Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 31
Текст из файла (страница 31)
г йх йу, где 3 — внешняя сторона эллипсоида 8 +Ы + х2 2 22 22 ()2 С2 2 2 2 2351. ~ х ду йг + у (1г (1х + г дх ду, где Я вЂ” внешняя сторона 2 2 2 2 поверхности полусферы х + у + г = а (г 1 О). 2352. Найти массу поверхности куба О < х ~ 1, О ~ у < 1, О'-: г < 1„ если поверхностная плотность в точке М(х; у; г) равна хуг. 2353. Определить координаты центра тяжести однородной параболической оболочки аг = х + у (О ~ г '-. =а). 2354. Найти момент инерции час~и боковой поверхности конуса г - /х + ув (О < г н ц относительно оси Оя. 23бф. Применяя формулу Стокса, преобразовать интегралы: е) ) (х — уг) в)х+ (у — гх) йу + (г — ху) гг; б) у дх + г ((1у + х с1г.
Применяя формулу Стокса, найти данные интегралы и проверить Результаты непосредственным вычислением; 2356. ~ (у + в) ох т (г т х) оу + (х + у) ог, гне С вЂ” окружность 2 2 2 2 х +у +г =а, х+у+г=О. 2357, (у — г) дх + (г — х) ду + (х — у) дг, где С вЂ” эллипс С 2 2 х + у = лт Х + г ~ 1, Гла«ва УП. К1*АТПЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $ 12. Элементы теории иол3у 31 2358. ~ х дх + (х + у) ду + (х + у + г) дх, где С вЂ” кривая х =- а з1п 2, й' ' у = а соз Г, г = а(з1п Г + соз Г) ~0 < ~ < 2н).
2359. у дх+2 ду+ х дг, гдеАВСА — контурЛАВСс верши- ~~,: с нами А(а; 0; 0)„В(0; а; О), С(0; 0; а). Ф 2360. В каком случае криволинейный интеграл !» по любому замкнутому контуру С равен нулю? $11. Формула Остроградского — Гаусса ЕСЛИ 8 — ЗЯМКПУтан ГЛЗДКаЯ ПОВЕРХНОСТЬ, ОГРап11»1ИВЯКНЦаЯ ОбЪЕМ вР, И Р = Р(х, у, г), «1 = 9(х, у, г), В = В(х, у, е) — функции, непрерь1вные вместе сс свс11ми частными 11ропзводными 1-ГО порядка и замкнутой Области $'» тс имеет место формула Остроградского — Гаусса (Рсоз«1+ 1есоз(1 "Ясону) дЯ = ~ ~ —. + — 1 —., ~ дхдусЬ, Г ГдР «аЕ о1«'у ,дх «1у дз 8 где сова, соз р, сову- направляяицие косинусы впсп1ней нормали к поверхности Я.
Применяя Формулу Остро1 радского — Гаусса, преобразовать еле-::-» ДУЮЩИЕ ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРаЛЫ ПО ЗаМКНуТЫМ ПОВЕРХНОСТЯМ Вв ограничивающим объем ~'(соз а, соз «), соз у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности 8). 2361.
Худхду+ ухдудх+ 2хдхдх. 3 2362. х дудг+ у дгдх+ г дхду. з 2З6З ~ ~ хсозс«+ усоз + асов'1» щ 33 ДГ'„»» 2334. ~~ ~ — сова в — сов 3». =сову ~ оЯ. г яц ди , ди дх ду дг С помощью Формулы Остр«п радского — Гаусса вычислить следую- 'в.'.::: .с~ щиЕ поверхнОСтные интегралы: 2365. х дудг + у дгдх + г дх дуя где 8 — внешняя сторона"",; 3 поверхности куба 0 < х = а, 0 -- у 4 а, 0 ": 2 ~ а. 2366. х ду дг + у д2 дх + х дх ду, где 3 — наружная сторона пирамиды, ограниченной поверхностями х+ у+ г а, х О, у = О, г = О. 3 з з 2367.
х' ду дх + у дз дх + г дх ду, где 8 — внешняя сторона з 2 2 2 2 сферых +у +2 =а 2 2 2338. Ц (в" со»асс сов 3.»г сову1во.сяе3 — воен»ноя поннвя поверхность конуса "— + ~ -' — ' =0~0~ ° ~Ь~. а2 а2 Ь2 2369. Доказать, что если Я вЂ” замкнутая поверхность и 1 — любое постоянное направление, то соз(п, 1) дЗ = О, $ где и — внешняя нормаль к поверхности 8. 2370. Доказать, что объем тела 7; ограниченного поверхностью Я, РаВЕН ~' = - ц (х соз а + у соз !3 + г соз у) д,«~, 1гг зИ з где соз а, соз р, соз у — направляющие косинусы внешней нормали к поверхности «~. $12. Элементы теории поля 1', С каляр но е и векторное поля. Скалярное ноле определяется скалярной функцией точки и = Г(Р) = г(и, у, х), где Р(х, у, г) — точка пространства.
Поверхности Г(х, у, г) = С, где С = сопв1, называются лоеерхно«»олми уровня скалярного пОля. Векторное ноле определяется векторной функцией точки а = а(Р) = а(г), где Р— точка пространства, г х1 + у1 + г1« — радиус-вектор точки Р. и ксординатной форме а = а„1 + а 1+ а,)«„где а, = а„(х, у, х), а = а (х, у, г), '1, а,(х, у, х) — проекции вектора а на координатные оси.
Векторные линии 1силсеые линии, линии тока,) векторного поля находятся из системы дифФеренциальных уравнений ~Ь' ди «Ь а„ай а Скалярное или векторное поле, ие завися1цее от времени 1, называется суууациснарны31 а завися«цее от времени — нестациснарным Глаха У) ). К)РАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ В 12. Э)геме)етм теории гголн 2". Г р а д и е и т. Вектор д( г . д(,г, д(г' Н)ае) ег(Р) — —.1+ — ) -Š—.)1 =г 7(.г, дх ду дз д(.1 ' ')1.' ' )Е.
МУ' дп Е дх,г ', ду,г г)г ) .Ег ЕСЛИ ИайраВЛСПИЕ ЗадЭНО Сднння1НЫМ ВОК10рОМ ЦСОВ 11, СОВ ~, СОВ ~), ТО "Цт Дг д(г Щг — = «ггпу 1'1 1 = дгйд, Г =- = сов 11 + —.' соя ~) + —,' соз у д1 ' ' дх ду дг (1)()г)ИЗг)одИЯЛ фуНКЦИИ ( г)г) Наярг)6ЛЕНУЮ 1), 3'.
Д и В е р г е н ц и я и в и х р 1, Дивергенцией Векторного поля й(Р) = а, Е + 0„1 - а.)Е дпх ~~гг д Ел Называется скаля)) ее1ъ' й — + — ' .! —: — Х'а дх ду дг В11цбем Векторного ноля а(Р) = я 1 + и д + 0 )е 1газывается вектор г да. да„',,'дан ди,'Е ' да„да„~ го1а = ~ = — —." ~1+ ~ —,' — — ';1+ ~ —" — — "~)е ы ~) Х а. ,ду дг) .дг дх.' е,дх ду.
4'. Пото к Век тора, Потоком векторного поля а(Р) через по- . ВСРХНОСТЬ 8 Н СТОРОНУ, ОИРЕДС)г1ЯЕМ~ЛО ЕДНИИЧНЫЫ БСКТОРОМ ПО))маЛИ,: ВЕСОВ Н, СОВ Е г, СОВ "1) К ПОВСЕ)Х НОСТИ «~ге ИВЗЫВВЕТСЛ ИНТЕГРВЛ н аПЕ(Я = 0 «13- (ЕЕ СОВСЕ+ ЕЕ СОВР+ 0 СОВ1г)ЕЕЯ. В а В Если Я -- замкнутая поверхность, ограпичивйюп)ая объем Е", й п — единичный нектор Виеепней нормали к поверхности 8, то справедлива формула ОСгг)рооР11дского-"ГЩССП, КОТОРая Б ВСКТОРНОЙ ф01)МЕ ИМЕЕТ ВИД ип йВ = 111~ а еех ОУ е)г. л 11'г Л 0', Ци р к у л я ци я вектора; работа пол н.
Лииейн))й ин)нег" рал от вектора а ио кривой С определяется формулой в адГ = аяйй - а„ЕЕХ -', а„ди Е а,г)г (1)„:. С с И ПРСДСтаВЛЯСт СОбей Раоон)У НОЛЯ й ВДОЛЬ КРИВОЙ С (ае — ПРОЕКЦИЯ ВСКтОРй" й нй касатсльную к С), Если кривая С -- зэмкнутая, то линейный интеграл (1) называется е~иР:;"» Ь г). 1АКИг'Егг Вситг)))НОГО ПП.'гя а Н,'ЕОЛЬ 1 ОНТУРЗ Е где '7 = 1 —. + 1 — + )е — —. опсра1ор Гамильтона (иаблй), называется гра.. .д .г) дх Йу дг Дигону)ео и поля ег — )(1 ) В данеюй точкс Р (ср. Гл, ег 1, ~ 6).
Градиент наирйВлен ПО НОРМВЛИ И К ПОВЕРХНОСТИ УРОВНЯ В ТОЧ11С Р В СТОРОНУ БОЗРастагИЯЯ фУНКЦИИ'я 1.1 и имеет длину, равную Ф Если замкну)ая кривая С ограничнвйе) двустороннкпо повсрхиосгь Я, то спрйвсдлива формула Сггео)гса, которая в векторной форме имеет вид и е)г - и гоФ а еес1 (гоЕ, а)„Ю, н а гдс п — вектор нормали к поверхности Я, направление которого должно быть выбрано так, чтобы длн наблюдателя, смотрнецего по направлению и, обход контура С совершался В правой системе координат против часовой стрелки. б'", П а т е н ц н а л ь н о е н с о л е н о н д э л ь н о е п о л я, Векторное ПОЛЕ а(Г) НВЗЫВВЕТСЯ ПОШЕПЦиая)гНЫМ, ОСЛИ а = бугае) (г где У - 1'(г) — скалярная функция (паг))еиципл поля).
Д.гЕЯ ИОТСЕщнйльпости поля а, зада1)ного В односвязиой области, необходимо н достато Еи, чтобы око было безвихревмл1, т, с. чтобы гое, а =- О. В этом случае существует потенциал Г, определяемый из уравнения Если потенциал 1.1 -- однозначная функция, то а дг = У(В) — Г(А); в частности, циркуляция вектора а равна пулю: а е)г =. О. с Векторное иоле а(г) называется соленоидальнь)м, если в каждой точке полч сп» й = О; В этом случае поток вектора через любую замкнутую поверх- кость равен нулю. Если поле является одновременно потенциальным и солеиоидальным, то дю(Кгйе(е.г') = О и потенциальная функция является гармонической, т, е. Д2~1 Дз(1 д2~1 удовлетворяет уравнению Лапласа —,, + — + — О, или Л Г вЂ” — О, дх-' дуг Эг где Л = т7 - -Е- —., + —.
— ОпЕратОр Лйплаеа, 2 0 „д д ггхо ду дг 2371. Определить поверхности уровня скалярного поля У = Дг), гле г = /лллг г ге ерг е ег . Кеновы белут поверлноети уровня поля ЕЕ = ггр), гле р = гягг.в"! 2372. Определить поверхности уровня скалярного поля Ег = егеепг г яг ее' 2373. Показать, что векторными линиями векторного поля а(Р) = е, где е — постоянный вектор, янляк)тся прямые, параллельные вектору е.
2374. Найти векторные линии поля а = — 0)д1 + сох), где со — постоянная, Гляяя *в'П. КРАТНЫЕ И КРИНОгПИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2375, Вывести Формулы: )~га,1(ср+ С Р) - С,дга,1 У+ С ата4~', где С, и С вЂ” ПО- стаянные; $ б) ~гад «уу) у~«а~1 у + ~"~р ад ~; в) ~гад(У ) = 2Уягйд У; )).г') $'ртами у — у гаса Ъ', г)ягЫу = У д) цгали р(~Г) р'ЯГ)ага)1 У. 2376. Найти модуль н направление градиента поля х +у'+г — 3хуз 3 3 3 в точке А(2; 1; Ц. Определить, в каких точках градиент поля перпендикулярен оси ОЯ и в каких точках равен нулю. 2 )) 2377.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
