Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 34
Текст из файла (страница 34)
1 256О Г (2" 1 (х "*1) -1 ззе. Г1-И"~",(*-О". Определить круг сходимости: 2564. 1" г'. 2566, Л.З" и=О а=1 Э~2 ~Х~ зззз. ~(1 + лцзр . 2567, У' —. 2й зле з 0 2568. (1 + 21) + (1 + 21)(3+ 21)г + ... + (1 + 21)(3 + 21)" ...(2а + 1 + 21)л + .... 2569.1+ —, + ~ +...+ ~ +..„, 1 — 1 (1 — 1)(1 — 21) (1 — 1)(1 — 21)... (1 — л1) 2570.
— "' з" . 2571. Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что ряд не сходится равномерно в интервале (-1, 1), но сходится равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри етого интервала. Р е ш ен и е, Пользуясь формулой суммы геометрической прогрессии, получим при 1Х~ < 1 Возьмем лежащий внутри интервала ( — 1, 1) отрезок 1-1 + а, 1 — а), где а— СКОЛЬ уГОдНО МЛЛОС ПОЛОжитЕЛЬНОЕ ЧИСЛО. На ЭТОМ ОтрЕЗКЕ 1Х~ ~ 1 аз '1 х~ ~ ~а и~ следовательно> 4лл того чтобы доказать равномерную сходимость данного ряда на отрезке 1-1 + а, 1 — а1, нужно показать, что к любому е > 0 можно подобрать такое М, зависящее только от е, что нри всяком л > Ф будет иметь место неравенство 1В„(х)~ < е для все х х из рассматриваемо1 о Отрезка. (1- а)" л — 1 Взяв любое е > О, потребуем, чтобы < с1 отсюда (1 — а) < еа, а (л 1- 1)1п (1 — а) «1п (еа), т.
е, л, + 1 > (так как 1п (1 — а) < 0) и 1п(еа) 1п (1 — а) Глз)))) 'Ч1П. РЯДЫ З 3. Ряд т))йлора 1п(еа и > — 1. Положив, таким образом Ф вЂ” 1 б 1п(1 — с[» —, мыу еж- даемся, что при и. > Ф, действительно, [В„(х)~ < с для всех х из отрезка 1 — 1 + а, 1 — а1 и равномерная сходимость данно[ о ряда на любом отрезке, лежащем внутри интервала (-1, 1), тем самым доказана, Что же касается всего интервала (-1, 1), то он содержит точки, сколь к+1 угодно близкие к точке х = 1, а так как 1йи В„(х) = 1ип — сО, то как х-1 " х-11 — Х велико бы ни было и, найдутся точки х, для которых В„(х) больше любого, 1: скаль угодно большого числа, Следовательно, нельзя подобрать такое Ю, что- бы при л > Ж неравенство ~В„(х)~ < е имело место во в с е х точках интервала (-1, 1) „а зто и означает, что сходимость ряда в интервале (-1, Ц пе является равномерной :,'- [ 2572.
Исходя из определения равномерной сходимости, доказать, что: р и) ряд 2 )) 1+ — ", +" — +...+" — +... 1! 2! п! сходи~ся равномерно во всяком конечном интервале; 'е ~ б) ряд 2 4 6 к 1 2д 1 2 3 "' п сходится равномерно во всем интервале сходимости ( — 1, 1)", в) ряд 1+ — + — +...+ — +... сходится равномерно в интервале (1 + Ь, оо), где о — любое положительное число; г) ряд (х — х)+(х — х)+(х — х)+ ... +(х — х ")+ ... сходится не только внутри интервала ( — 1, 1) „но и на концах этого интервала, однако сходимость ряда в интервале (-1, 1) — неравномерная.
Доказать равномерную сходимость функциональных рядов в указанных промежутках: 2673. ~ "— ка отрезке [ — ),' Ц. к 1 оо .:):, 2574. „~ — на всей числовой оси. З1ПЛХ к =1 $ 1) 267о. ~ [ — ))' — * ка отрезке [О, ) ). з": »з Применяя почленное дифференцирование и интегрирование най ти суммы рядов: 2 2 2 2576. х + х + "— + ... + — ' + ....
2 3 й 2577. х — х + "— — ... + (-1) —" +,... 2 3 Ю 2578. + — "+х— +...+ — "+„... 3 Ь 2п — 1 2579. х — "— + "— — ... + ( — 1)" —" + ..., 3 5 2л — 1 2580. 1 + 2х + Зх + ... + (и + 1)х" + .... 2581. 1 — Зх + 5х — ... + ( — 1) (2п — 1)х + .... 2582. 1 2+ 2 * Зх+ 3 4х + ... + т1(л + 1)х' + .... Найти суммы рядов: 2583.— + — + — +...+ и +....
х х х )) 4))-З 2584, х + "— + — + ... + —" + ..., б 9 4п — 3 2586. — + 3 + б +,.„+ 2" 1 +,„, . 2 2 2" ~ З, Рид Тейлора Г, Ра зло;кен ие фу н к пи и в с тенек ной ряд. Если Функция 1(х) допускает в некоторой окрестности [х — а~ < В точки а разложение в степенной ряд по степеням х — а, то этот ряд (ряд Тейлоры) имеет вид 1(х» =,[(а» ) ~'(а)(х — а) + — (х — а) + ... + — (х — а»" + ....
(1) Г'(а» 2 ~'""[а1 и! При а 0 ряд Тейлора называют также рядом Маклорена, Равенство (1) справедливо, если при [х — а~ < В ос7па)71очнмй член ряда Тейлора [а) ))„)») - Л») — ))з) ~ ~ „, [» — з)" А 1 П вЂ” т ОС. Для оценки остаточного члена можно пользоваться Формулой »)-1 В(х»=- (» 1 ' )1а+О(х — а»1,где0<О=[1 (и+ 1)! (ФОрма Лаеранжа», Глаза У«И, РЯДЫ б) 3.
Ряд Тейлора Пример 1. Разлоакить функцию Дх) сЬх в ряд по степеням х. Рс ш ен не. Находим произзодпыеданной функпииД(х) =сЬх,~"(х) =зЬ х,:: ' «' '(х) = сЬ х, «б'"(х) = в1) х, „.; вообще «' (х) - сЬ х, если и — четное, и ' «а) (х) = зЬ х, если и — нечетное, Полагая а = О, получим ~(О) = 1, ) (О) О, Г(О) = 1, Г'(О) = О, ...; вообще «'!" (0) 1, если и — четкое, и ~~"~(О) : О, если и — нечетное. Отсюда па основании (1) имссм 2 4 2и с)1хпм1+ — + — ! ... + — +„..
Х Х х (3) Ре ' м 2! 4! * (2а) ! '* е Для определения интервала сходимости ряда (3) применим признак Далам- ..: бера. Имеем 2б+2 2а 2 1пп х . х — Ип) х =О «2и+ 2)! (2и)! л —: (2и -)- 1)«2и+ 2) '2: Прн ЛЮбОМ Х, СЛСЛОВатЕЛЬПО, ряд СХОднтСя В ИнтсрнаЛЕ -бх) < Х < ОО. Оета- -':, точный член в соответствии с формулой (2) имсст вид ю+! В,(х) = сЬ Ох, если и — нечетное„ х' «и+ 1)! Н„(х) = з11 Ох, если и — четное, х «и+ 1)! ГаккакО>О> 1,то )сЬ Ох~ = ~ с)"', ~з)! ««х~ = ~е с +е л) Ох -!)х 2 и понтону !))„)х)! е е .
Рнл е общим членом — ехолиеен при любом < 14"'" )») «х1 «и+ 1)! а! х (в этом можно легко убедиться е помощью признака Даламбера), поэтому н соответез вин с необходимым признаком сходимости )) М вЂ” — -о, (и+ 1)! а следовательно, и 1!2п Л,(х) = О при любом х. Это означает, что сумма ряда й-~ * (3) для 2! обого х действительно равна сЬ х. 2'. Приемы, применяем ыс при разложен и и в степенн- ыее ряды. Пользуясь основными разложениями: 2 П х Х Х Х 1,е =1+ —, — .! ...+ — —,...
( ао ох<ос), 1! 2! и! 3 З 2п-1 П. зш х = — ' — — ) — — .„! (--1) ' .„( — оо <.' х '.. оо), 1! 3! б! «2и+ 1)! 2 4 2б ® 1П.созхмх1 — '— + — ... +(-1) ' + „. ( — ж <:.ха ос), х а Х * «2и «! )еех щ, )И«)и — 1) 2 1! 2! *) ( — 1 < х < 1), ~', )и (1+ х) = х — — + "— — ... + (-1) ' "— ! ...
(-1 - .. 1), 2 3 и а также формулой для суммы Геометрической прогр~ссии, можно во многих случаях просто получать разложение данной функции в степенной ряд, причем отпадает необходимость исследования остаточ- НОГО члена. Иногда при разложении полезно использОвать почленное дифференцирование или интегрирование. При разложении в степенные ряды рациональных функций рекомендуется разлагать зти функции на простейшие дроби. П р и м е р 2, Разложить по степеням х функцию Р с ш е н и е, Разложив функцию па прос )-ейп)ие дроби, будем иметь Лх) =— 1 2 1 — х 1+2х Так как 1 =1+х+х +." = 7 х 1 — х а — О ~ (-))"~"х", б=0 то окончательно )!х) = ~ х" + З ~ !-))"б"ха = ~ !), )-))"б" ")х".
)б) ~по ))=0 лм0 Геометрические прогрессии (4) и (5) сходятся соответственно при ')х~ .= 1 и )х; < —," еледовательпо, формула (6) справедлива при )х~ < —, т. е. при 1„ 1 *) На границах интервала сход))»!ости «т. е. при х — -1 и при х = 1«р!)вложение 11)) ведет себя сб)вду)о)цим образом; при е -.н О абсолютно сходится на осе)бх границах; при О -' би > -1 расходится при х .-1 и условно сходится при х =-1; при т 'т -1 раоходитон иа обеих границах. «е) Здесь и в дальней!)нем подразумевается е по целым и ))олож))тельным степеням», $ 3, Рад тейлора Глаиа Лп, РЯСНЫ 2627. Тяжелая нить под влиянием собственного веса провисает по ".
Х и .! цепнои линии у - асЬ вЂ”, причем а = —, где Н вЂ” продольное натя- ' а ! жение нити„а д — масса единицы длины, Показать, что при малых -: 4 ф х„с точностью до величин порядка х, можно принять, что нить про- ."'. 2 висает по параболе и =- .а + 2а 2628. Разложить функцию х — 2х — 5х — 2 в ряд по степеням х+ 4, ':, з 2629. Дх) = 5х — 4х — Зх + 2. Разложить Я(х + Ь) в ряд по .
3 2 степеням Ь. 2630. Разложить 1п х в ряд по степеням х — 1. 2631. Разложить — в ряд по степеням х — 1. 1 2632. Разложить — в ряд по степеням х + 1. 1 приближенно если восполь" :11 $'. 1 е=2+~+1,+1? 3! 3 Ь агс1~х = х — — + — — ..„ Х Х 3 б ыпх х '.1. дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 2633. Разложить в ряд по степеням х + 4. х +Зх+2 2634. Разложить 1 в ряд по степеням х+ 2. х +4х+7 2635, Разложить е' в ряд по степеням х + 2, 2636. Разложить ./х в ряд по степеням х — 4. 2637, Разложить сов х в ряд по степеням х — "-. 2 2638, Разложить сов х в ряд по степеням х — —.
а л 4 2639". Разложить 1п х в ряд по степеням:" . 1+х 2640. Разложить —" в ряд по степеням —" Л:х 1+х 2641. Еакова величина допущенной ошибки, если положить 2642, С какой точностью будет вычислено число -", 4 зоваться рядом взяв сумму его первых пяти членов при х = 1? 2643"", Вычислить число — с точностью до 0,001 при помощи раз- Л 6 ложения в ряд по степеням х функции агса(п х (см. № 2606). 2644. Сколько нужно взять членов ряда созх 1 — "— + ...„ 21 чтобы вычислить сов 18' с точностью до 0,001? 2645. Сколько нужно взять членов ряда + ' ь 31 чтобы вычислить Мп 15' с точностью до 0,0001? 2646, Сколько нужно взять членов ряда 2 е =1+ — +'— + ° ", 11 21 чтобы найти число е с точностью до 0,0001? 2647.
Сколько нужно взять членов ряда 1п (1 + х) = х — "— + ..., 2 чтобы вычислить 1п 2 с точностью до 0,01? до 0,001? 2648. Вычислить ',/7 с точностью до 0,01 с помощью разложения функции з4~+ х в ряд по степеням х. 2649, Выяснить происхождение приближенной формулы а +х =а+ — (а>О), 2а вычислить с ее помощью .у 23, положив а = 5, и оценить допущенную при этом ошибку. 2650. Вычислить Я9 с точностью до 0,001, 2651.
При каких значениях х приближенная формула соах = 1 —— 2 дает ошибку, не превышающую 0,01? 0,001? 0,0001? 2652. При каких значениях х приближенная формула 317 в 4, Ряды Фурье Глава УШ. РЯДЫ б) 1+ — — — — — + — +— 1-1-1 1 . 1 б 7 11 Гз '17 + а сов — + Ь ч'и — + ..., айх ° йлх я Я $ (2) 4 Дх)соа Дх)а)п 2687. ~(х) - х(я — х). 2688, Д(х) = 81п —,. Функция, заданная в интервале (О, л), может быть по нашему усмотрению продолжена в интервал ( — н, 0) либо как четная, либо как нечетная; следовательно, ее можно по желанию разложить в интервале (О, я) в неполный ряд Фурье по синусам или по косинусам кратных дуг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
