Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 15
Текст из файла (страница 15)
1682. Найти длину дуги гиперболической спирали гтрк = 1 от точки г~ до точки (~; й~ . 1683. Найти длину дуги логарифмической спирали г = ае "(щ > О), находящейся Внутри круга г = а. 1684, Найти длину дуги кривой у = — ~г+ -~ от г = 1 до г = 3. 1~ 1~ 2~ 4 1', Объем тела ар а ще ни я, Объемы тел, образованных вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = Дх), осью ОХ и двумя вертикалями х = а и х Ь, вокруг осой ОХ и ОУ, выражаются соответственно формулами: 1) $ = и у с)х; 2)1~„~ 2и худх ~.
П р и м е р 1. Вычислить объемы тел, образуемых вращением фигуры, ограничспной одной полуволной синусоиды у = 31п х и отрезком О ~ х ~ я оси ОЖ вокруг: а) оси ОЖ и б) оси ОУ. Р е п~ с и и е. . 2 а) ~' = л у в1п х пх = — ; Х 2' б)1',, = 2к ха1пхдх 2к( — хсочх+ 31пх) = 2я. е е Объем тела, образованного вращением около оси ОУ фигуры, ограниченной кривой х = фу), осью ОУ и двумя параллелями у с и у .-= д, можно определять по формуле * Пусть тело образовано вращением около оси ОУ криволииейной1 трапеции, ограниченной кривой д ~(х) и прямыми х = а, х - Ь и у = О.
За элемент объема этого тела прнниманут объем часа и тела, образованного вращением около оси ОУ прямоу"ольника со сторонамн у и йх, отстоящего от оси Оу ка расстоянии х. Тогда элемент объема ЙУ,. - 2хху бх, откуда ~'„- 2л ху йх. Глава Ч. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ д ь — /Р— х1 и ~ ь+,/а~ — х1. Поэтому Позтому искомый объем клина есть получй1ощейся из приведенной выше формулы 1) путем перестановка Ординз.т х и у, Если кривая зйдйпй и иной форме (парйметрически, в полярных ко динатах и т.
д.), то в приведенных формулах нужно сделать соответств щу1О замену переменной интегрирования. В более Общем случае объемы тел, образованных вращением фигуры, раниченной кривыми у1 = ~ (х) и уз = ~ (х) (причем ~1(х) К ~ (х)) и прямы х а, х Ь, вокруг координатных осей ОА' и ОУ, соответственно равнь1 ь ь )'х = л (Дз — Д,)дх, ~у = 2и х(Дз — Д1) дх, Пример 2. Найти объем тора, образованного вращением кру х +(у- Ь) < а (Ь >а) вокруг оси ОХ(рис. Ь2).
Реиз ение. Имеем ДЬ + аз — хз) — (Ь вЂ” аз — хз) 1йх =' (последний интеграл берется подстановкой х = а в)п1). Объем тела, полученного при вращении сектора, ограниченного дуг кривой г Г(1р) и двумя полярными радиусами 1р = и, 1р = р, вокруг полярн оси, может быть вычислен по формуле 1г = — п1 г а)п 1рйр, Р 3 Этой же формулой удобно пользоваться при отыскании объема тела, п лученного вращением вокруг полярной оси фигуры, ограниченной неко рой зймкнутОЙ кривон, заданной в пОлярных кОординатах, П ри ив р 3.
Определить объем, образованный вращением криво г = а з1п 21р вокруг полярной оси. Реп1е н не, = 2 -я~ г й1п1рй1р -яи ~ е(п 21рй1пдйр 4 зг.з 3 1 3 0 о 32 зГ . 4 з 64 з па ~ в1п урсов барс)1р = — па, 3 ~оь 2-. Вычисление объемов тел по известным поперечным с с ~1 с 11 11 я м Если 8 8(х) — 11лощадь сече11ия тела плоскость1ог ерпс1 .Ндпкулярной к некоторой прямой (которуго цринимйсм зй ось ОХ), в трч к цкс с йбсписсой х, то объем этого тела равен ~'г -зс х и х — йбсписсы К11ййиих сечений тела.
ГДЕ ° 1 2 П р и и е р 4. Определить Объем клипй, Отсе 1ен1101 о От круглогО пилиндРз п11оскость1О, проходящей через диаметр основания и наклоненной к ос- новзн111О под углом а. Радиус основания равен В (рис. 53). Рс жение. Примем за ось ОХ диаметр основа1111я, по которому секущая плоскосты1срссскйст Оснонйц11г, и за ось ОУ диаметр основания, ему перпснд11куляр1111й. Урйвненис окру1кнОсти Основания будст = Я. Х '11 Площадь сечения АВС, отстоящего на расстоянии х От яйчйлй координат О, равна 5(х) = пл. Л.4ВС =- -АВ ВС - — уу ~да = — $д а. рз 2 2*' 2 Р .53, вс. 1685.
Найти объем тела, получающегося от вращения вокруг оси 2 ОХ площади, Ограниченной осью ОХ и параболой р = ах — х (а > О). 1686. Найти объем эллипсоида, Образованного вращением эллипса — ' + ~' = 1 вокруг оси ОХ. аз Ьз 1687.
Найти объем тела, получающегося при вращении вокруг оси ОХ площади„ограниченной Цепной линией у = а 811 —, осью ОХ и прямыми х = +а, 1688. Найти объем тела, образованного при вращении вокруг оси ОХ кривой у = а1п х в промежутке от х = О до х = л. 2 1689. Найти объем тела, Образованного вращением площади, ог- 2 3 раниченной полукубической параболой у = х, осью ОХ и прямои х = 1, вокруг оси ОХ, 1690. Нййти Об'ьем тела, образованного вращением той же пло- 1Чадп что в задаче 1689 вокруг оси ОУ 1691. Найти объемы тел, образуемых вращением площади„огра- ниченной ли11иями у = с х --- О и = О, вокруг: а) Оси ОХ и б) оси О.1 . Глава У. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 3 10, Площадь поверхности вращения 1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси Ф 2 тои части параболы у = 4ах, которая отсекается прямой х = а.
1693. Найти объем тела, образованного вращением вокруг п мой х = а той части параболы у = 4ах, которая этой прямой от кается» 1694. Найти объем тела, образованного вращением вокруг прям ' у = — р Фигуры, ограниченной параболой ц - 2рх и прямой х Й 2. 1695. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси О площади, содержащейся между параболами р = х н у = б, 1696. Найти объем тела, образованного вращением вокруг оси О петли кривой (х — 4а)у = ах (х — За) (а > 0).
1697. Найти объем тела, производимого вращением циссоид 2 хз у — вокруг ее асимптоты х 2а. 2а-х 1698. Найти объем параболоида вращения, радиус основания к торого В, а высота Н. 1699. Прямой параболический сегмент, основание которого 2а высота й, вращается вокруг основания. Определить объем тела вр щения, которое при этом получается (елимон» Кавальери). 1700. Показать, что объем части, отсекаемой плоскостью х = 2а тела, образованного вращением равнобочной гиперболы х — у = а.
2 2 вокруг оси ОХ, равен объему шара радиуса а, 1701. Найти объемы тел, образованных вращением фигуры„о ' раннченной одной аркой циклоиды х = а(2 — яп Ц„у = а(1 — сов 1 и осью ОХ„вокруг: а) оси ОХ, б) оси ОУ, в) оси симметрии фигуры 1702, Найти объем тела, образованного вращением астроид 3 ° 3 х = а сов у, у = а а1п 3 вокруг оси ОУ. 1703. Найти объем тела, которое получается от вращения кардн онды г = а(1 + сов ~р) вокруг полярной оси, 1704. Нанти объем тела, образованного вращением криво 2 г = а сов у вокруг полярной оси. 1705.
Найти объем обелиска, параллельные основания которого прямоугольники со сторонами А, В и а, Ь, а высота равна Ь, 1706. Найти объем прямого эллиптического конуса, Основани которого есть эллипс с полуосями а и О, а высота равна й, 1707. На хордах астроиды х ' + д = а, параллельных ос 2/3 2УЗ 2~3 ОХ, построены квадраты, стороны которых равны длинам хорд плОскОсти которых перпендикулЯрны плОскости ХОУ.
Найти Объе тела, образованного этими квадратами. 1706. Деформирующийся круг перемещается так, что одна нз ,. „ек его окружности лежит на оси ОУ, ценгр описывает эллипс + " = 1, а плоскость круга перпендикулярна плоскости ХОУ. Р Байти объем тела, образованного кругом. 1709. Плоскость движущегося треугольника остается перпендикулярной неподвижному диаметру круга радиуса а. Основанием треугольника служит хорда круга, а вершина его скользит по прямой параллельно неподвижному диаметру на расстоянии л от плоскости круга, Найти объем тела (называемого коноидом), образованного движением этого треугольника от одного конца диаметра до другого, 2 2 2 1710, Найти объем тела, ограниченного цилиндрами х + г а 2 2 2 ну +г =а. 1711.
Найти объем сегмента, отсекаемого от эллиптического паД2 22 раболонда — + < х плоскостью х = а. 2Р 2а 1712. Найти объем тела, ограниченного однополостным гипербох2 ц2 32 лоидом — + — — — = 1 и плоскостями х = 0 и г = Ь, а2 ь2 С2 х2 д2 $2 1713. Найти объем эллипсоида — + — + — = 1. а2 Ь~ С2 $10. Площадь поверхности вращения Площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ дуги гладкой кривой у = ~(х) между токами х а и х = Ь, выражается формулой Ь Ь Я 2я1 у — дх 2и у 1+у'2 дх Й3 — диференциал дуги кривой). В слУчае иного звДаниЯ УРввненин кРивой плоЩаДь повеРхности 8х получается из формулы (1) путем соответствующей замены переменных, П Р и и е р 1. Найти площадь поверхности, Образованной вращением вокруг Оси ОХ петли кривой 9у х(З вЂ” х) (рис.
54), 2 2 Р с щ е н и е. Для верхней части кривой при О ~ х < 3 имеем у =* - (3 - х) /х . 1 3 Отседа диФференциал дуги дв = — дх. Нв Основании Формулы (Ц плох+1 2,/х '4вдь поверхности Я = 2л ~ - (3 - х)./х — дх = Зя. г1 х+1 1з м Глава У. ОПРЕЛЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $ 11. Моменты Центры тяжести. Теоремы Гульдена П р и м е р 2. Найти пл«»щяль п«»верхности„образованной в)»ящением о ной арки циклоиды х = а(« — е(п «), у = а(1 — сов «) вокруг ее оси симметри" (рис. Ьб).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
