Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 27
Текст из файла (страница 27)
93). «2' з 3. Вычисление площздеи фи«ур (8) распространенный на область, ограниченную окружностью х + у = - 2ах. 2167. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин- теграЛ ае — х2 — ф дх йф, Ф) где область интегрирования 8 — полукруг радиуса а с центром в йа- чале ~оординат, лежащий выше оси ОХ. 2168. Вычислить двойнои интеграл от функции Д~г, ««)) = г по об- ' ласги, ограниченной карлноидой г а(1 + сове) и окружностью г = а.
(Имеется в виду область, не содержащая нолюса.) 2169. Переходя к полярным координатам, вычислить .~Р:Р дх Х2+дз ду. о о 2170. Переходя к полярным координатам, вычислить г а2 — хз — у2 дх с«ф, (Я) где область 8 ограничена лепестком лемнискаты (х +у) =а~х — у) «Х~О). 2171":. Вычислить двойной интеграл Хз и2 .К." 1 — — — и- ОХИ, «22 Ьз $ (8) распространенный на область Я, ограниченную эллипсом — + "- 1, .'. «22 Ьз переходя к о6общенным поллрнь~м хоординал2ам г и ««) по формулам -" = гсоае, " = гв)п«р. а Ь 2172""'.
Преобразовать с «3х с«х Дх, у) с«у 0 ах (О < а < «) и с > 0), введя новь1е переменные и = х + у, ип = у. 2174) +. Вычислить двойной интеграл г«х дп, Ф) где Я вЂ” область, ограниченная кривой У к а за н и е. Произвести замену переменных х агсоз««), у = Ьгз1по), 9 3, Вычисление площадей фигур 1'. Площадь в и ря мо уголь вы х координатах.
Цлощадь лаос«сей облпс«п««, Я равна «з) Если область 3 определена неравенствами а ~ х ~ Ь, фх) ))«««««(х), то Ф Ц~«Х) 2'. П л о щ а д ь в и о л я р н ы х и о о р д и и а т а х, Если область 8 в полярных координатах г и «в определена неравенствами а < «р К «), )«(««)) «.- г< Р(«р)„то Р РМ) 2175. Построить области, площади которых выражаются интегРалами: «« ь«числить эти площади и изменить порядок интегрирования, выч22слнту дв йной ин «2173 Выполнить замену переменных и = х + ф У = х ф в ин теграл .
теграле Глава И1. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ 4. Вычисление объемов тел 2176. Построить области, площади которых выражаются интегралами: б) йр гпг, агфа 2 3 аасЧ 2 о(1 + совдеп Ф ) ~ ар ~ айаг; в 0 Я Й 4 2 Вычислить эти плОщади. 2177. Вычислить площадь, ограниченную прямыми х = у, х = 2у, '~ х+ у = а, х+ Зу = а(а > О). 2178. Вычислить площадь, лежащую над осью ОХ и ограничен- 2 ную этой осью, параболой у = 4ах и прямой х + у = За, 2179". Вычислить площадь, Ограниченную эллипсом 2 2 (у — х) + х = 1.
2180. Найти площадь„ограниченную параболами у = 10х + 25 и у = -бх + 9. 2 2 2181. Переходя к полярным координатам, найти площадь, огра- ниченную линиями х + у = 2х, х + у = 4х„у = х, у = О. 2, 2 2182, Найти площадь„ограниченную прямой г соэ О1 = 1 и окруж- ностью г = 2. (Имеется в виду ~лощ~д~, не содержащая полюса.) 2183. Найти площадь, ограниченную кривыми г = а(1 + соэ ~р) и г = а сов <р (а > О).
2184. Найти площадь, ограниченную линией 4 9,~ ф 9 2185 . Найти площадь, ограниченную эллипсом (х — 2у + 3) + (Зх + 4у — 1) = 100. 2186. Найти площадь криволинейного четырехугольника, ограни- ." 2 2 2, 2 ченного дугами парабол х = ау, х = Ьу, у = ах, у = рх (О < а < Ь,," 0 < и < Р). Указан не, Ввести новые переменные а и О, полагая 2 2 х ° ау, д =" ух. 2187. Найти площадь криволинейного четырехугольника, огра-" ~ 2 о ниченного дугами кривых у = ах, у = Ьх, ху = й, ху = Р (О < а < Ь .4,' О<а<р). У к а з а и и е. Ввести новые псременныс и и О, полная ху-и, у =Ох, э 4.
Вычисление объемов тел Обаем ~' цилиндроида, ограниченного сверху непрерывной поверхностью г = Дх, у), снизу плоскостью г = О и с боков прямой цилиндрической поверхностью, вырезаю1цей на плоскости ХОУ область Я (рис. 94), равен Рис. 95, 2188. Выразить при помощи двойного интеграла объем пирамиды р и О(О; О; О), А(1; 0; О), В(1; 1; О) и С(О; 0; 1) (р . 9б). Расставить пределы интегрирования. В задачах №№ 2189 — 2192 нарисовать тела, объемы которых выражаются данными двойными интегралами: 1 1 — х ,6:.а 2189. с(х (1 — х — у) йу. 2191, дх (1 — х) ду.
о о О О 2 2 — а 2 2190. йх (4 — х — у) ду. 2192. дх (4 — х — у) ду. о о 0 2 — х 2193. Нарисовать тело, объем которого выражается интегралом а ~да 2 4Х а2 — х2 — у2 йу, и иэ геометрических соображений найти 0 о значение этого интеграла. 2194. Найти объем тела„ограниченного эллиптическим парабо- 2 2 лоидом г = 2х + у + 1, плоскостью х + у = 1 и координатными плоскостями.
2195, Тело ограничено гиперболическим параболоидом г х — у и 11лоскостями у = О, г = О, г = 1. Вычислить его объем. 2196. Тело ограничено цилиндром х + г а и плоскостями у = О, О, у = х. Вычислить егО Объем. Глава Ъ'11. КРАТНЫЕ И КРИНОЛИН ЬЙИЫЖ ИНТЕГРАЛЫ $ б. Приложения лвойного интеграла к механике метром шара. Найти площадь поверхности шара, вырезанной про-.' светом. 2224:. Вычислить площадь части винтовой поверхности г = с агс$а .-", лежащей в первом октанте и заключенной между ци- 2 2 2 2 2 2 линдрамих +у =а их +у =Ь 5 6.
Приложения двойного интеграла к механике 1',Масса и статические моменты пластинки.Если8— область плоскости ХОУ, занятая пластинкой, н р(х, у) — поверхностная, плотность пластинки в точке (х„у), то масса М пластинки и ее статические: моменты М, и М относительно осей ОХ и ОУ выражая)тся двойными ин- тегралами М - р(х, у) дх ду, (в) М = ур(х, у)йхйу, М1, хр(х, у)(1х~(у (1) ',- ! Ф) (Я) $ Если пластинка однородна, тО р(х, у) ~ сопя'(, 2'.Координаты центра тяжести пластинки. Если ~~ С(х, у) — центр тяжести пластинки, то х ° — д М' М' где М вЂ” масса пластинки, М, М . — ее статические моменты относительно- осей координат (см.
1'). Если пластинка однородна, то в формулах (Ц можно.~. положить р = 1. 3'.Моменты инерции пластинки, Моменты инерции плас-: тинки относительно осей ОХ и ОУ соответственно равны Хх = у р(х, у)дхду, 1. х р(х, у)йхйу. Момент инерции пластинки относительно начала координат ( -' + у')р(х, у) ах (у = т„+ ~„ (8) Полагая р(х, у) = 1 в формулах (2) и (3), получаем геометрические м~: ' менты инерции плоской фигуры. 2225.
Найти массу круглой пластинки радиуса В, если плотностВ:: ее пропорциональна расстоянию точки от центра и равна о на краЮ,: ).:г:, ' пластинки. 2226. Пластинка имеет форму прямоугольного треугольника с катетами ОВ = а и ОА = Ь, причем плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета ОА. Найти статические моменты пластинки относительно катетов ОА и ОВ. 2227. Вычислить координаты центра тяжес- у ти Фигуры ОтАпО (рис. 96), ограниченной кри- АфЦ вой у = в)п х и прямой ОА, проходящей через на- Ф чало координат и вершину А —," 1 синусоиды. Х 2228. Найти координаты центра тяжести фи- Рие. 96.
гуры, ограниченной кардиоидой г = а(1 + сов ф. 2229. Найти координаты центра тяжести кругового сектора радиуса а с углом при вершине 2а (рис. 97). 2230. Вычислить координаты центра тяжести 4)игуры, ограниченной параболами у" = 4х + 4 и у = — 2х+ 4. 2 Рис. 97, 2231, Вычислить момент инерции треугольника, ограниченного прямыми х + у = 2, х = 2, у 2, относительно оси ОХ, 2232. Найти момент инерции кругового кольца с диаметрами д и Х) (а < .О): а) относительно его центра и б) относительно его диаметра. 2233, Вычислить момент инерции квадрата со стороной а.
относительно оси, проходящей через его вершину перпендикулярно плоскости квадрата. 2234"'. Вычислить момент инерции сегмента, отсекаемого от па- 2 раболы у = ах прямой х = а, относительно прямой у — а, 2235". Вычислить момент инерции площади, ограниченной гиперболой ху = 4 и прямой х + у = 5, относительно прямой х р. 2236+. В квадратной пластинке со стороной а плотность пропорциональна расстоянию от одной из ее вершин, Вычислить момент инерции пластинки относительно стороны, проходящей через эту вершину.
2237. Найти момент инерции кардиоиды г = а(1 + сов (р) относительно полюса. 2 2238. Вычислить момент инерции площади лемнискаты 2 = 2а сов 2р относительно оси, перпендикулярной ее плоскости в полюсе. 2239+. Вычислить момент инерции однородной пластинки, ограниченной одной аркой циклоиды х = а(~ — в1п 1), у а(1 — сов ~) и осью ОХ, относительно оси ОХ.
$7, Тройные интегралы $7. 'Гройиые интегралы )'(х, у, 2)йхдудз '4 .,1(1 'Ф Пример 2. Вычислить (зр,) 22 хз + — =1 — —, с2 ДЗ (1') (р где Я„, есть площадь эллипса (у2 ЬЗ х ~= сопМ, равная "де ~' — шар радиуса И. Глава Ч1. КРАТНЫК И КРИВОЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 1'.ГройиоЙ интеграл в прямоугольных координатах, Тройным интегралом от функции Х(х, у, г), распространенным на область У, называется предел соответствующей трехкратной суммы. Х(х, у, 2) дх ду да = 111п ~(х,, у,, а„) Ьх,.
1(( у,. Ь г, | и ~ ~ ~ ~ ~ ~ «~ ~ ~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ О ~ ~ Г Р 2 У (((аи:1((, — О Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислени1о трех обыкновенных (однократных) интегралов или к вычислени1о одного двойного и одного однократного. Пример 1. Вычислить Х х у х дх йу дг, где область 7 определяется неравенствами О'~х~1, О<у~:х, О ('24ху, Решение. Имеем: 1 р ((у 1 х Йх ду х у 2(12 6х х у — Йу О О О О 0 1 1 ХЗ 4 Г ХЗ 2 Г Х10 1 1Ь~ — У- Йу=~ — а- Йх ~ — 6х З ~ 2 5 , 1 1О 11О 0 О Ж1 хз ц2 распространенный на объем эллипсоида — + (12 Ь2 Р Е 1П Е Н И Е.
( х2 х2 (' х2'( 3 = кЬ ~1- — с 1- — - кЬс~1 — — ~. ур р(~ (22 яЗ йи2 Поэтому окончательно имеем х Йх Йу(12 = яЬс х 1 — — (1х — ка Ьс. 2.Замена переменных в тройном интеграле. Если в рокком интеграле 1(1 От переменных х, у, г требуется перейти к переменным и„о, 1с, связанным с х, у, г соотношениями х (р(и, в, л(), у 1р(и, в, й), г - Х(и, ю, в), где функции (р, (р, у: 1) непрерывны вместе со своимн чзстнымн производными 1-го порядка,' 2) устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области интегрирования У' пространства ОХИ и точками некоторой области 7' пространства 0'РИФ', 3) функциональный определитель (якобиан) этих функций сохраняет в области T постоянный знак, то справедлива формула | | | ((и, р, и(6и йр йи | | | ((р(и, и, и(, и(и, и, й(, р(и, и, иц ~(~ ридики.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
