Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Аналогично найдем, что (з ) = 6 в яааб у м е точке ( — 3; 0); (2„,„„)„. „= — — в точке ~--;О 1 ( 1. При х + у — 3 или у = -3 — х будем иметь г = Зх + 9х+ 6. Аналогичным 2 обр,. и наидем, что(а„„„„) + „„= — — В точке ~--; — — 1; (г„, )„+у 3 6 3 ( 3 3~ совпаДает с (г„„„б)„„о и (г„„„е)„е. На пРЯмой х + У = — 3 можно было бы исследовать функцию на условный экстремум, н6 приводя к функции ОДНОГО аргумента, 3) Сопоставляя все полученные значения функции з, заключаем, что 2„„„6 = 6 в точках (О; -3) и ( — З„О); з„,„„= -1 в стационарной точке М. Исследовать на экстремум следующие функции двух переменных: 2008.г (х — Ц + 2у. 2009, з = (х — 1) — 2у . 2 2 2010.
г х + ху + у — 2х — у. 2011,г ху(6 — х — у)(х>О,у>О). 3 2 2012. г х + у — 2х + 4ху — 2у . 4 4 2 2 2013. г = ху 2014. л = 1 — (х + у ) (, 2015, г = (х + у )е ~' 2016 1+ х — у Я '7 Глава У1, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ 11ЕРЕМКННЫХ 2 14, Задачи на отыскание наибольших и наименьших значаний функций 22$ 2016.1. г = — + — + У (х =' 0 У .
0) х у 2016.2. г = е ~(х — 2У ) Найти экстремумы функций трех переменных: 2017.и~х +у +г — ху+х — 2г. 2 2 2 л 2 2018. и = х + —" + ~ + (х > О, у > О, г > О). 4х у г Найти экстремумы функций г, заданных неявно: 2019*.х + у + г — 2х+ 4у — бг — 11 = О. 2020. х — у — Зх + 4у + г + г — 8 = О. 2 Определить условные экстремумы функций: 2021.г =ху при х+ у = 1. 2022. г = х + 2у при х + у = б. 2 2 2023.
г = х + у при -" + -" = 1. 2 3 2 2 =Я 2024. г = сов х + сов" у при у — х = — ° 2 2 2 2025. и = х — 2у + 2г при х + у + г = 9. 2 2 2 2026.и = х + у + г при †",, + у + ~— = 1 (а > Ь > с > О). 2027. и = ху г при х + у + г 12 (х > О, у > О, г > О). 2028. и = хуг при условиях х + у + г = 5, ху + уг + гх = 8. 2029.
Доказать неравенство х+у+ г . 3/ 3 если х =' О, у > О, г -' О. У к з з а н и е. Искать максимум функции и хуг при условии х + у + г = 8. 2030. Определить наибольшее значение Функции г = 1 + х + 2у . в областях: а)х>О,У >О,х+У4 1; б)Х~О,У~: О,х — у<1 ° 2031. Определить наибольшие н наименьшие значения функци~:.:. 2 2 2 2 а)г=хуиб)г=х — у вобластих +у ~1. 2032. Определить наибольшее и наименьшее значения функции г - в1п х + в1Н у + в1п (х + у) в области О < х ~ —, О < у = — . 2 2 2033. Определить наибольшее и наименьшее значения функции . г ~ х' + у — Зху в области 0 4 х ~ 2, — 1 ~ у ~ 2.
$14. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций П р и и е р 1. Положительное число а требуется разбить на три неотрицательных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим. Ре1л ение. Пусть искомые слагаемые будут х, у, а — х — у. Ищем максимум функции ~(х, у) = ху(а — х — у). По смыслу задачи функция ~(х, у) рассматривается внутри замкнутого треугольника х Э О, у э О, х + у 1 а (рис. 71). Г,' (х, у) = у(а — 2х — у) =- .О, Р„'(х, у) = х(а — — 2у) =О, ~„" (х, у) = а — 2х — 2у, ~" (х, у) ~ — 2х.
Следовательно, а а Л„~„ц а 1 „а а (а а1 Итак, в точке ( —; — ~ функция достигает максимума. Так как нз контуре тре~з' з1 угольника функция ~(х, у) = О, то зтот максимум будет наибольшим значением Функции, т, е. произведение будет наиболыпим, если х = у - а — х — у - —, а 3 Э* причем наиболыпее значение произведении равно — . а 27 П р и и е ч а н и е. Задачу можно было решать методами условного экстремума„отыскивая максимум функции и = хуг при условии х + у + г ~ а. 2034. Из всех прямоугольных параллелепипедов, имеющих данный объем ~; найти тот, полная поверхность которого наименьшая.
2035. При каких размерах отрытая прямоугольная ванна данной вместимости T имеет наименьшую поверхность? 2036, Из всех треугольников данного периметра 2р найти тот, который имеет наибольшую площадь. получим для внутренности треугольника единственную стационарную точку с а а1 —; — ~. Для нее проверяем выполнение достаточных условий, Имеем Глава ЪЧ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ $1Ь, Особые точки плоских кривых 2037. Найти прямоугольный параллелепипед с данной площадью поверхности 8, имеющий наибольший объем. 2038. Представить положительное число а в виде произведения четырех ~~~~~~~~~ьн~~ со~~о~~~елеЙ так, чтобы их ~у~~~ была наименьшей.
2039. На плоскости ХОУ найти точку М(х, у), сумма квадратов расстояний которой от трех прямых х = О, у = О, х — у + 1 = О была бы наименьшей. 2040. Найти треугольник данного периметра 2р, который при вращении около одной из своих сторон образует тело наибольшего объема. 2041. На плоскости даны три материальные точки Р (х,, у,), Р,(х,, у ), Рз(хз, у ) массами т„т,, тз. При каком положении точки Р(х, у) квадратичный момент (момент инерции) данной системы точек относительно точки Р (т. е.
сумма и ~Р Р ~ + т 1Р2Р ~ + т 1РэР ~ ) будет наименьшим7 2042. Через точку М(а, Ь, с) провести плоскость, образующую с плоскостямн координат тетраэдр наименьшего объема. 2043. В эллипсоид вписать прямоугольный параллелепипед наибольшего объема. 2044. Определить наружные размеры открытого прямоугольного ящика с з~да~~~Й толщиной с~~~~к о и е~кос~~~ (внутренней) Ъ так, чтобы на его изготовление было затрачено наименьшее количество материала.
2045. В какой точке эллипса касательная к нему образует с осями координат треугольник наименьшей площади? 2046а. Найти оси эллипса бх'+ 8ху+ бр' = 9. 2047. В данный шар вписать цилиндр с наибольшей полной»оверхн остью. 2048. Русла двух рек (и пределах некоторой области) приближен- 2 но представляют параболу у = х и прямую х — у — 2 О. Требуется соединить данные реки прямолинейным каналом наименьшей длины. Через какие точки его провести? 2049. Найти кратчайшее расстояние от точки М(1; 2; 3) до прямой х у л 1 — 3 2 $15.
Особые точки плоских кривых 1'. Определение особой точ кн. '1'очка М(х, у ) плоской кривой ~(х, у) О называется особей точкой, если ее координаты одновременно удовлетворяют трем уравнениям: Яхе» уе) = О1 Г» (хе» уе) ° Г~ (хе» уе) О~ 2'. О с н о в н ы е т н п ы о с о б ы х т о ч е к. Пусть в особой точке М(х,, у„) производные 2-го порядка А - Г„'„'(хе уе)1 В = Г„„(хе Уе)1 ~~~ ("е Уе) не все равны нулю и а = А С вЂ” 8, тогда: а) если а > О, то М вЂ” изолированная точна (рис.
74)," б) если Л < О, то М вЂ” узел (' двойная точна,) (рис. 75); в) если а О, то М вЂ” или точка возврата 1-го рода (рис. 76), или 2-го рода (рнс. 77), или изолированная точна, нлн точка саманринасновения (рис. 78). 2050+. Точки А и 8 расположены в различных оптических средах, отделенных одна от другой прямой (рис. 72). Скорость распространения света в первой среде равна о1, во второй — и . Пользуясь принципом Ферма, согласно которому световой луч распространяется по линии АМВ, для прохождения вдоль которой требуется минимум времени, вывести закон преломления светового луча. 2051, Пользуясь принципом Ферма, вывести закон отражения светового луча от плоскости в однородной среде (рис.
73). 2052, Ясли в электрической цепи, имеющей сопротивление В, течет ток Х, то тепловая мощность в цепи равна Х В. Определить, как 2 следует разветвить ток Х на токи Х„Х, Х при помощи трех проводов, сопротивления которых тепловая мощность была бы минимальной. Рис. 72. »» »С Рис. 73. В,, В~, Ва, чтобы $16 Огибающая Рис. 80, Глава У1. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ При решении задач этого раздела предполагается обязательным постро-: ение кривых, 2 3 3 Пример.
Показать, что кривая у = ах + х имеет: узел, если а > О; изолированную точку, если а < О; точку Возврата 1-го рода, если а О. Решение. Здесь Ях, у) - ах + х -у". Найдем частные производные: и ириравняем их нулю: ~' (х, у) и 2ах + Зх = О, ~' (х, у) = — 2у = О, Эта система имеет два решения: О(О", О) и 31~--а; О, но координаты точ- " 2 3 ки Ф не удовлегВОряют уравнению данной кривой. Значит, имеется един- ственная особая точка О(О; О), Найдем Вторые производные и их значения в точке О: ~'„'„(х, у) = 2а+ бх, А- 2а, ~'„'„(х,у) =О, 8=0, ~"„(х, у) -2, С -2, А =А С вЂ” В = — 4а. 3 Следовательно, если а > О, то а < О и точка Π— узел (рис.
79); если а < О, то Л > О и точка Π— изолированная точка (рис. 80); 2 3 если а О, то 13 = О. Уравнение кривой в этом случае будет у = х илн: Гз у ~+ ~х, где х 1 0; кривая симметрична относительно оси ОХ, являющейся касательной. Следовательно, точка М вЂ” точка возврата 1-го рода (рис. ЗЦ.
Выяснить характер ОсОбых точек кривых: 2053.у =-х +х. 2 2 4 2055.а у =а х — х. 4 2 2 4 6 2054.(у — х) =х. 22 'Ь 2056. х у — х — у О. 2 2 2 2 2057. х + у — заху =- О (декартов лис1п). 3 2 2058. у (а — х) = х (циссоида). 2059. (х + у ) а (х — у ) (лемииската), 2060. (а + х)у = (а — х)х (сп3рофоида). 2061. (х + у")(х — а) Ь х (а > О, Ь > О) (конхоида). Рассмотреть 2 2 2 2 2 три случая: 1)а > Ь, 2) а Ь, 3)а < Ь.
2062. Выяснить изменение характера особой точки кривой у (х — а)(х — Ь)(х — с) н зависимости От значений а, Ь, х (а < Ь < с вещественны). 1'. О и редел е н и с оги 6 а ю щей. Огибави4ей семейства плоских кривых называется кривая (или совОкупность нескольких кривых), которал касается всех линий данного семейства, причем в каждой своей точке касается какой-нибудь линии рассматриваемого семейства. 2'. Уравнение оги баю щей.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
