Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 26
Текст из файла (страница 26)
б) 2 = х + у, х у в точке (1; 1; 2). 2 2 в) х + у + г = 25, х + г = б в точке (2; 2,ГЗ; 3). 2099. Найти уравнение нормальной плоскости к кривой г х — у, у = х в начале координат. 2100. Найти уравнение соприкасающейся плоскости к кривой х=е„у=е,г 2./2 вточке2=0. 2101, Найти уравнения соприкасающейся плоскости к кривым: а)х +у +г =9,х — у =Звточке(2;1;2); б) х = 4у, х 242 в точке (6; 9; 9); 2 2 2 2 2 2 + 2 и, у + з = о в любои точке кривои «хо„уо, зо). 2102.
Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к кривой у =х,х =гвточке(1;1;1). 2 2 2103. Составить уравнения соприкасающейся плоскости, главной нормали и бинормали к конической винтовой линии х = 1 соз 2, у = 1 з1п 8, г = Ь8 в начале координат. Найти единичные векторы касательной, ~ла~~~Й нор~а~и н бинормалн в на~зле коорд~~~~.
$ 20. Кривизна н кручение пространственной кривой 1'. К ри в и з на. Под кривизной кривой в точке М понимается число К= — = 1ин (~) В лк — о Лз где ф — угол новорота касатсльной «у~~л с.иджнос~ли) на участке кривой ~- МФ, Лг — длина дуги этого участка кривой.
В называется радиусом кривизны.. Если кривая задана уравнением г Г(з), где з — длина дуги, то Для случая общего парамстрического задания кривой имеем ОГ нг — Х— )Р л )с3 г(~ 2', К р у ч е н и е. Под кручением ~'второй кривизной ) кривой н точке М понимается число 340 Йг — = -2а 81п 1 + )а сов 3 + ЙЬ, Й2 Й г — = -1а сов 3 — )а а(п $„ Й3' Й г — = -»а 8(п 2 '" )а соя 2. Й2 $1 Ы -авто асоМ Ь -асоМ -аяп2 О -ав1п ~ асоМ Ь -асо81 -азш2 О ав1п3 — асозт О Глава И. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕЫЕННЫХ где Π— угол поворота бинормали (уаол смежное»ли е»аоро2о рода) на участке кривой М№ Величина р называется радиусом кручения или радиусом ото.
рой кривизны, Если г = г(з), то ЙгЙ гЙг 1 —. ДД Йа Йз Р <Ь (~в )~ где знак минус берется в том случае, когда векторы — и «» имеют одинаковое Йр Йз направление, и знак плюс — в противоположном случае. Если г = г(3), где 3 — произвольный параметр, то ЙгЙгЙг 1 Й3 Й2' Й3' (2) П р и и е р 1.
Найти кривизну и кручение винтовой линни г 2а сов 2 + )а в1п 3 + ЫЬ2 (а > О). Решение. Имеем: Следовательно, на основании формул (1) и (2) получим 1 аа+Ь а 2 2 Д 2 2 3/"3 2 2 (а +Ь) а +Ь 1 а Ь Ь а(а+Ь) а+Ь т. е. для винтовой линки кривизна и кручение постоянны.
3 2О. Кривизна н кручение нростраостаекной кривой 3', Формул ы Фрси с Йт у Йр т р Йр у — — — +— Й3 В Йе В Р Йз Р 2104. Доказать, что если кривизна во всех точках линии равна нулю~ то линиЯ вЂ” прямая. 2105. Доказать„что если кручение во всех точках кривой равно нулю, то кривая — плоская. 2106. Показать, что кривая х = 1 + 31 + 23, у = 2 — 2( + 53, г = 1 — 3 2 2 2 — плоская; найти плоскость, в которой она лежит. 2107. Вычислить кривизну линий: а) х сов 3, у = з(п 3, г = с)». 1 при 1 О; б) х — у + г = 1, у — 2х + г = 0 в точке (1; 1; Ц.
2 2 3 2 2108. Вычислить кривизну и кручение в любой точке кривых: с а) х = е сов 1, у = е в1п 3, г = е; б) х = а сЬ 3„у = а вЬ 3, г = а3 (гиперболичес»сая винтовая линия). 2109, Найти радиусы кривизны и кручения в произвольной точке (х„у, г) ли~~й: 2 3 3. а)х =2ау,х =баг; б) х = Зр у, 2хг = р . 2110. Доказать, что тангенциальная и нормальная составляющие вектора ускорения в» выражаются формулами Чг= $, ЧГ,= Ъ~, Ы Ф ' " В где и — скорость,  — радиус кривизны траектории, 'т и ~» — еди- ничные векторы касательной и главной нормали к кривой, 2111, По винтовой линии г = 1а сов 1 + 1а вш 3+ ЬЖ движется рав- номерно точка со скоростью о. Вычислить ее ускорение и.
2112. Уравнение движения есгь 3 г = 31 + ~ ) + 3 Е. Определить в моменты времени ( = 0 и 1 = 1: 1) кривизну траектории; 2) тангенциальную и нормальную составляющие вектора ускоре- ния движения, Глава УРН. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 2 1, Двойкой интеграл в орвййоугольнйах координе гав 2118.
Й р г. 0 аэ|вей 2 3 сойер 2119. сйр г В1п уды, 1 Д-х~ 212О. Йх 1 — х2 — у2 ду. 0 О Написать уравнения линий, ограничивающих области, на которые распространены нижеследующие двойные интегралы, и вычертить эти области: 2 2-а 3 2а' 2124. Йх Дх, у) ду, з з Яь-~,.й 2125. 2126. ~йх ) ах, р)йр. о о 2 х+2 дх Дх, у) ду. в том и дру1ом порядке В е) 2123. Йу архе у) дх. Расставить пределы интегрироВавия двойном интеграле Ях, у) Йх ду (3~ для указанных областей 8. У 2127. Я вЂ” прямоугольник с вершинами д *х.х) О(О; О), А(2; О) В(2' «)„С(О; 1), 2128. 8 — треугольник с вершинами 0(О; О), ~~ А(1; О), В(1; 1). О 2129. Я вЂ” трапеция с вершинами О(О„О), ".-" А(2, О), В(1, "1), С(О", 1). 2130.
Б — параллелограмм с вершинами- А(1, "2), В(2; 4), С(2„7), Х1(«; 5). ~0'Й) 2131. Я вЂ” круговой сектор ОАВ с центром в ': точке О(0; О), у которого концы дуги А(1; 1) и В( — 1; 1) (рис. 88). 2132, 3 — прямой параболический сегмент . АОВ, ограниченный параболой ВОА и отрез-: ',, ком прямой ВА, соединяющим точки В( — 1; йт .;. Рве, 89. и А(1; 2) (рис. 89). 2136. Йх Г(х, у) Йу. 2137. Йх Д(х, у) Йу. 2138. Йх Дх, у) ду а,Яа ." 2139.
Йх йх, у) ду а О лЯ 2 х В 2143. Йх Пх, у) ду + О О лЯ а1ах 2144. Йх Д(хт у) Йу. 214О. Йх Ях, у) ду. Ла2:Р 2141. ~ ор ~ ~(х, р) ох. О „1 у2 1 .,%: ~' 2142. ду ~(х, у) дх. Вычис'1ить следующие двойные интегралы: 2145. х дх Йу, где Я вЂ” треугольник с вершинами О(0, "О), А(1; 1) ~Я) и 3(О «) 2133. 8 — круговое кольцо, ограниченное окружностями ради~сов г = 1 и В = 2, с общим центром О(О; О). 2 2 2 2 2134. 3 ограничена гиперболой у — х = 1 и окружностью х" + у = 9 (имеется В виду область, содержащая начало координат).
2135. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле Дх, у) дхду, ~Б) если область Я определяется неравенствами: а) х =.-' О; у ~ О; х + у '=. 1; г) у:й х; х > -«; у» 1; б)х +у ~»а; д) у ~ х а.- у + 2и; в)х +у о х; 2 2 О » ~у й.- й2. Переменить порядок интегрирования в следующих двойных интегралах: 4 12х 2а Дах Глава ЧП, КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ % »д 2146. ( ( х дх ду, где область интегри- ".' 8("0;2„» (3» Ф.
рования Я ограничена прямой, проходя- '~ Сф;Ц щеи через точки А(2; О), В(О," 2), и дугой Ф окружности с центром в точке (."(О," 1), ра- $ диус 1 (рис. 90). О ,д1 ('2:0) Х 214Т. »», где Я вЂ” часть *, г г сг 4а )а) ) Рис. 90, круга радиуса а с центром в точке О(0; О),;;. лежащая в первой четверти. 2148. ~ ~ ./ла-ра сидр, где8 — тре1гельииисаершииаииО)г); 01, 1~ (8» ф ) А(1; — 1) и В(1„1). Ъ 2149. ху — у2 дх ду, где 8 — треугольник с вершинами О(О; О), .=:": (в» А(10; 1) и В(1; 1). 2150.
е' Удх ду, где Я вЂ” криволиВф;Ц А(1:Ц нейный треугольник ОАВ, ограниченный ". 2 Я параболой у = х и прямыми х = О, у=1 ', (рис. 91), 2121. ( ( -*- " ' ~, где Я вЂ” парабсли- ' 0 Х (8» ческий сегмент, ограниченный параболой 2 у = "— и прямой у = х. 2 2152. Вычислить интегралы и вычертить области, на которые они .';:.;,' распространены: 11 1+ Е1~2 2 ьь ° а) дх у а(пхду; о а ) б) дх у дуг' 2 3с021) в) ду х 3(п ддх, 0 3 1. Двойной интеграл в прамоугол4 амх координатах При решении задач №№ 2153 — 2157 рекомендуется предварительно делать чертеж.
2153. Вычислить двойной интеграл ху дхду, (8» если Б есть область, ограниченная параболой у = 2рх и прямой х р. 2154"', Вычислить двойной интеграл ,ху дх ду„ (8» распространенный на область 8, ограниченную осью ОХ и верхней полуокружностью (х — 2) + у = 1. 2155. Вычислить двойной интеграл Ц~.— ".'. где 8 — круг радиуса а, касающийся осей координат и лежащий в первом квадранте. 2156, Вычислить двойной интеграл у дх дуг (3» где область 8 ограничена осью абсцисс и аркой циклоиды х = Я(2 — в1п 1), у В(1 — сов 2) (0<24 2а).
2157. Вычислить двойной интеграл ху дх ду, Ф» в котором область интегрирования 8 ограничена осями координат и дугой астроиды х Ясов 2, у=Вин ~ ~0~14- -~. 3 3 2158, Найти среднее значение функции»'(х, у) = ху в области 2 "~) (О < х -"" 1; О < у < Ц. У к а 3 а в и е. Средним значением функции ((х, у) в области Я нааываетса число — Пх, у)дхду, нл, 8.( (3» 2159.
Найти среднее значение квадрата расстояния точки М(х, у) круга (х — а) + у -: В от начала координат. 2 2 1 — х2 — у2 «(х«(у, х - «"сов «р, у - гя" и «р, имеет место формула Рис, 92. р хи(«)« Р(«р, г) г«)гйр = «Ьр г((р, «) гЙг, (я') Глава У11. КРАТНЫН И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ $2. Замена переменных в двойном интеграле 1'.Дво й н ой интеграл в .поля рн ь«х координатах. При переходе в двойном интеграле от прямоугольных координат х, у к полярным г, «р, связанным с прямоугольными координатами соотношениями ДХ, У) ЙХ дУ = ЯГСОВ «Ри ГВЕН «Р) Г й «ЬР.
Если область интегрирования Я ограничена лучами г и и г р' (а < Щ и кривыми г «1(«р» и «. = г2(«р), где г,(«р) и г («р) (г («р) ~' г («р)) — однозначные функции на Отрезке «е ии «р йи р, тО дВОЙнОН интеграл может быть Вычислен ПО фОрмуле где г(«р, г) загсов(р, гя1п«р). При вычислении интеграла г(«р, «.) г«ег х)( (() величину «р полагают постоянной. Если область интегрирования не принадлежит к рассмотренному Виду,:, то ее разбивают на части, каждая из которых является областью данного, вида. 2". Д вой но Й интеграл в кри воли пей ных координатах." В более общем случае, если «(х, у) непрерывна, и в двойном интеграле Д(х, у) «ех «еу (3) требуется от переменных х, у перейти к переменным и, о, связанным с х, у непрерыВными н ди~)ференцируемыми соотноп)ениями х = «р(а, «))и у = «««(а, «)), устанавливаю«ними взаимно однозначное и В обе стороны непрерывное соответствие между точками области Я плоскости ХОУ и точками некоторой области "")' плоскости ««О'~', при атом ляобиа«« сохраняет постоянный знак в области Я, то справедлива формула » «(х, и) Йхйд = (» «(и(и, и), и(и, «))()(Йи.йи.
$ 2. Замена переменных в двойном ннтеграле Пределы нового интеграла определяются по общим правилам на основании вида области 3 . П р и и е р 1. Перейдя к полярным координатам, вычислить Еде область 8 — круг радиуса В 1 с центром в начале координат (рис. 92). Решение. Полагая х = гсов«р, у г81п«р, по- лучаем Так как в области Я координата г при любом «р изменяется от О до 1, а (р изменяется от О до 2««, то ~ Л:хи:~ )х )д - ~ )« ~ ил: )и - 2х. з (в) О «) Перейти к полярным координатам г, (р и расставить пределы ин- тегрирования по новым переменным в следующих интегралах: 1 1 2160.
~ йх ~ «(х, ))) йр. 2161. «ех Д х2+ у2) «еу, 2162. ~(х, у) Йх «еу, где Б — треугольник, ограниченный пря- (3) мыми у = х, у ~ — х, у = 1. 1 1 216З. ах ~ И )у, х~ 2164. «(х, у» дх «1у, где область Я ограничена лемнискатой (н) "2 з е (х +у)"=а(х — у). 2165. Переходя к полярным координатам, вычислить двойной ин- теграл (3) где я — полукруг диаметра а с центром в точке (-~-; 0~ (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
