Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 19
Текст из файла (страница 19)
1814. Найти ~;(2; Ц и ~'„(2; 1), если Дх, у) = ху+ — ° 1815. Найти )"„(1; 2; О), Г"„(1; 2; О), Г',(1; 2; О), если Дх, у„г) = 1п (ху + г), Проверить теорему Эйлера об однородных функциях (№№ 1816 —:; 1819): 1816. Дх, у) = Ах + 2Вху + Су . 1818. ~(х, у) = 819. Лх, у) = 1п У-. 1817. г = 1 Х +У 1820. Найти — ~ - 1, где г =~: х + у + г 2 2 2 дх~г,'' 1822.
Показать, что х — + у — 2, если дг дг дх ду г = 1п (х + ху + у ). 2 2 1823. Показать, что х + у — = ху + г„если дг дз Эх ду 1824. Показать, что — + — + — = О, если ди ди да дх ду дг 1825. Показать, что — + — + — 1, если ди дхх ди дх ду дг 1827. Найти г = г(х> у), зная, что д~ Х +У 2 2 — — и г(х, у) = з1п у при х = 1. дх 1828. Через точку М(1; 2; 6) поверхности г = 2х + у проведены 2 2 плоскости, параллельные координатным плоскостям ХОЖ и УОЯ.
Определить, какие углы образуют с осями координат касательные к получившимся сечениям, проведенные в их общей точке М. 1829, Площадь трапеции с основаниями а, Ь и высотой Ь равна 8 = -(а + Ь)Ь. Найти —, —., — и, пользуясь чертежом, выяснить 1 ЭЯ дЗ Ы 2 да' дЬ' ЭЬ их геометрический смысл. 1880". Показать, что функция имеет частные производные ~'„(х, у) и ~„'(х, у) в точке (О; О), хотя и разрывна в этой точке. Построить геометрический образ этой функции вблизи точки (О; О). $ 4. Полный дифференциал функции Лу»'; ~ ~(и) иди — иди о О' следлощих функций' 1837. г ух".
1838. г = 1п (х + у ). 1839. Фс, у) = 1п ~1+ -1 . у/ д2 х , д2 хдх+ упу х*+у' х +у х +у 1840 я = агония -" + агс$$ "-. х у Глава У1, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Ф 4. Полный диФФеренциал Функции 1 .ПОЛНОе приращение функции. ПОлним лрпрйи(алием: функции г = )'(х, у) называется разность Л2 - ЛДХ, у) = Д(х + Лх, у + Лу) — Дх, у). 2'.Полный дифференциал функции, Полным дифференциалом функции г - Дх, у) называется главная часть полного приращения.: ' Л г, линейная относительно приращений аргументов Лх и Лу. Разность между полным приращением и полным дифференциалом функ- ..:.
2 2 ции есть бесконечно малая высшего порядка по сравнению с р Лх + Лу ..' Функция заведомо имеет полный дифференциал в случае непрерывности- ее частных производных. Если функция имеет полный дифференциал, то она называется дифференцируемой, Дифференциалы независимых переменных, по определению, совпадают с их приращениями, т. е. Йх- Лх и ду = Лу. Полный дифференциал функции г = )(х, у) вычисляется по Формуле Ь = (х+ ау.
д2 дз Б ду Аналогично, полный дифференциал функции трех аргументов и = Дх, у, 2) . вычисляется по Формуле Пример 1. Для Функции Дх,у)=х +ху — у найти полное приращение и полный дифференциал, Рещение. Дх+Лх,у+Лу)='(х+Лх) +(х+Лх)(у+Лу) (у4 Л~(х, у) = Кх + Лх) + (х + Лх)(у + Лу) — (у + Лу) ) — (х + ху — у ) = 2х Лх + Лх + х . Лу + у Лх + Лх Лу — 2у Лу — Лу 1(2х+ у)Лх+ (х — 2у)Лу)+ (Лх + Лх ° Лу — Лу ). Здесь выражение с(~ (2х + у)Лх + (х — 2у)Лу есть полный дифференциал 2 2 функции, а (Лх + Лх Лу - Лу ) есть бесконечно малая высщего порядка' по сравнению с бесконечно малой р = Лх + Лу П р и и е р 2.
Найти полный дифференциал функции 2 = х'+ У'. 3 ° Применение полногО дифференциала функции к и рибл ижен ным вычисления и, При достаточно малых ~ЛХ~ и ~Лу~, 2 2 а значит, при достаточно малом р = Лх +Лу для дифференцируемой Функций 2 = Дх, у) имеет место приближенное равенство Л2 = д2 или Лг = — Лх + — Лу. дх дз дх ду Пример 3.
ВысотакокусаН=ЗОси, радиусоснованияВ=10см. Как изменится объем конуса, если увеличить и на 3 мм и уменьшить В на 1 мм? Р е ш е н и е. Объем конуса равен ~' = — кВ Н. Изменение объема заменим 1 2 3 приближенно дифференциалом Л 1' = сП' = — к(2ВН йВ + В2 6Н)- 3 = — и( — 2 10 ЗО ° 0,1 4- 100 0,3) = -10п = — 31,4(см ), 1 2 П р и м е р 4.
Вычислить приближенно 1,02 ' 2 хи Р е щ е и й е. Рассмотрим функцию 2 ~ х"'. Искомое чйсло можно считать наращенным значением этой функции при х 1, у - 3, Лх = 0,02, Лу - 0,01. 2 Первоначальное значение функции г 1 - 1, Л2 = Й2 - ух" Лх + х"1п хЛу = 3 - 1 0,02 + 1 1п 1 . 0,01 = 0,06. Следовательно, 1,02 * = 1 + 0,06 = 1,06. 1831. Для функции Дх, у) = х у найти полное приращение и полный дифференциал в точке (1; 2); сравнить их, если: а) Лх = 1„Лр 2„'б) Лх = О,1, Ау = 0,2, 1832. Показать„что для функций и и п нескольких (например, двух) переменных справедливы обычные правила дифференцирования: Найти полные дифференциалы 1833.
г = х + у — Зху. з з 1834. 3 = х у 2 З 183б х — У х +у 2 2 1836. г = вш х + сов" у. Глава У1, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ $5, дифференцирование сложных функций 1846' ~ г ' 1842. Найти «)Д1; 1), если Дх, у) = —. у 1843. и = хуг.
1844. и = /х + д + х~. если Лх, е, х) 1848. Одна сторона прямоугольника а 10 см, а другая Ь = 24 см. Как изменится диагональ | прямоугольника, если сторону а удлинить на 4 мм, а сторону Ь укоротить на 1 мм? Найти приближенную величину изменения и сравнить с точной. 1849. Закрытый ящик, имеющий наружные размеры 10 см, 8 см н 6 см, сделан из фанеры толщиной 2 мм. Определить приближенно объем затраченного на ящик магериала. 1850"'.
Центральный угол кругового сектора, равный 80', желают уменьшить на 1". На сколько надо удлинить радиус сектора, чтобы площадь его осталась без изменения, если первоначальная длина радиуса равна 20 см? 1851. Вычислить приближенно: (4,05) +(2,93) где 1 — длина маятника, ф' — ускорение свободного падения.
Найтн погрешность в определении Т, получаемую в результате небольших ошибок М = а и Ьу = р при измерении 1 и М'. 1855. Расстояние между точками Ро(хс, ус) и Р(х, у) равно ре а угол, образованный вектором Р Р с осью ОХ, равен а. На сколько изменится угол а, если точка Р, при неизменной точке Р, займет положение Р (х + «1х, у + с)у)? а) (1,02) (0,97); б) в) В1п 32' ° сов 59' 0 1 (при переводе градусов в радианы и при вычислении Н1п 60 брать три значащие цифры; последний знак округлить). 1852. Показать, что относительная ошибка произведения прибли- 1 женно равна сумме относительных ошиоок сомножнтелеи. ! 1853.
При измерении на местности треугольника АВС получены следующие данные: сторона а = 100 м + 2 м, сторона Ь 200 м + + 3 м, угол С = 60'+ 1'. С какой степенью точности может быть вычислена сторона с«. 1854. Период Т колебания маятника вычисляется по Формуле з 5. ДиФФеренцирование сложных функций 1". С л у ч В й о д н о й н е з з в и с и и о й и е р е и е н н о й. Если з ~(х, у) есть дифференпируемля функция аргументов х и у, которые в свою очередь яв11ЯютсЯ дифференцируемыми фуйкциЯми незэВисимой переменнОЙ 1'« х = «р(~)„у = «у(1), те ПРОИЗВОДНВЯ СЛОжней ФУНКЦИИ З = ф(1(1)е 1У(1») МОжст бЫтЬ ВЫЧИСЛЕНа Во формуле Йз' дз«1х дзоу — — — + д1 дх д( ду ЙФ В частности, если 1 совпадает с одним из аргументов, например х, то ~ пол11вя«производная функции з ио х будет Йз дз дз «1у — — — + — —.
(2) Йх дх ду«1х П ример 1. Найти —, если «1Х сИ ' зх ~ гд г З Е', ГДЕ Х = СОВ ~е У = ~ . Решение. По Формуле (1» имеем х зххгу З( . Зх+ву ~ 2 зх.г«« «)г П р и и е р 2. Наити частную производну«о — и полную производдз дх С«З ную —, если «1Х з = с"у, где у = «р(х». Решение. —. = уе'. Нз основании формулы (2) получаем дх «у дх — =уе +хе «з(х», «1З хи ху «1Х 2'. С л у ч а Й Б е с к о л ь к и х н е 3 В В и с и м ы х и е р е м е н н ы х. Если г' есть сложная функция нескольких независимых переменных, например г - ЯХ, У), ГДЕ Х - д(и, и), У = В«(ие и) (и И П вЂ” НЕЗаВИСИМЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ; ~, «а, д — дифференцируемые Функции), то частные производные з по и и и вырйжй1отся тйк,' я = и, где и = 81п х, у = сов х. е~агс(я;Е ид=х .2 х ди х ' У ' 2 — ' = Г'(х. Ии — Г(х И вЂ”" 1864. Найти — и —, если дз д.з ди ди 1865.
Нанти — и —, если дз дз дх ф' з = - „где х = е, у 111 2. — х Д Во всех рассмотренных случаях справедлива формула ~Ь = — г(х + — уф дз дз дх дд (сйОЙс'ягео икейрийнгггжосФи иолнозо диффереицийлй), Пример 3. Найти .— и —, если дз дя ди ду р е пге н и е. Прггменяя формулы (3) и (4), получим ди — ~ - )" (х, у)о + )" (х, ф— У ' и 2 2 При мер 4.
Показать, что функция 2 = д(х + у ) удовлетворяет уравдз дз нению у — — х — =- О, дх дд Р е нг е н и е. Функция д зависи* от х и р через промежуточный аргумент 2 2 х + У = 2> поэтому Подставив частные производные в левую часть уравнения, будем иметь гг — — х — у~)г'(х + и )2х — хег'(х 1- и )2у дх дф = 2ху~р'(х + у ) — 2хуу'(х + у ): — О, т.
е* функция 3 удовлетворяет даннОму уравнению, 1856. Найти — ~, если г)2 ' 1867. Найти — ", если с)2 ' и = 1п 81п —, где х = 32, Ч = г + 1 ° х 2 2 Д 1858. Найти — ", если дг и = хуз, где х 2 + 1, у = 111 2, х = $ц 2. 2 ф Ь. Дифференцирование сложных Функций и. *, где х = я сов ~, ~ = л ~1 ~, ~ = и, й Р' т ~р 1 866, Показать, что если 2 2 2 и=ф(х +ф +я), где х = В сов гр сов г~г, у В сов гр агп щ, з = В вгп гр, то — О и — = О.
ди ди дф д~у и = Ях, д, я), где гг ггг(х), я = гу(х, д), дг ) ЙР1) — Г(Р) д1 р р-О Р1Р Рис. 67. г - хд+ х(р 1872. Показать, что Функция 2д г=е"~р це", соз Й = сОз 120" = --, 1 2' з1п а = з(п 120' = ' Д 2 Применяя формулу (1), получим дг ~ 1~ ./3 — 4 — +О. — — 2. И ~ Ы 2 Глава у1, Функции икскОльиих БКРемкнных 1868. Показать, что если г Дх+ ау), где ~ — дифференцируемая функция, то дг дг — = о —, дн дх 1869. Показать, что функция о~ = Г(н, и), где и = х + а~, н = у + И, удовлетворяет уравнению диР Эи~ ди~ — а — +Ь вЂ”, д1 дх ду 1870.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
