигуры, ограниченной кривыми у 2р и х = 2Р1». 2 17ЬО"'"", а) Найти центр тяжести полукруга, пользуясь теоремой Гульдена. б) Доказать, пользуясь теоремой Гульдена, что центр тяжести треугольника отстоит от его основания на одну треть Высоты. 5 12. Приложения определенных интегралов к решеки»о физических задач 1'. П у т ь„п р Ой д е н в ый то ч к ой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
