Бараненков Г.С., Демидович Б.П., Ефименко В.А. и др. Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов. Под ред. Б.П. Демидовича (2004) (1004620), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Показать, что функция г =уд(х — у ) удовле гворяет уравнению 1дг 1дг г + хдх ~д~ удовлетворяет уравнению х — +у — =ху+г. дх до удовлетворяет уравнению (х — у ) — + ху — = хуг. 2 2 дг дг дх дд 1873. Сторона прямоугольника х = 20 м возрастает со скоростью- 5 м/с, другая сторона у 30 м убывает со скоростью 4 и/с. С какой скоростью изменяются периметр и площадь прямоугольниками 1874. Уравнения движения материальной точки х=$,д=1 «г=г 2 = 3 С какой скоростью возрастает расстояние этой точки от начала координат? 187$. Два теплохода, вьппедшие одновременно нз пункта А, дви- " ' жутся один на север, другой на северо-восток.
Скорости движений теплоходов: 20 кмис'ч и 40 км~ч. С какой скоростью возрастает расстояние между ними7 $6. Проиэнодннн в данном направлении и грндиент функции $6. Производная в данком направлении и градиент функции 1'. Производная функции в данном направлении. Процзводмой функции 2 = Дх, у) в донном направлении 1 = РР, называется где ~(Р) и ДР ) — значения функции в точках Р и Р . Если функция г дифферонцируема, тО справедлива формула дг дг дг ~- = — соз а + ~- з1п а, (1) У Р~х; ~~ «уд сМ дх где е — угол, образованный вектором 1 с осью ОХ (рис.
67). Аналогично определяется производная в данном напрйвлеиии 1 для функции трех аргументов а ~ ~(х, д, г). В этом случае где а, р, у — углы между направлением 1 и соответствующими координатными осями, Производная в данном направлении характеризует скорость изменения функции в этом направлении, П ри мер 1. Найти производную функции 2 = 2х — Зр в точке Р(1; О) 2 2 в излрзвлении, составляющем с осью ОХ угол 120', Решен и е.
Найдем частные производные данной функции и их значения и точке Р: ~как минус показывает, что функция в данной точке и в данном направле- нии "яо~ ~вант дг* дг, игам г = — 1+ — 1. дх ду дгад и = — 1+ — ) + — Ы. ди. ди . дм дх ду дг ' в точке (2; 1, "8). 1890. Построить а)г-х+ у' б)г = хц," Глава Ъ'|. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕПНЫХ 2'. Г р а д и е н т ф у н к ц и и.
Градиеншо.и функции г = ~(х, и) называется вектор, проекциями которого на координатные оси являются соответствуницие частные производныс данной функции: Производная данной функции в направлении 1 связана с градиентом функ- ции следующей формулой: т. е. производная я данном направлении равна проекции градиента функции на направление дифференцирования. Градиент функции в каждой точке направлен по нормали к соответствующей линии уровня Функции, Направление градиента функции в данной точке есть направление наибольшей скорости возрастания функции в этой точке, т. е. при 1 = атад г производная — принимает наибольшее значение, дг д1 равное (й)'"®' Аналогично определяется градиент функции трех переменных и *= Дх, д, г): и Градиент функции трех переменных в каждой точке направлен по нормали к поверхности уровня, проходящей через эту точку.
2 П р и м е р 2. Найти и построить градиент функции г = х у в точке Р(1; 1). Р е ш е н н е. Вычислим частные производные и их значения в точке Р. Рис. 68. Следовательно, нгж1 г = 21 + ) (рис, 68). 2 2 1876, Найти производную функции г = х — ху — 2у в точке Р(1; 2) 1 в направлении, составляющем с осью ОХ угол 60'.
З 2 2 1877. Найти производную функции г = х — 2х у+ ху + 1 в точке :с. М(1; 2) в направлении от этой точки к точке Ф(4; 6). 1878. Найти производную Функции г = 1п х + р в точке Р(1; 1) 2 2 в направлении биссектрисы первого координатного угла. $ 6, Производная в данном направления я градиент Функции 1879. Нанти производную функции и = х — Зуг + б в точке М(1; 2; — 1) в направлении, составляющем одинаковые углы со всеми координатными осями. 1880. Найти производную функции и - ху + уг + гх в точке М(2; 1; 3) в направлении, идущем от этой точки к точке Ф(5; 5; 15). 1881.
Найти производную функции и = 1п (е + е" + е' ) в начале координат в направлении, образующем с осями координат ОХ, 01, ОЯ углы, соответственно, а, р, у, 1882. Точка, в которой производная Функции в любом направле- нии равна нулю, называется стационарной точкой этой функции, Найти стационарные точки следующих функций: 2 2 и) г ~ х + хд + у — 4х — 2д," б)г=х +у — Эху; з з в)и=2р +г -ху — рг+2х. 2 2 1883. Показать, что производная функции г = ~— , взятая в любой 2 2 2 точке эллипса 2х + р = С вдоль нормали к эллипсу, равна нулю.
1884. Найти дгас1 г в точке (2; 1), если з з 3 'х +д - Зхд. 1885. Найти а'гас1 г в точке (5; 3), если 2 2 х — д 1886. Найти огай и в точке (1; 2; 3), если и = хуг. 1887. Найти модуль и направление дгас1 и в точке (2; -2; Ц, если и=х +д +3 2 2 2 1888, Найти угол между градиентами функции г = 1п У в точках А~'1; 11 ив(1; и. 1889. Найти угол наклона наибольшего подъема поверхности векторное поле градиента следующих функций," в)г~х +д 2 2 — — =1„- (х,у); д «ЭЯ«д Я ~г Эх '«д ~ 2 еа' — — — (х, у) нт.д. д ЭЯ«дЯ ду «,ЭХ1 дхду к, вообще, а"'г =~ах — +На ~ т, д Э Теперь дифференцируем вторично; дх х +у (х .«.у ) Поэтому д Э Я д дуг ЭУ вЂ” =4, — = — 3 — = — 2 ЭЯ дЯ ЭЯ дх дх ду ' Задачи и уирюкаекиа ГлаВа 71.
ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПКРВМЕННЫХ $7. Производные и дифференциалы высших порядков 1', Частные и роиз водные высгн н х порядков. гХаетными производными 2-го порядка функции Я - .Дх, у) называются частные' производные от ее частных производных 1-го порядка, Для производных 2-го порядка употребляются Обозначения Аналогично определяются и обозначаются частные производные порядка выше 2-го, Если частные производные, подлежащие вычислению, непрерывны, то результат многократного диФферещирования не зависит от порядка диФФеренцирояания. П ри мер 1.
Найти частные производные 2-го порядка от функции Р е ш с и и е, Найдем сначала частные производные 1-го порядка." дЯ 1 1 х у х+у 2 2 2 1+— у ФМ 1+— 2 у Заметим, что так называемую исмен«аннуюи частную производную можно найти и иначе, а именно; дЯ дЯ д ~ х ч~ 1 (х+у) — 2х х х-уг дхду дудх Эх ««. х «. у 1 ( .2 2) (хг + «2) $7. Производные и дифференциалы высших порядков 2', Д ифферен циалы в ыс ш и х порядков.
ДиФференциалом 2-го порядка. функции Я ~(х, у) называется дифференциал от дифферени~ала (1-ГО порядка) этой функции 6 Я = 6(«1Я). Аналогично определяются дифференциалы функции Я порядка выше 2-го, например ЙЯ=п(й Я). Если Я = Г(х, у), где х и у — независимые переменные и функция ~ имеет непрерывные частные производные 2-гО порядка, то дифференциал 2-го порядка функции я вычисляется по формуле и Я - — и пх + 2 — «)х «)У + — аУ, 2 дЯ 2 дЯ д'™ (1) дхду ду' Вообще, при наличии соответствующих производных справедлива сим««Олическая формула которая формально развертывается по биномиальному закону.
Если я = ~(х, у), где аргументы х н у суть фу~~ц~~ ~д~о~о или нескольких ««езависимых переменных, то «1 Я = — дх + 2 — «1хду+ — «1у + — д х+ — с) у. (2) 2 д Я 2 д Я 2 ЭЯ дхду Э дх ду Если х и у — независимые переменные, то «««х = О, 6 у = О и формула (2) 2 2 становится тождественной формуле (1). П р и и е р 2, Найти полные дифференциалы 1-го и 2-го порядков функции Я 2х — Зху — у, 2 2 Р е ш е н и е. 1-й с п о с о б. Имеем дЯ , ЭЯ вЂ” ~ 4х — Зу, — -Зх — 2у. Эх ду Откуда следует 2 ЭЯ 2 ЭЯ 2 2 2 Й Я ~ — дх + 2 — Йх йу + — «)у = 4«(х — бйх Йу — 2«(у д Я 2 2 г дх Эхду ду У„'„(О, О) - -1, Р„.
(О* О) - +1. 1893, Найти — „если * дхду " и = ~(х, у, г), где г = фх, д). 1895. Найти — 1, если дх Глава 71, ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2-й с и о с о 6. Дифференцированием находим Йг 4х 6х — 3(у Йх + хну) — 2уду = (4х — Зу) дх — (Зх + Зу)ду, Дифференцируя еще раз и помня, что бх и ду не зависят от х и у, получим Й я = (4йх — Зйу)дх — (Здх+ 2ду) ду = Ых — бдхду — 2йу . 1891.
Найти — ~, ~ — -, — ~, если дх~ ~'хду ду2 1892. Найти — ~~, — ~, — ~~, если дх Эхду Эу г = 1п(х + у). 2 1896, Найти все частные производные 2-го порядка функции и= ху+дз+ зх. д 1897. Найти, если Эхдудх и=х дз. Эхду г = з1п(хр). 1899. Найти )'",. (О, О), ~„" (О, О), ~„" (О, О), если ~(х, у) (1 + х) (1 + у)".
1900. Показать, что — = —, если Э х Э~~ дхду Эудх ' $7. Производные и диФференциалы высших порядков 1901. Показать, что — = —, если Э х д я Эхду Эудх 1902+. Показать, что для функции 2 2 Дх, у) = ху"— , х +у с добавочным условием ДО, О) О имеем 2 -2 -2 1903. Найти —,, —, —,, если дхду ду~ ' з = Ф~» о)» удовлетворяет уравнению Лапласа д д дх ду 1907. Показать, что функция Р=1п -» 1 , удовлетворяет уравнению Лапласа и(х, г) =АВ1п(аИ+ ~р)иных 2 2 а (»»о) ~ 1У Уо) + (»»о) теплопровод- .~' 1916. Найти д г, если я = е"".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
