Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Если точка движется по некоторой кривой и скорость ее о Д»» есть известная функция времени», то путь, пройденный точкой за промежуток времени (»,, »2), равен При ме р 1. Скорость точки равна и=0,1» 3 (и выражена в и/с», Найти путь г, пройденный точкои за промежуток времены У 10 с, протеки»ий от начала движения. Чему равна средняя скорость, движения за этот промежуток? Решение.
Имеем 2'. Р а б О т а с и л ы. Если переменная сила Ж = »'(х» действует в направлении оси ОХ, то рабата силы на отрезке 1х», х ) равна Ц р и и е р 2. Какуюработу нужно затратить, чтобы растянуть пружину Ба 6 см, если сила 1 Н растЯгивает ее на 1 м? Р е ш е н и е, Согласно закону Гука сила Х. растягнвающая пружину ня х, равна Х Йх, где я — коэфц)ициент пропорциональности. ф 12. Приложения определенных интегралов к решенню Физических задач 169 Полагая х = 0,01 и и Х 1 Н, получим Ж = 100 и, следовательно, Х = 100х. Отсюда искОмая работа л - ~ 1оох ох - оох'!'," - о,1о <д~~1, 3'.
Кинетическая э верги я. »1'иметичеекой знергиейматериальяой гочки, имеющей массу т и Обладающей скоростью с, называется вы- ражение Кинетическая энергия системы и магериальных точек с массами т,„т, , т„, обладающих соответственно скоростями и1, о2, ..., о,, равна Для подсчета кинетической энергии тела его надлежащим Образом разбивают на элементарные частицы (играющие роль материальных точек), а затем, суммируя кинетические энер1'ии этих частиц, в пределе вместо суммы (1) получают интеграл. П р и и е р 3. Найти кинетическую энергию однородного кругового цилиндра плотности б с радиусом оси~~а~ни В и высо*ой А, вращающегося с угловой скоростью е1 вокруг своек оси. Решен ие.
За элементарную массу пт принимаем массу полого цилиндра высоты 11, с внутренним радиусом г и толщинОЙ стенок ог (рис. 60). Имеем Так как линейная скорость массы дт равна о - г»о, то элементарная кинетическая энергия есть 4'. Д а в лен и е жид к Ост и. Для вычисления Силы давления жидЯоет11 испОльзуют закон ПаскалЯ, согласнО КОтОрому сила давления жидкости на площадку Я с глубиной погружения Ь равна "де У вЂ” плотность жидкости, Я вЂ” ускорение свободного падения. Глава 7.
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ а 12. Приложения определенных интегралов и решению Физических зада у 171 П р и м е р 4. Найти силу давления, испыты- *у ваэмую полукругом радиуса г, погруженным вертикально в воду так, что его диаметр совпа-; — дает с поверхностью воды (рис. 6Ц. — — — — Р е ш е н и е, Разбиваем площадь полукруга — — на элементы — полоски, параллельные поверх- ности воды, Площадь одного такого элемента (ОтРис. 61. брасывэя б, м. высшего порядка), находящегося на расстоянии Ь От поверхности, равна ая-з ад-а~ее-а аа. Сила давления, испытываемая этим элементом, равна ар - уяа а8 2уда еел — де ая, ГДЕ '~У вЂ” ПЛОТНОСТЬ ВОДЫ. Отсюда вся сила давления есть у р еуи~ А./г~ — де ая - --те~ее-я~)ел( -де .
Э о З 1751. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью иэ, без учета сопротивления воздуха„дается формулой У = УΠ— и'Ре где 8 — протекшее время, ®' — ускорение свободного падения. На каком расстоянии от начального положения будет находиться тело через время Ф от момента бросания? 1752. Скорость тела, брошенного вертикально вверх с начальной скоростью ОО, с учетом сопротивления воздуха, дается Формулой п = с $а — ~~+ агс1а где ~ — протекшее время, ~ — ускорение свободного падения, с— постОянная. Найти высоту пОднятия тела. 1753, Точка оси ОХ совершает гармонические колебания вокруг начала координат, причем скорость ее дается Формулой ~оСОВ О'~ ГДЕ ~ — ВРЕМЯ, УО, О3 — ПОСТОЯННЫЕ. Найти закон колебания точки, если при ~ = 0 она имела абсциссу х О.
Чему равно среднее значение скорости точки за период колебаний? 1754. Скорость движения точки и йе ' (п — в м/с). Найти путь, -О,ОИ пройденный точкой от начала движения до полной «остановки р. л~ В атом примера, а также в задачах М М 1768 — 17 у 1 под плоскими поверхностями понимаются тонкие тели (оболочки), у которых один из характерных размеров много меньша двух других. «755. Ракетный снаряд поднимается вертикально вверх. Считая, что при постоянной силе тяги ускорение ракеты за счет уменьшения ее веса растет по закону у = А (а — ЬФ > О), найти скорость ракеты и — Ь| в любой момент времени ~, если начальная скорость ее равна нулю. Байти также высоту, достигнутую ракетой к моменту времени 1 = 1 .
1756 . Вычислить работу, которую нужно затратитье чтобы выкачать воду из вертикальной цилиндрической бочки, имеющей радиус основания В и высоту Н. 1757. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы ВЫКаЧатЬ ВОду ИЗ КОНИЧЕСКОГО СОСуДае ОбращЕННОГО ВЕрШИНой ВНИЗ, радиус основания которого равен В и высота О. 1758. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из ПОлусферического котла, имеющегО радиус,й. 1759, Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать масло через верхнее отверстие из цистерны, имеющей форму ц~~и~др~ с ~~р~зонтальной осью, если пло~~~~~~ ~асла ~, д~~~~ цистерны Н и радиус основания Л. 1760*а. Какую работу надо затратигья чтобы тело массы в поднять с поверхности Земли, радиус которой В, на высоту Ь? Чему равна эта работа, если тело должно быть удалено на бесконечность7 176Р' .
Два электрических заряда дэ = 1 Кл и О, = 2 Кл находятся на осн ОХ соответственно в точках х = 0 и х, = 1 см. Какая работа будет произведена, если второй заряд переместится в точку х = 10 см? 1762"". Цилиндр с подвижным поршнем диаметра .0 = 20см и длины 1 = 80 см заполнен паром при давлении р = 10 Па. Какую работу надо совершить, чтобы при неизменной температуре (изотермический процесс) объем пара уменьшить в два раза? 1763 '". Определить работу, произведенную при адиабатном рас- е ширении ВОздуха, имеющегО начальные Объем (' О ж' 1 м и давление Р 1 Па, до объема 1», = 10 м 7 3 1764""", Вертикальный вал веса Р и радиуса а опираетея на нодпятнин Аа (рне.
62). Сида трения между Р небольшой частью а основания вала и прилегающей к ней поверхностью опоры равна Р = про, где р = сопвФ есть давление вала на поверхность опоры, а р — коэффициент трения. Найти работу силы трения при одном Обороте вала. 1765""", Вычислить кинетическую энергию диска массы М и радиуса й, вращающегося с угловой скоростью О1 около оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости. Рис. 62, Глава У. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ $12.
Приложения определенных интегралов к реп«ени«о физических задач 173 1766. Вычислить кинетическую энергию прямого круглого кону- ~ са массы М, вращающегося с угловой скоростью «з около своей оси, -' если радиус основания конуса В, а высота Н. 1767 '. Какую работу надо затратить, чтобы остановить железный шар радиуса В - 2 м, вращающийся с угловой скоростью «э = 1000 обу'мин вокруг своего диаметра? (Плотность железа у = 7,8 10 кг/мз), 1768. Вертикальный треугольник с основанием Ь и высотой Й погружен в воду вершиной Вниз так, что его основание находится на поВерхности Воды.
Найти силу дйВления Воды. 1769. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить силу давления воды на всю плотину„если известно, что верхнее основание плотины а = 70 м, нижнее основание Ь = 50 м, а высота плотины Й = 20 м. 1770. Найти силу давления жидкости, удельный Вес которой у, нй вертикйльный эллипс с Осями 2а и 2Ь, центр которого погружен в жидкость на уровень Й, причем большая ось 2а эллипса параллельна Уровню жидкости (Й ~ Ь). 1771. Найти силу давления воды на вертикальный круговой конус с радиусом основания В н высотой Б, погруженный в воду вершинои Вниз так, что его Основание находится нй пОВерхнОсти ВОды.
РАЗНЫЕ ЗАДАЧИ 1772. Найти массу стержня длины е = 100 см, если линейная плотность стержня на расстоянии х (см) от одного нз его концов равна Ь = 2 + 0,001х (г/ем) . 2 1773. Согласно эмпирическим данным удельная теплоемкость воды при температуре Е"С (О < 1 < 100') равна с = 0,9986 — О,184 10 ' е + 6,192 . 10 'г2, где с выражена в Дж (г "С), Какое количество теплоты нужно затратить„чтобы 1 г воды нагреть от температуры 0 'С до температуры 100 'С? 1774.
Ветер производит равномерное давление р на дверь, ширина которой Ь и высота Й. Найти момент силы давления ветра, стремящейся повернуть дверь на петлях, 1775. С какой силой притяжения действует материальный стержень длины 1 и мйссы .Ч' на мйтериальную точку мйссы ле, нахОдящуюся нй ОДНОЙ прямой со «;тержнем нй расстоянии а От Одного из его концов7 1776""'. При установившемся ламинарном (струйном) течении 'я ' жидкости через трубу круглого сечения радиуса а скорость те- . чення О в точке„находящейся на расстоянии г от оси трубы, дается формулой и — (а — г ), Р 2 2 4р1 где Р— рйзность Давлений жидкости нй концйх трубы, Ц вЂ” коэффициент вязкости, 1 — длина трубы. Определить расход жидкости Ц, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
