Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2499. Составить произведение рядов ~ — и ~ —, . Сходит- 1 ~ 1 ~ „,г г) — — 1 + —. — -„+ — — — + 1 1 1 1 1 '3 7 5 11 9 ся ли это произведение? 1.1 1 250О, Составить ряд 1 + — + — + ... + — + ..., Сходится ли 4 '" 2в-1 ' * рядов с комплексными членами: этот ряд? в4в7. ~ л~З+ ~) в4вв. ~~. 2561, Дан ряд -1 + — — — + ... + +,... Оценить ошибку, с 1 1 ~''-11в 2т 3~ "' д~ ДОпускаемую при замене суммы этОГО ряда суммОй первых еГО четырех членов, суммой первых пяти членов. Что можно сказать о знаках этих ошибок? ввв1. '~ <-11" — '"".
в4ва. ~ ~-ц" '~в — ' Л л Й в —,1 в=1 2488. Убедиться в том, что признак сходимости Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда а,, где 2в-1 2Ф- 1 а =- — а, .= — (1=1 2 ...) зв-1 ~~ и 3 3 Ф Ф Ф в то время как с помощью признака Коши можно установить, что этот ряд сходится. 2484". Убедиться в том, что признак Лейбница неприменим к знакочередующимся рядам а) — г). Выяснить, какие из этих рядов расхОдятся, какие схОдятся услОвнО, какие схОдятся абсОлютнО: а) 1 1 1 1 1 1 — — + — — — — — + ...
Г2 — 1 Л. 1 ГЗ вЂ” 1 Гз+1 Г4-1 /4+1 ИсследОвать сходимОсть 2485. ~ 2" ~ и(2~ — 1) в л-.$ 2489, „,Г 1 249О, ~Г ~ (и+~),й 2491. У '~ ~п+(2п, — 1)~) [ в~в — «-';1 ]" 3О« Ч 2. Функциональные рады Глава У)П. РЯДЬ1 2502 . Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда суммой его первых и членов. 2503. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1+ — + — +...— +...
1 1 1 2! 3! а~ суммой его первых и членов. Б частности, оценить точность такого приближения при и = 10. 2504~"". Оценить ошибку, допускаемую прн замене суммы ряда 1+ — + — +...+ — +. °, 1 1 1 2 3 и суммой его первых и членов. В частности, оценить точность такого приближения при и = 1000. 2505'"""'. Оценить ошибку, допускаемую при замене суммы ряда 1+2- +3- -с...+и — +...
суммой его первых и членов. ,а-1 2506. Сколько членов ряда ( нужно взять, чтобы вычислить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? 2507. Сколько членов ряда " нужно взять, чтобы вы(2п. + 1)б числить его сумму с точностью до 0,01? до 0,001? до 0,0001? 2508". Найти сумму ряда + + + ... + 1, 1 1 1 + .... 1 2 2 3 3-4 д(и+1) 2509. Найти сумму ряда ЗЯ 1. «5/ ЗЯ) а. (7Я Ь| ) + + (211+1/Х 21'-1Я) 5 2.
Функциональные ряды 1'. Область с ход и мост и. Множество значений аргумента х, для котОрых функциональный ряд ,11(х) + 1"., (х) + ... + ~„(х) + ... (1) сходится, ийзыВйется обласп1ью сходимосп111 зтоГО рядй. Функция Я(х) = 11111 Я,(х), Гдв 8„(Х) =- 11(Х) 1 )',(Х) + ... + ~а(Х), й Х ПрннадЛЕжнт ОбЛаетИ СХОдИМОСтИ, называется суммой ряда, й К„(х) = 8(х) - Я,(х) — осжатком ряда.
В простейших случаях для определения области сходимости ряда (1) достаточно применить к этому ряду известные признаки сходимости, считая х фиксированным. П р и м с р 1. Определить область сходимости ряда х.+ 1 (х+ 1) (х+ 1) (х+ 1) (2) 2 3 23 2а Р е ш с и и е. Обозначив через иа общий член ряда„будем иметь 11п1 —" = 11п1 ~а~+ Ц, ~х+ 1~" 2'и ~х+ 1~ 2 (и+ 1)1х+ 1~ На основании признака Даламбера можно утверждать, что ряд сходится (и притом аб~х+ «! солютпо), если < 1, т.
е. при — 3 < х .-" 1; Расход. Скад. Расход. -д 407 Х Рис, 104 (с„и а — действительные числа) существует такой интервал (интервал схода,иосп1и) ~х — а~ < В с центром в точкс х = а, внутри которо1 О ряд (3) сходится абсолютно; при ~х - а~:> В ряд расходится. Радиус сходимости В может быть в частных случаях ранен также О и Оэ. В концевых точках интервала сходимОсти х = а + Й возможна кйк сходимость, так и расходимость степеннОГО ряда. Интервал сходимости опрсдсля1от обычно с помощью признаков Дйлймберй или КОП1и, применяя их к ряду, членами КОТ~рого являются йбсолютные величины ч11енов данного ряда (3). Примвнив и риду модулей ~с„~ + ~сдх — а1 ~ ... + ~с.~~х — а1а + ...
признаки сходимОсти Даламбера и КОши, получим для радиуса схОдимости степенного ряда (3) соответственно формулы 1 Са В= и В= 1пп 11П1 "„Я Однако пользоваться ими следует весьма осторожно, так как пределы, стоя1цис в прйВых чйстях этих фОрмул, часто не существуют. '«'Вк, на|1римср, сели бесконечное мно кество коэффициентов с„обращается в нуль (1то, в частности, имеет место, если ряд содержит члены только с четными или только с печегными степенЯми (х а)), то пользОВаться указанными фор- 1х+ Ц ряд расходится, если > 1, т.
с. сели — -О < х < -3 или 1 < х < с» (рис. 104), При х = 1 получаем гармонический ряд 1 1 1 1 1 + — + — + ..., который расходится, а при х = — 3 — ряд — 1 + — — — + ..., 2 3 2 3 который (в соответствии с признаком Лейбница) сходится (неабсолютно). Итак, ряд сходится при — 3 < х < 1. 2". С тепе н и ыс ряды. Для всякого сп1еленного ряда с + с (х — а) + с,(х — а) + ... + С„(х — а) + ...
(3) 1'яяььа ЛП. РЯДЪ1 $ 2. Функциональные ряды 303 (7) кулаки нельзя. В связи с этим рекомендуется при определении интервала сходимости применять признаки Даламбера или Коши непосредственно, как это сделано выше при исследовании ряда (2), не прибегая к общим формулам для радиуса сходимости. Если г - х + 1у — комплексное переменное, то для стеленного ряда + с (в — ~~) 1 сз(~ — г ) + ...
+ ~„(~ — ~~) + ... (4) (с„= а„+ 1Ь„, хО = хО + 1уО) существует некоторый круг (круг сходи,ности) ~г — ХО~ < В с центром в точке г гО, внутри которого ряд сходится абсолютно; при ~х — г ~ > В ряд расходится. В точках„лежащих на самой окружности круга сходимости, ряд (4) может как сходиться, так и расходиться. Круг сходнкости обычно определяют с помощью признаков Даламбера или Коши, примененных к ряду Ц+~с1! ~х-ХО4+Ц 1х-г4'+ "+~с„~ 1х-=4" +", членами которого являются модули членов данного ряда.
Так„например, с покощью признака Даламбера легко обнаружить, что круг сходимости ряда »сь ~х»Ь ьхсьь + + ьхсьЬ 2.2 3.2 и-2" определяется неравенство ~г + 1~ < 2 (достаточно повторить приведенные на с. 301 выкладки, служившие для определения интервала сходимости ряда (2), заменив лишь х на х). Центр круга сходимости находится в точке г - — 1, а радиус Л этого круга (радиус сходимости) равен 2. 3'. Равномерная сходи мость, Функциональный ряд(1) сходится на некотоРОм пРОмежУтке РавнокеРпо, если, каково бы ни было е > Ох можно найти такое Ф, не зависящее от х, что при п > Ф для всех х нз данного промежутка имеет место неравенство ~й„(х)( < е, где В„(х) — остаток данного ряда. если ьь„(»1 с с„(л 1, х, ...'ь при с < х ~ ь и числовой рих ~~~ с„сходится, п»1 го функциональный ряд (1) сходится па отрезке (а, Ь1 абсолютно и равномерно (признак Вейершп1расса).
Степенной ряд (3) сходится абсолютно и равномерно на всяком отрезке, лежащем внутри его интервала сходимости. Степенной ряд (3) можно почлсшю дифференцировать и интегрировать внутри его интервала сходимости (при ~х — а~ < В), т, е. если с + с (х — 1) + с (х — а) + ... + с„(х — а)" + ... ~(х), (б) то для любого х из интервала сходимости ряда (3) имеем: с, + 2с2(х — а) + ...
1 пс„(х — а) + ... = Пх), (б) сОЙХ+ с,(х — а)пх+ с(х — а) дх+ ... + с,(х — а)' Йх+ ... = 2 л "ьь ~о оо х-о сиь л+1 а+1 (х — а) (хΠ— а) х л п+1 (числО ха также принадлежит интервалу сходимости ряда (3)). П)«и этОм ря- ды (б) и (7) имеют тот же интервал сходимости, что и ряд (3). я-1 Х 2524"", х" +— 2 х 2525.
х", Найти интервал сходимости степенного ряда и исследовать сходимость на концах интервала сходимости: 2526. х", 2530 (-1)" 'х" 2527. ~~' ььь1 ~' 1ь-"- ь2-*-- 2ьь ~'ы 2п+ 1 рь = 1 «=О Оо со 2528. 2Ь32. ~(-1П2л о 1) х". яхО 252ц 2 Х 25ЗЗ. ~~' " —.
(4п - 3)" ~ип! Найти область сходимости ьь1ь. ~~à — '„. ььп. ~1-и"" — '. ьь12. ~~-ц""' — ' л=1 и'*' сьььь2л - 1~» (2п — 1) 2514. 2 а1п — ", ьь и О 3" 2Ь1Ь„»ь ~ соси» ьь1ь ~1-ц"'ь """' я=О 17 л 1 2518. п~х 2519. Г ~1~~ (2п -1)х" ьььо. ~~ (х-2)" ° «521 2п+ 1 (и+1) х 2522. , п.3 (х-б) и Глааз уП1. РядЫ ~ 2.
ФункциОнзльные ряды 2563. ~ (-Ц" (2л+ 1) /л+ 1 2562. (л+ 1) 2" 1+ х+ х2+ + х" + з+1 ~+1 х В(х)=х +х +...=— в 1-х ~зз„(х)1 < ( 2534, л1х . л 1 2535. и =! 2536. —" х'. 2537. 3" х" . л х зззз. ~~~ '— "'„. 2540. п 2541. х . з$4з"'. ~~) л!х", 2543'. ~ 2з-1 е а=1 2544~. Л— зз4з, ,'Г <-ц" '~з=~-. л 3" (х- 3 л О" ~Хэ зз4т. ~' "~ л.9 зз зз4з. ~'~-ц" '2:Ю .. 2л з -- 1 2549. зззО. ~ е (х ~ 3) .
а=1 2551, ~ (" )'" '. 2л 4" зззз. '„Г- '"-"",. (2л- 1)2 2553, ~ (-1)""'(2"-')"(х-. 1) . 26 (Зл — 2) ' х+ 3)' а=1 2555 ~~~ (х + 1 '~~ (л+1)1п (и+1) 2з (х-8) Аы (л+ 1)1п(л+ 1) Ф 2557, Г (-1)"+ ' " 2) (л + 1)1п(л + 1) в=1 2558. е 1 ззбз", Х ~ 1) (х — и, и =.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
