Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 21
Текст из файла (страница 21)
ди 2~да ди ди 1921. Найти Й в, если 2 = хф — + ф 1912. Показать, что функция Глава Л. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЫНБЫХ удоВлетворяет уравнению колебаний струны Эь', 2Эи ЭФ дх (ху уу з~р я — постОянные) удОвлетворяег уравнению ности где 9 и ~ — произвольные дважды дифференцируемые функции,:,,-'; удовлетворяет уравнению колебаний струны удовлетворяет уравнению дх ду $ 7. Проиамолныв и диффврвнциалы выслана порядков 1913. Показать, что функция 2 = Дх + ~р(у)1 удовлетворяет урав- нению Э8 Э 3 Эхдхду 1914. Найти и = ц,(х, у), если д и.
Эхду 1915. Определить вид функции и = ы(х, у), удовлетворяющей уравнению Э~ дх 1917. Найти сГи, если м = худ. 1918, Найти д г, если 2 2 г=~р®, где1=Х +у. 1919. Найти Йг и Й г„если 2 1920. Найти Й г, если г )'(и, и), где и ах, о = Ьу. я = е сову. 1923. Найти дифференциал 3-го порядк~ функции = хсОЯУ+ Ч31пх, определить все частные производные 3-го порядка. 1924. Найти йД1„2) и й Д1, 2), если Дх, у) = х" + ху + у — 4 1п х — 10 1п у, 1925. Найти о ЙО, О, О), если Ях, у, г) = х + 2у + Зя — 2ху + 4хя + 2уя. 2 2 2 Глава Ч1, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ $ 9. Дифференцирование неявных Функций 1932, Определить постоянные а и Ь так, чтобы выражение (ах +2ху+у )с(х — (х +2ху+Ьу )с»у 2 о 2 2 2 2 (х +у) было полным диФФеренциалом некоторой функции г, и найти последнюв.
Убедившись, что данные ниже выражения являются полными дифференциалами некоторых функций, найти эти функции. 1933. (2х + у + г) Йх + (х + 2у + г) Йу + (х + у + 2г) с)г. 1934. (Зх + 2у + Зг) йх + (4ху + 2у — г) с(у + (Зх — у — 2) дг. 1935. (2хуг — Зу г + Зху + 2) Йх + (х г — бхуг + Зх у + Ц Йу + +(х у — Зху + 3) с(г. 1936.
— — — Йх + — — —. Йу + — — — "„дг. 1937 хсдх+ усду+ гсдг х'+ у'+ г' 1936+. Даны проекции силы на оси координат: у . у )х 2 д (х+ у) (х+ у) Где дд — постоянная величина. Каков должен быть коэффициент Хд чтобы сила имела потенциал? 1939. Какому условию должна удовлетворять Функция «(х, у), чтобы выражение )'(х, у) (дх + с)у) было полным дифференциалом? 194(). Найти функцию и, если с)и Дху)(ус)х + хс)у). $9.
Дифференцирование неявных функций 1'. Сл уч ай одной н езав и си мой перемен ной. Если уравкение )д(х, у) = О, где «(х, у) — дифференцируемая функция переменных х и у, Определяет у как функцию От х, ТО произвОдная этОЙ неявпО заданной функции при условии, что «' (х, у) д' О, мо~кет быть найдена по формуле с)у С (х, у) (1) с)х ~„' (х,у) производные высших порядков находятся последовательным дифференци- рованием формулы (1).
2',Случай нескольких независимых переменных, Аналогично, если уравнение Р(х, у, г) - О„где Г(х, у, г) — дифференцируемая функция переменных х, у и г, определяет г как функцию независимых переменных х и у и Е,(х, у, г) ~ О, то частные производные этой неявно заданной функции могут быть найдены по Формулам дг Г„" (х,у,г) дг Р„' (х, у,г) дх Р'„(х,у,г) ' ду Г,' (х,у,г) (2» Другой способ нахождения производных функции г следующий: дифференцируя уравнение Р(х, у, г) О, получим ЭР Ю ЭŠ— с(х + — с(у + — с(г = О. дх ду дг дг дг Отсюда можно определить Ог, а следовательно, = и —. дх ду П р и м е р 2. Найти — и .— ° если дг дг дх ду х --2у +Зг 'уг+у=О, 2, 2 Репеек не.
1-Й с и Особ. Обоз~а~за леву1О часть данного уравнения через Г(х, у, 2)„найдем частные производные: Р; (х, у, г) = 2х, Г' (х, у„г) = — 4у — г + 1, Г; (х, у, г) бг — у. Применив формулы (2), получим дд Р„~*,д,д) дд ж» д' 1д,д,д) д — 4д — д дд д,'(д,д,д~ бд — д дд Р',(д,д,д) дд — д Пример 1. Найти —. и —, если с)у с) у ох (х +у) — 3(х 1у)+1=0. 2 2 2 2 2 Р е ш е н и е, Обозначая левую часть данного уравнения через Дх, у), найдем частные производные ~„' (х, у» 3(х + у ) .
2х — 3 2х = бх((х + у ) — Цд У' (х у) = 3(х2 + уг)2 . 2у 3 . 2у — буих2 + у2)2 Ц Отсюда, применяя формулу (1), получим 2 2 ф )','(х,у) бх1(х +у ) — 1! х дв (""") бу!(х +у ) — 11 Чтобы найти вторую производную, продифференцируем по х найденную пер- вую производную, учитывая при этом, что у есть функция х; с(у «х~ 2 1 у-х — у х( — 1 2 с)х$, у~ 2 2 3 Глава У1.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 3 9. ДиФФеренцирование неявных функций 2-й с и о с о б. Дифференцируя данное уравнение, получаем 2хйх — 4уйу+ бгйг — уйг — гйу+ Йу О. Отсюда определяем йг, т. е, полный дифференциал неявной функции: 2хйх+(1 — 4у — г)йу у — бг Сравнивая с формулой Йг = — Йх + — йу„видим, что дг дг дх ду дг 2х дг 1-4у-г дх у — бг' ду у-бг 3 .
Система неявных функ ци й. Если система двух уравнении Р(х, у, и, У) = О, с'(х, у, и, У) = О определяет и и У как дифференцируемые функции переменных х и у и якобизн д" дк мО, ЭО М дм дУ то дифференцналь1 этих функций (а следовательно, и их частные производ- ные) могут быть кайдены из системы уравнений — йх+ — Йу+ — Йи+ — ЙУ ~ О, дУ ЭР ЭР дР дх ду ди ду Ж дб дО дΠ— йх+ — Йу+ йи+ — ЙУ О. дх ду ди ду П ример 3.
Уравнения и + У = х + у, хи + уУ 1 определяют и и у как функции от х и у; найти —, —, — и —. ди дм ду ду дх ду дх ду Р е ы е н и е. 1-й с и о с о 6. Дифференцируя оба уравнения по х, получим ди ду — + — =1, дх дх и+х — +у — =О, дм дУ дх дх Аналогичным образом найдем дм. ду 2-й с п о с о б, Дифференцированием находим два уравнения, связываю1цие дифференциалы всех четырех переменных: Йм+йу=йх+йу, хйи + ийх + уйУ + Уйу ~ О. ГЕ "у -у диф р.ц .Йии у, у (и+ у)йх+ (у+ у)йу й (и+ х)йх+ (у+ х)йу х-у х — у 4'.Параметрическое задание функции. Если дифференцируемая функция г от переменных х и у задана параметрически уравнениями х = х(м, у), у = у(м, у), г = г(м, и) В(х, у) ХЦи, у) то дифференциал э*ой функции ~~~~~ быть ~~Йд~~ из с~сте~~ ура~некий йх = — йи+ — ЙУ, дх дх ди ду Йу = — "ЙМ + —.ЙУ> ду ду ди ду йг= и+ й .
дг дг ди ду дг Зная дифференциал Йг = рйх + рйу, находим частные производные — = р дх и — = д, дг ду П р и и е р 4. Функция г аргументов х и у задана уравнениями х=и+у, у и +у, г=и +у' (и~у). г 3 3 3 Найти — и —. дг дг дх ду Ре шеи не. 1-й способ. Дифференцированием находим три уравне- ния, связывающие дифференциалы всех пяти переменных: ~йх-йм+Йу, Йу = 2и Йи+ 2У ЙУ, Йг = Зм Йи + Зу Йу. Глава Н. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Из первых двух уравнений определим Йи и Йу: Й 2уйх — Йу Й Йу - 2ийх 2(У-и) 2(У- и) Подставим в третье уравнение найденные выражения Йи и Йу, 3 22УЙх — Йу + 3 2Йу-2ийх биУ(и — У)Йх+3(У вЂ” и )Йу 2 2 2(У- и) 2(У вЂ” и) 2(У-и) ° — ЗИУ Йх + — (и + У) Йу.
3 2 1943. Найти — ", если у = 1 + у . Йх 2-й с и особ. Из третьего заданного уравнения можно найти д2 2ди 2 до. Э2 2ди 2дУ вЂ” зи — + ЗУ вЂ”; —. = зи — + ЗУ дх Эх дх ду ду ду (5) '.:. 1 Продифференцируем первые два уравнения сначала по х, затем по у Нанти — и — . Йу Й'у Йх Из первой системы найдем 1947. Найти —" и — ",, если Йх~ Из второй системы найдем ди 1 ду 1 ду 2(и — У) Эу 2(У вЂ” и) Подставляя выражения — и — в формулу (5), получим дв дз дх ду и —., если Э2 ду ' х сов д + усовы + гсовх = 1. 1941.
Пусть у есть Функция х, определяемая уравнением ) 2 Х У 2 ~2 2 2 Нанти —, —, и = Йу Йу Йи Йх Й„.' 1 — — + —. ди ду дх дх' О = 2и — +2у —. Эи ду Эх дх' Эи дУ 1= — +— ду ду' | 0=2и — +2У вЂ”, Эи ду Эу ду' 5 9. дифференцирование неявных Функций 1942. Пусть у есть функция, определяемая уравнением х + у + 2аху = О (а - 1), Показать, что —., = О, и объяснить нолученный результат. Й'у Йх 1944, Найти —" и — ",, если у = х + 1н у.
ЙХ Йх2 1945. Найти " и — ", если Йхх=1 Йх2 х — 2ху+у +х+у — 2=0. 2 2 Пользуясь полученными результатами, прибли2кенно изобразить график данной кривой в окрестности точки х = 1. 1946. Функция у определяется уравнением 1и /х" +у = а агсйд ~ (а Ф 0). 1948. Функция г переменных х и у задана уравнением х + 2д' + я — Зхдв — 2у + 3 = О, 2 З З Найти — и —.
д2 Э2 дх Эу 1949. Найти— дд Эх Найти — и —. для системы значений х = — 1, у = О, Э2 дв дх ду 2 2 2 2 2 1951. Найти —, —, —, —, —, если —, +— дг дг д 2 д г д г , х у дх ду дх Эхду 267 $10, Замена переменных $10. Замена переменных Глава Ч1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПБРЕЫЕННЫХ 1952. Дх, у, г) О. Показать, что — — ..— — 1. дх.ду.дг Ф;. ду дг дх !)' 1953. г = «р(х, у), где у есть функция х, определяемая уравнением ',".
«~«(х, у) = О. Иайти —. Йг ««х 1954. Найти «1г и Й г, если х +у +г =а. 2 2 2 2 4 1955. Пусть г есть функция переменных х н у, определяемая уравнением В 2х + 2у + г — 8хг — г + 8 = О. 2 2 2 2 Найти дг и Й г для системы значений х = 2, у = О, г = 1. 1956, Найти Йг и д г, если 1П г = х + у + г — 1, Чему равны про- 2 нзводные 1-го и 2-го порядков функции г? 1957.
Пусть функция г определяется уравнением + у + г = «р(ах + Ьу + сг), 2 2 2 где «а — произвольная дифференцируемая функция, а, Ь, с — постоянные, Показать, что (су — Ьг) — + (аг — сх) — г = Ьж — ау. дх ду 1958. Показать„что функция г, определяемая уравнением аг~ у "г) = О где Р— произвольная дифференцируемая функция своих аргументов, удовлетворяет уравнению а= +Ь вЂ” =1, дх ду 1959. Р~-",6 = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
