Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 28
Текст из файла (страница 28)
((',( В частности: 1) для цилиндрических координат «, (р, Ь (рис. 98), где х «соз1р, у = «з1п(р, з Ь, получаеми что Х 2) для сферических координат 1р, (р, г ((р — долгота, (р — широта, « — радиус-вектор) (рис. 99), где х = «соз (р соз Ф, у = «соз 1р з1п 1р, х = гз1п ()(, имеем Х --. г соз (р. 2 П р и и е р 3. Переходя к сферическим координатам, вычислить х2+у2+22 Йх Йу Из, Глаы УН. КРАТНЫК И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 7.
Тройные интсгралы Р с п1 е н и е. Для шара пределы изменения сферических координат у (долготы), ))» (широты) и г «радиуса-вектора) будут: Поэтому будем иметь у2 + 22 «1х оу Ог О««)»1~)»»»" соа ф Ог = »»Я «К) 0 а е 2 Ф 3'. П р и л о ж е и и я т р о й н ы х и н т е г р а л о в.
Обеем области трех;:.. мерного пространства ОХИ равен дх ду дг. Ж Масса тела, занимающего область $', АХ = т(х, у, г) дх ду дг, / где у(х, у, г) — плотность тела в точке «х„у; г). )' С»»»а»иические маме»»»»)ь» тела относительно координатных плоскостей: „::: М „. = у(х, у, г)гдхдудг; «Ж) М,. = у(х, у, г)хдхдудг; М - у(х, у, г)удхдудг. «Ж) КООрдини»»)ы цен»щю»»»лжес»Ви: — ~„, х ~ — ~/ = М*' М' М Если телО Однородно, то в»1)ормулах для координат пентра тл)нести мо)кпо положить у(х, у, г) - 1. Мементь» инерции Относительно осей координат: Х,, = (у + г ) т (х, у, г) дх ду дг; «т) (г + х ) т(х, у, г) дх дудг; «Р) — (х + у ) ) (х, у, г) дх ду дг. «), ) ПОлОжив 6 этих формулах у(х, у, г) = 1, пОлучим геОметрические мо:. менты инерции тела.
Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле »'(х, у, г) дх ду дг «Р) для указанных областей К: 2240. ~' — тетраэдр, ограниченный плоскостями х —.- у + г = 1, х = О, у = О, г =-- О. 2241, К вЂ” цилиндр, ограниченный поверхностями х +у =В,г=О„г=Н. 2242+. Р' — конус, ограниченный поверхностями х2 у2 22 — +~- = — г=.с 2 (»2 «2 > 2243. ~" — объем, ограниченный поверхностями г=1 — х — у,г=О.
2 2 Вычислить следующие интегралы: «Х+ у+ 2+ 1)2 ' где )' — область интегрирования, ограниченная координатными ~лоскостями и плоскостью х + у + г = 1. 2249. Вычислить (х + у + г) дх ду дг, «)К) 2 2 2 2 2 2 где~' — общая частьпараб)олонда2иг 1~ х +у и шарах +у +г с.
ЗО . 2245. дх 2246. дх 2247. дх А. аЫЧИСЛЕНИК тРОйнЫХ ИНтЕГРЛДОВ дг ,/к+у+~+1 О 0 4х-2~ 2,Б ду х дг. Я' - х2 'а-' — ' — »»2 у у 1 — х 1-х- »» ду хуг дг. 2 7, Тройные интегралы 2257. Вычислить 2250. Вычислить Йх дф (х'+ р') ~г, — + + — дх ду дг> г Йх»»д >:»г> ЯВВ~2 О преобразовав его предварительно к цилиндрическим кооРдинатам. Глава ЧИ, КРАТНЫК И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ »~ > гдето — общаячастьшаровх +у +г <В их +у +г»2Вг. 2 2 2 2 2 2 2.
2251. Вычислить (1') где $' — объем, ограниченный плоскостью г = О и верхней половиной Х2,»2 еллинсоида — + ~ — + — = 1. а2 Ь2 с2 2252. Вычислить (У) х2 н2 22 где 1~ — внутренность эллипсоида — +; + — = 1, а2 Ь2 с2 2253. Вычислить г = л. 2254. Переходя к цилиндрическим координатам, вычисли гь дх Йф дг» (~') 2 2 2 где ~" — область, ограниченная поверхностями х + у + г = 2Вг, 2 2 2 х + у г и содериащая точку (О; О; В). 2255.
Вычислить о о о преобразовав его предварительно к цилиндрическим координатам. 2256. Вычислить преобразован его предварительно к сферическим координатам. 2258. Перейдя к сферическим координатам, вычислить интеграл Х2+ ~2+ г2 дх д~» Йг, ( $') где»' — внутренность шара х + уг+ г '- "х. Б. ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪКМОБ С ПОМОЩЬЮ ТРОЙНЫХ ИНТЕГРАЛОВ 2259. Вычислить с помощью тройного интеграла объем тела, ог! ран иченного поверхностями у = 4а — Зах, у = ах„г = +Ь. 2, 2 2260'"'.
Вычислить объем части цилиндра х + у 2ах, содержащейся ме~кду параболоидом х + уг = 2аг и плоскостью ХОУ. 2261'+. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х + у + г 2 2 2 2 2 2 = а и конусом г = х + у (внешнего по отношению к конусу). 2262 '. Вычислить объем тела, ограниченного сферой х + р + г 2 2 2 2 --- 4 и параболоидом х" + и = Зг (внутреннего по отношению к пара болоиду). 2263. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостью ХОУ, 2 2 2 2 2 2 цилиндром х + у = ах и сферой х + у + г = а (внутреннего по отношению к цилиндру) 2264. 1. Вычислить объем тела, ограниченного параболоидом у2 22 х — + — = 2- и плоскостью х а.
Ь2 с2 а 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностью ~ Х2 ~' г'~' хг д' 22 — +; + — ~ = — +— ',а2 Ь2 с2» а2 Ь2 с2 3, Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями а' Ь2 с2 ' а2 Ь2 сг В. ПРИЛОжкния тРОйных интеГРАлОВ В мкхлникк и еиЗижК 2265. Найти массу М прямоугольного параллелепипеда 0 "= х -' а, О -' у < Ь„О < г < с, если плотность р(х, у, г) в точке (х, ц, г) численно равна х+ в+ г.
Глава УП. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ 8. Несобственные интегралы г 2266. Из октанта шара х + у + г < с, 2 2 2 2 х =-' О, р -а О, г > 0 вырезано тело ОАВС, ограниченное координатными плоскостями и плоср В костью ь т о =1(а Сс,о<к»~рис. 100». Найти А' У а Ь массу этого тела, если плотность его в каждой точке (х, у, г) равна аппликате этой точки.
Р .1ОО, 2267"'. В теле, имеющем форму полушара 2 2 2 2 Х + Д + З ~ ~а, Я кР О ПЛОТНОСТЬ ИЗМЕНЯЕТСЯ пропорционально расстоянию точки от центра. Найти центр тяжести этого тела. 2268. Найти центр тяжести тела, ограниченного параболоидом 2 2 у + 22 = 4х и плоскостью х 2. 2269. Найти момент инерции круглого цилиндра, высота которого Ь и радиус основання а, относительно оси, служащей диаметром основания цилиндра. 2270 ь. Найти момент инерции круглого конуса, высота которого й, радиус основания а и плотность р, относительно диаметра основания. 2271'"", Найти силу притяжения однородного конуса высоты Й с ! углом а при вершине (в осевом сечении) к материальной точке единичной массы, расположенной в вершине конуса.
2272""'"'. Показать, что сила притяжения, действующая со стороны однородного шара на внешнюю материальную точку, не изменится, если всю массу шара сосредоточить в его центре. 5 8. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Несобственные кратные интегралы 1'.
Д и $ ф е р е и ц и р о в а и и е и о и а р а и е т р у. При некоторых т» ограничениях, налагаемых на функции Дх, а), ~;„(х, а) и на соответствующие несобственные интегралы, имеет место правила Лейбница — 1 Ях, а) с(х = 1 ~„' (х, а) с(х. да,1 П р и и е р 1. С помощью дифференцирования по параметру вычислить с-ахр е.-»»хр дх (а ~ О, Д > О). о ь» См.: Л.Д. Кудрявцев. Краткий курс математического анализа, т.
2, гл. б 5 49, БО. — Висагинас: еА1»аь, 1998. Решение. Пусть --' 1х=— Отсюда Г(а, 13) = — — 1п а + С®). Чтобы найти С(р), полагаем в последнем 1 равенстве а = 13. Имеем О = — — 1п р + С(Щ, 1 2 Отсюда С(»3) = — 1п ~3, Следовательно, 2 Р(а„~3) — - 1п а + — 1п (3 = — 1п — . 1 1 1 а 2 2 2 2', Иесобст вен и ые двойные и и тегралы. а) Случай бес к оиечн ой обл асти. Если функция ~(х, и) непрерывна в неогра- ниченной области Б, то полагают ~(х, у) дх с1у 11п» Ях, у) дх ди, (1) (з) (с» где и — конечная область, целиком лежащая в 8, причем о' Я означает, что мы расширяем область о по произвольному закову, так чтобы в нее ве- п»ла и осталась в ией любая точка области Я. Если предел в правой части существует и не зависит от выбора области а, то соответствующий несобст- венный интеграл называется сходящимся, в прс»тинном случае — расходл- и1имсл.
Если подынтсгрвльная функция Дх, д) неотрицательиа (~(х, у) 1 О), то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы предел в правей части равенства (1) существовал хотя бы для одной системы областей а, исчерпывающих область Я, б) С луч ай разры в кой фу як ци и, Если функция Дх, у) непре- рывна в ограниченной замкнутой области Я всюду, за исключением точки Р(а; Ь), то полагают г(х, у) с)х с(и = 1пп ~ ~(х, у) с(х йу, (2) .О, Ф» «3,» где 8, — с»бласть, получаемая из 3 путем удаления малой области диаметра е, содержащей точку Р. В случае существования предела (2), пе зависящего от вида удаляемых из области Я маль|х областей, рассматриваемый несоб- ственный интеграл называется сходяи(и,исл, а в противном случае — расхо* длщимся.
Если ~(х, у) р О, то предел в правай части равенства (2) не зависит от Глава 7П, КРЛТБЬП И КРИВОЛИНКИНЫг. ИНТЕГРАЛЫ $ 8, Несобственные интегралы вида удаляемых из области Я областей; в частности, н качестве таких об- настей можно брать кру1 и 1)адиуса — с центром и точке Р. 2 Понятие несобственных двойных интегралов легко переносится на случай тройных интегралов. П р и м е р 2. Исследовать на сходимость где 8 — вся плоскость л".ОУ. Р е п~ е и и е. Пусть о — круг радиуса р с центром в начале координат. Переходя к полирным координатам, при р Ф 1 имеем 2)( Х(о) -, д(() 22 Р 2 1 — Р ~ 1 — Р О О Если р < 1, то 11п) Х(а) = 1$п) Х(а) оо и интеграл расходится.
Если же ()-3 р> 1, то (1п) Х(о) = — и интеграл сходится, При р = 1 имеем 22 О Х(п) = Ж«) ~, = )( (и (1 + р ); 11п1 Х(о) = ~ ~, т. е, интеграл расходится. гдг 2 „2 н '1"аким образом, интеграл (3) сходится при р > 1. 2273. Найти х'(х), если ~(х) е ~йц (х > О). 2274. ДОКазатве ЧТО фуНКцня х~(г) х2+ (у — а)2 удовлетворяет уравнению Лапласа д И Э (х — + — = О. Дх2 Д~2 2275. Преобразование Лапласа Р(р) для Функции Я(Ф) определяег- .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
