Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Однако роль к,то'' векторного произведения выходит далеко за рамки его механи- Рис. 2.3 ческой интерпретации. Свойства векторного произведения можно разделить на две категории: геометрические и алгебраические. Рассмотрим первую категорию — геометрические свойства. 1'. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их векторное произведение равнялось нуль-вектору. Ч Необходимость следует из приведенного выше обсуждения определения 2.3 векторного произведения в случае коллинеарных сомножителей. Докажем достаточность. Если ахЬ = О, то |ахЬ) = О, т.е.
|а| |Ь)впар = О, где ~р — угол между векторами а и Ь. Но тогда выполнено, по крайней мере, одно из трех равенств: |о| = О, |Ь| =0 или ип~р= О. Однако каждое из этих равенств влечет коллинеарность векторов а и Ь. ~ 2'. Если векторы а и Ь неколлинеарны, то модуль |ахЬ) их векторного произведения равен площади параллелограмма, построенного на этих векторах как на смежных сторонах (рис. 2.4). 88 г. ПРОИЗ8КДКНИЯ ВККтОРОВ Свойство объясняется тем, что модуль векторного произведения и площадь параллелограмма по двум смежным сторонам и углу между ними вычисляют по одной н той же формуле как произведение длин а векторов (сторон параллелограмма) Рис. 2.4 на синус угла между ними.
В 3'. Если ненулевые векторы а и Ь ортогональны, то для геометрического построения вектора ахЬ достаточно совместить их начала и в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вектор а на 90' вокруг вектора Ь по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь), а затем умножить повернутый вектор на число )Ь~.
~ Действительно, так как векторы а и Ь ортогональны, их некторное произведение есть вектор, ортогональный и а, и Ь, который по модулю равен ~а~ )Ь|. Векторы ь а и ахЬ лежат в плоскости, перцендику- лярной вектору Ь. Поэтому мы можем о получить вектор ахЬ поворотом векто- ра а вокруг вектора Ь на прямой угол с а 90 последующей корректировкой длины при помощи умножения на число ~Ь~.
Так как тройка векторов а, Ь, ахЬ, по опреде- ахЬ лению векторного проиэнедения, является правой, поворот должен выполняться по Рис. 2Л ходу часовой стрелки (рис. 2.5). $» Для геометрического построения векторного произведения в общем случае нам потребуется следующее понятие. Проектлиеб пр а вектпора а = Ао ка плоскостпь тт назовем вектор, соединяющий ортогонзльные проекции на плоскость я начала А и конца В вектора а (рис. 2.6). Напомним, что ортпогокальноб проекциеб точка ка плоскостпь называют основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость. 59 2.3.
Векторное произведение Проекция вектора на плоскость сохраняет свойства проекции вектора на прямую: проекция суммы векторов равна сумме их проекций, цри умножении вектора на число его проекция на плоскость умножается на это число. Рис. 2.6 4'. Пусть я — плоскость, перпендикулярная вектору Ь. Тогда ахЬ= (пр„а)хЬ. м На рис. 2.7 векторы а, Ь и а'= пр а изображены с общим началом в некоторой точке плоскости я.
Прежде всего отметим, что Ь эти векторы компланарны, так как направление вектора Ь и пери пеидикуляр из конца а на плоскость я параллельны. Поэтому векторы ахЬ и (пр а)хЬ коллинеарны, так как они перпендику- Рис. 2.7 лярны плоскости, параллельной векторам а, Ь и пр а. Более того, векторы ахЬ и (пр а)хЬ однонаправлены. Поэтому они равны, если равны их длины. Проверим равенство длин: )ахЬ|=~аПЬ)е1пу, )(пр а)хЬ|=~пр аЙЬ|. Но )пр а! = ~а)е1п у, значит, длины совпадают. Ь 5'. Чтобы геометрически построить векторное произведение векторов а и Ь, надо, совместив их начала, спроектировать вектор а на плоскость я, перпендикулярную вектору Ь. Полученную проекцию в плоскости, перпендикулярной вектору Ь, повернуть вокруг вектора Ь на угол 90' по ходу часовой стрелки (если смотреть с конца вектора Ь) и результат поворота умножить на число )Ь|.
60 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ ~ Сформулированное свойство непосредственно вытекает из свойств 3' и 4'. ~ь Алгебраические свойства векторного произведения используют при преобразовании выражений, в которые входят векторные величины. Важнейшими алгебраическими свойствами являются следующие три: — свойство антикоммутативности ахЬ = -Ьха; — свойство ассоциативности совместно с умножением на число (Ла) хЬ = Л(ахЬ); — свойство дистрибутивности относительно сложения (а+ +Ь)хс= ахс+Ьхс. ~ Доказывая свойство антикоммутативности, заметим, что если векторы а и Ь коллинеарны, то в обеих частях равенства ахЬ = — Ьха в соответствии со свойством 1' стоит нулевой вектор.
Если же векторы а и Ь неколлинеарны, то существует плоскость, которой они параллельны. В силу первого условия определения 2.3 векторного произведения векторы ахЬ и Ьха перпендикулярны этой плоскости и, следовательно, коллипеарны. Ясно, что и длины векторов ахЬ и Ьха равны, поскольку совпадают с площадью одного и того же параллелограмма (свойство 2'). Остается доказать, что векторы ахЬ и Ьха имеют противоположное направление. Это следует из того, что если тройка векторов а,Ь,ахЬ правая, то тройка Ь, а, а х Ь вЂ” левая.
Поэтому, заменив в последней тройке третий вектор на противоположный, получим правую тройку векторов Ь,а,— ахЬ, причем вектор — ахЬ коллинеарен вектору Ьха и имеет ту же длину. Согласно определению 2.3, это означает, что вектор — ахЬ равен векторному произведению векторов Ь и а, т.е. ахЬ= -Ьха. Свойство ассоциативности доказывается аналогично. В случае коллинеарных векторов а и Ь, а также при Л = 0 векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) равны нуль-вектору, поскольку каждый из них является или векторным произведением коллинеарных 61 2.3. Векторное лронооеденне векторов, или произведением вектора на число, равное нулю. Следовательно, в рассматриваемых случаях равенство (Ла) хЬ= Л(ахЬ) выполнено.
Предположим теперь, что векторы а и Ь неколлинеарны, а Л ~ О. Покажем сначала, что в левой и правой частях доказываемого равенства стоят коллииеарные векторы, равные по длине. Действительно, если считать, что векторы а, Ь и Ла имеют общее начало, то пары а, Ь и Ла, Ь неколлинеарных векторов порождают одну и ту же плоскость, которой перпендикулярны их векторные произведения ахЬ и (Ла) хЬ.
Поэтому векторы Л(ахЬ) и (Ла)хЬ коллинеарны. Вычисляя их длины, убеждаемся, что эти длины равны, так как |Л(ахЬ)| = |Л| |ах Ь| = |Л||а||Ь|я1пср, где у — угол между векторами а и Ь, а |(Ла)хЬ! = |Ла||Ь!е1п4~= |Л||а||Ь!я1п4 = |Л||а||Ь!ип~р, где ф — угол между векторами Лез и Ь и использовано равенство я1п ф = яп у, выполненное при всех Л ~ О. Два коллинеарных вектора, равные по длине, либо совпадают, либо являются противоположными друг другу.
Нам достаточно исключить последнюю возможность, доказав, что векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ) являются однонаправленными. Если Л ) О, то векторы п и Ла однонаправлены. Следовательно, векторы (Ла) хЬ и ахЬ тоже являются однонаправленными. А поскольку векторы ахЬ, Л(ахЬ) тоже однонаправлены, то однонаправлены и векторы (Ла) хЬ и Л(ахЬ). Если Л ( О, то векторы а и Лез являются противоположно направленными. Следовательно, векторы (Ла)хЬ и ахЬ тоже являются противоположно направленными.
Умножение вектора ахЬ на отрицательное число Л меняет его направление на противоположное. Поэтому векторы (Ла)хЬ и Л(ахЬ) имеют одинаковое направление. 62 2, ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Остановимся на доказательстве свойства дистрибутивности1. Если е = О, то равенство является очевидным, так как и слева, и справа будут стоять нулевые векторы.
Поэтому этот случай далее не рассматриваем и полагаем, что е ~ О. Мы также можем считать, что )с~ = 1, так как равенство в общем случае (а+ Ь) хс = ахе+ Ьхе при помощи свойства ассоциативности легко преобразовать к форме ~с) (а+ Ь) хс' = ~с)ахс'+ ~с~ Ьхе', е' = —, ~е~ ' т.е. к частному случаю тройки векторов а, Ь, с', для которой ~е') = 1. Итак, пусть ~с~ = 1.
Вспомним геометрическое свойство 5' (см. с. 59), дающее геометрическую интерпретацию произведения двух векторов. При нашем дополнительном условии ~с~ = 1 преобразование произвольного вектора а в векторное произведение ахс происходит за два шага: проектирование и на плоскость я, перпендикулярную вектору с, и поворот проекции в этой плоскости на прямой угол. Согласно свойству 4' векторного произведения (см. с. 59), получаем (а+Ь)хе = (пр (а+Ь))хе= (пр„а+пр Ь)хс, а хе+ Ьхс = (пр,а) хе+ (пр„Ь) хе, и нам остается показать, что (пр а+пр Ь)хе=(пр„а)хе+(пр Ь)хе.
1 Следующее далее доказательство опирается на геометрическое представление векторного произведения и в этом сммгле достаточно наглядно, так как в нем в основном используются понятия элементарной геометрии. Далее будет приведено и другое доказательство, более короткое, но и более формальное (см. 2.4), ИЗ. Векторное лроиэведееие Обозначим а' = пр а, Ь' = пр Ь. Согласно свойству 5', векторное умножение этих векторов на вектор с заключается в их повороте на прямой угол в плоскости и. Согласно правилу па- е раллелогремма, сумма повернутых векторов получается из суммы исходных а'+ Ь' поворотом на прямой угол, или, другими словами, умножением на вектор Рис. 2.6 с (рис.
2.8). в Замечание 2.2. Доказанные свойства ассоциативности и дистрнбутивности векторного произведения объединяют, аналогично случаю скалярного произведения, в свойство лимебмоспзи еемтпорного произееденчаа относительно первого сомножителя. В силу свойства антикоммутативности векторного произведения векторное произведение линейно и относительно второго сомножителя: ах(ЛЬ) = -(ЛЬ)ха = -Л(Ьха) = Л(ахЬ), ах(Ь+с) = — (Ь+с)ха =-(Ьха+сха) =ахЬ+ахс. Пример 2.Т. Найдем площадь Я треугольника, построенного на векторах а =Зс — 2д и Ь= с+И при условии, что |с| =1, |д| = 4, а угол у между векторами с и д равен 30'.
Для решения задачи воспользуемся формулой Я = 0,5 |ахь!. Используя алгебраические свойства векторного произведения, находим, что ахЬ = (Зс — 2д)х(с+И) = Зсхс+Зсхд — 2дхс — 2дхд = = Зохре+ 2схд = 5схд. Поэтому 5 = 05 |ах Ь| = 05 |5схд| = 25 |с| |д|лш у = 5. И ПРОИЗВЕДЕИИЯ ВЕКТОРОВ гх,у =й, зхй =я, йхй= 2, ухе= — й, йху = — Я, йхй = —,у. (2.13) В екторные произведения базисных векторов на себя не приведены, так как все они равны нуль-вектору. Таблицу произведений (2.13) удобно трактовать как правило циклической перестановки: произведение двух базисных векторов равно третьему, причем знак плюс выбирается, если тройка векторов (первый сомножитель, второй сомножитель, произведение) получается у из исходного базиса я, у, й циклической перестановкой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
