Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Вычислить угад У, если У равно соответс~венно: й) г, б) г, в) —, г) д~г) )г - ./хв 1. д~ 1. в" ). 2378. Найти градиент скалярного паля 0' сг, где с — постоянный вектор. г"йковы будут поверхности уровня ЭТОГО поля и кйк Онн расположены относительно вектора с? х2 2 22 2379. Найти производную функции ~У = — + "- + — в данной й2 )у2 Г2 точке Р(х, у, г) в направлении радиуса-вектора «этой точки. В каком случае эта производная будет равна величине градиента? 2380. Найти производную Функции У = — в направлении 1 1(саэ а, саэ р, сов )). В каком случае эта производная равна нулю? 2381.
Вывести формулы: а) йЬ (С,а, + С а ) = С,61~ а, + С дж а, где С, и С вЂ” постоянные; б) дл (Ус) = дгад У с, где с — постоянный вектор; в) йю (Уа) = ягйй У а + Уйл а. г, 2382, В 1числить 41~ 1 У), ~г, 2383, Найти дл а для центрального векторного поля а(Р) = )(г)~-~, ),г~ где г = гхв+ у~+ вв. Ъ 2384. ВЫвеСти формулы: а) го«, (С,а, + С,ав) = С,«О$ а, + С га«. а, где С, и С вЂ” посто- .,Ъ янные; б) го$ (Ус) = я«ад Г Х с, где с — постоянный вектор; в) го1 (Уа) = ягйй Г Х а + УГОФ а.
2385. Вычислить дивергенцию и вихрь вектора а, если: а) а = г', б) а = гс; в) а = Д(г)с, где с — постоянный вектор. 2 12, Элене)г) ы тяо2)ии пОл)) 2386. Найти дивергенцию и вихрь поля линейных скоростей то- чек тела, вращающегося с постоянной угловой скоростью с) вокруг оси 02 в нйпрйвлении против хадй чйсОвай стрелки. 2387. Вычислить вихрь поля линейных скоростей 2 = а х г точек тела, враЩающегося с .пОстОЯннОЙ угловой скоростью ю вокруГ не- которой аси, проходящей через начало координат.
2389. Доказать, что йж (гоФ а) О. 2390. Пользуясь теоремой Остроградского — Гаусса, доказать, что поток вектора а = г через замкнутую поверхность, ограничивающую произвольный объем У, равен утроенному объему. 2391, Найти поток вектора г через полную поверхность цилиндра х +у <Л,О<я<о. 2 2 2 2392. Найти поток вектора а х 1 + у 1 + г М через: и) боковую 3.
3. 3 х2+ 2 22 поверхность конуса — "- < —, О < х < Н; б) через полную поверхЛ2 .Б'2 НОСТЬ ЭТОГО КОНУсй. 2393". Вычислить дивергенцию и поток силы притяжения « = —— ,.з ТОЧКИ МаССЫ Шв ПОМЕЩЕННОЙ В НйчаЛЕ КООРДИНаТ, ЧЕРЕЗ ПРОИЗВОЛЬ- ную замкнутую поверхность„окружающую эту точку. 2394.
Вычислить линейный интеграл вектора г вдоль одного вит- ка винтовой линии х Всаа~; у = Ваш; 2= Ьг от 2 Одо 1 2я. 2395. С помощью теоремы Стокса вычислить циркуляцию векто- 2 2 2 2 ра а х у 1+ 2+ Ж вдоль окружности х + у В; г = О, приняв в качестве поверхности полусферу г В3- х2 — у2. 2396. Показать, что если сила à — центральная, т. е. направлена к неподвижной точке О и зависит только от расстояния г до этой точки: Р = Дг)«, где.)(г) — однозначная непрерывная Функция, то поле — потенциальное. Найти потенциал У поля. 2397. Найти потенциал У гравитационного поля, создаваемого материальной точкой массы л2, помещенной в начале координат." а — ~ г.
Показатьв что потенциал У удовлетворяет уравнению Лапг2 ласа ЬУ - О. 2398. Выяснитьв имеет ли данное векторное поле потенциал «У, и найти У, если потенциал существует: а) а = (5х у — 4ху)1 + (Зх — 2у)1, б) а = уз2 + гх1 + худ; в)а (у+ г)1+ (х+ гЦ+ (х+ у)й, 2399. Доказать, что пространственное центральное поле а = ~(г)г будет соленоидальным только при ~(г) = —, где )2 = сопМ. й 2 24ОО.
Будет ли соленоидальным векторное поле а г(с Х «), где с — постоянный вектор ). з 1, числовые ряды д (а-0), Глава 'ЛП РЯДЫ и, + а, + „. + и„ + ... = п„ и 1 сходится, так как здесь расходится, так как $ 1пп: — 1 = — ~0, Я 1 12п-1 п1 2 9 1. ЧислОиые ряды 1'. Ос ноевые понятия, Числовой ряд называется сходжцимся, если его частичная сумма З„=а, +а,+ ... +а„ имеет предел при и - ао, Величина 8- Игп 8 называется при этом суммой Ф ряда, а число — остатком ряда. Если предел 11гп З„не существует, то ряд называется рйсходящимся.
Если ряд сходится, то 111п а = 0 (необходимый признак сходимасти). Обратное утверждение неверно. Для сходимости ряда (1) необходимо и достаточно„чтобы для всякого положительного числа е можно было подобрать такое Х, что при и > Ф и любом положительном р выполнялось неравенство (критерий Каши ). Сходимость или расходимость ряда не нарушится, если прибавить или отбросить конечное число его членов. 2'. Признак и сх одимости и расходимости знакоположи тел ых рядов, а) П р из на к сра анен и я 1. Если О '= и„< Ь„начиная с некоторого п=п иряд сходится, то ряд (1) также сходится. Если ряд (1) расходится, то расходится и ряд (2). В качестве рядов для сравнения удобно, в частности, выбирать веометрическую прогрессию которая сходится при Ц < 1 и расходится при ф ~ 1, и гармонический ряд являющийся рядом расходящимся, Пример 1.
Ряд 1 1 1 1 + + +.. + — +... 2.2 3-2 и.2 1 1 и я е ! причем геометрическая прогрессия 1 знаменатель которой д = —, сходится. 2 Пример 2, Ряд 1п2 1и 3 1пп — + — + ... + — +,. 2 3 й расходится, так как его общиг член — больше соответствующего члена 1пл и — гармонического ряда (который расходиз ся). 1 б)Признак срав не и и я П. Если существует конечный и отличный от куля предел 11пз ~ — "1 (в частности, если а - Ь ), то ряды (1) и (2) ~-~~ ~Ь„~ сходятся или расходятся одновременно. П ример 3, Ряд Глава ЧШ.
РЯДЫ сходится, так как 1пп: — '- 1, т. е. 1 . 1 1 1 л- а ряд с общим членом — сходится. 2л в) Признак Да ла м бе ра. Пусть а„> О (начиная с некоторого и) и существует предел Р е ш е н и е. Имеем 1 1 1 1 а Ий (2п — 1)2л 4лз 1 4лз 2л а„+1 1пп —" а ~" а~ Тогда ряд(Ц сходится, еслибы -с 1, и расходится, если о > 1. Бели д = 1, то вопрос о сходимости ряда остается открытым.
П р и и е р 5. Исследовать сходимость ряда 1 3 5 2л-1 — + — + — +...+ — +... 2 22 23 "' 2л Ц+ 1а4+ ". + 1а„! + . °, Решение, Здесь 1 или 11пт фа„~ < 1, . Следовательно, данный ряд сходится, г) П р и з н а к К о ш и. Пусть а„> О (начиная с некоторого вует предел а„+1 Но если 1пп 1пп ~~а„= д. л-сс Тогда ряд (Ц сходится, если д < 1, и расходится, если а > 1. В том случае, когда д = 1„вопрос о сходимости ряда остается открытым, д) И н т е г р а л ь н ы й и р и з н а к К о ш и. Ясли а„- «(л), где функция «(х) положительна, монотонно убывает и непрерывна при х ~ а ~ 1, то ряд (Ц и интеграл 1пп —" = 1пп = — 1ип 2п+1 2" 1 а-'с~ а„п- <~з 2" + ~(2п 1) 2 и — ь~ сходятся или расходятся одновременно.
1 1+— 2п 1 1 2 1-— 2п С помощью интегрального признака доказывается, что ряд Дирихле а "- 1 сходится, если р > 1, и расходится, если р < 1. Сходимость многих рядов можно исследовать при помощи сравнения с соответствующим рядом Дирихле (3). П р и и е р б. Исследовать сходимость ряда 1 1 1 1 — + — + — +...+ +... 1 2 3 4 5.6 " (2н — 1)2я Так как ряд Дирихле при р = 2 сходится„ то на основании признака сравнения П можно утверждать, что и данный ряд сходится. 3 . Призна к и сходи мости з н а к о перемен н ых рядов. Если ряд составленный из модулей членов ряда (Ц, сходится, то ряд (Ц также сходится и называется абсолютно сходящимся. Если же ряд (Ц сходится„а ряд (4) расходится, то ряд (Ц называется условно (яеабсолюяно) сходни(имДля исследования на абсолютную сходимость ряда (Ц можно использовать для ряда (4) известные признаки сходимости знакоположительных рядов.
В частности, ряд (Ц сходится абсолютно, если В общем случае из расходимости ряда (4) не следует расходимость ряда (Ц, > 1 или 11т '1~~а„~ > 1, то расходится не только ряд (4), но и ряд (1). П ри знак Лейб ни ца. Если для знакочередующегося ряда ь, — ь, + ь, — ь, + ... (ь„ ~ о) выпОлнвны уСлОвия: ЦЬ~ 1 ЬЗ =" ЬЗ ~ ..., "2) 1ПП Ь = О, то ряд(5) СхОднтоя. Для остатка ряда В„в этом случае справедлива оценка При мер 7.
Исследовать сходимость ряда Глава уШ, РядЫ з 1. Числовые ряды 2405. — + — + — + — + .... 2406. — + — + — + — + 4 9 16 25 5 8 11 14 2407. — + — + — + — + — + — + .... 2 6 12 20 30 42 2408. 1+ — + — ' + 1414714710 2409. 1 — 1+ 1 — 1 + 1 — 1+ .... В примерах №М 2411 — 2415 требуется написать 4 — 5 первых членов ряда по известному общему члену а„. 2411. а 2414. а„= а +1 (3+ (-1)" 1" 2+ я1п"— совий 2412.а - ~— -')"". 2415. а ~ ~ я Й ф 6 и~ 2413.
а„= 2 Исследовать сходимость рядов, применяя признаки сравнения (или необходимый признак): 2416. 1 — 1+ 1 — 1+ ... + ~ — 1)" + .„. 2417. 2 + 1 (ф + ~1 ® ~- ... + 1 ® + .... 2418.-+-+-+...+ "'+ +..., 3 5 7 2и+1 ЛО 'ДО 4ДО "' " Д0 2420. — + — + — + ... + — +,... 2 4 6 2и 2421,1+1+1+, + +..., 11 21 31 1Ою+ 1 2422. — + — + +...+ +.... Лг Аз,/з~ 22 23 2ю 2423.
2 + — + — + ... + — + .... 2 3 и 2424.1+ ' + — '+ ...+ ' +,... А .~3 ./а * 2429. — + ~-~ газо.,-' + ('-.) + -~ +...+ +„., ,: 3~в ~ и ~2Ф вЂ” 1 Н-~ Исследовать сходимость знакоположительных рядов: 2431,1+ — + — + ... + — + ..., 2! 3! и! 2432. — + — + — + ... + +,... 1 1 1, 1 3 8 15 ~и+1)2 1 * 2433. — + — „+ +...+, +,...
1 4 4 7 7 10 (Зи-2КЗи+1) 2434. — +-+ — +...+ 2 '+1 2435.1+2+ 3 +„,+ " +.„, 2 5 10 24З6 3 + э + 7 ) + 2п+ 1 2 3 3 4 4"-5 (а+1) (и+2) 2440.1+ — + —, +...+ — + 22 Зв л С помощью признака Даламбера исследовать сходимость рядов: 2427. — + — + — + .„+: + ..., 1 3 5 2и — 1 Л 2 2Д * (Д)" 24 Э 2 2-5 + 2 5 8 „+ 2 5-8...(Зи — 1) „ 1 1 5 1 59 1 5 9.,44л.— 3) глввв ИИ. РядЫ 2493. Между кривыми у = — и у = —,, справа от точки из аере- 1 1 хз х сечения, построены отрезки, параллельные оси ОУ и отстоящие один от другого на одинаковом расстоянии.
Будет ли сумма длин этих отрезкОв конечной7 2494. Будет ли конечной сумма длин отрезков, о которых шла речь 1, 1 в предыдущеи задаче, если кривую у = — заменить кривои у — ? Х' х 2495. Составить сумму рядов ~ — и ~, Сходится с 1+ и чг (-1) — в в=1 3. 3. в=1 ли эта суммИ 2496. Составить разность расходящихся рядов '~ — и ~— 1 ~ 1 22-1 и ИССЛЕдоваТЬ ЕЕ СХОДИМОСТЬ 2497, Сходится ли ряд, образованный вычитанием ряда ~ й: 4 2й-1 б)1 — — +-„— —, + —, — — + 1 1 1 1 1 3 2 в 2 5 с 1 1 2А — 1 Ф-1 ъ 2$2Ф вЂ” 1 из ряда ~ 7 Ч.-Ъ 2498. Подобрать такие два ряда, чтобы их сумма сходилась, а разность расходилась.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
