Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Деление отрезка в заданном отношении. Задача состоит в том, чтобы на данном отрезке М1 Мз найти точку М, делящую отрезок в заданном отношении: )МьМ~: ~ММз~ = р: д. Для точки М из отрезка М1Мз векторы МьМ и ММз коллинеарны и однонаправлены (рис. 3.3). Следовательно, один из них может быть получен из другого умножением на поло- 3.3.
Простейшие эадачи аиааитичееиой геометрии 87 жительное число. Пусть, пав + =+ пример, Ммз — — АМ1М. Число Л равно отношению длин отрезков Ммз и М|м, т.е. Л = д/р. Поэтому м, Рис. 3.3 м,К=М, м+мм,=мя+ чм,=йч= р— +'м~, Р Р откуда М,М = — 'М,М,'. Р+д (3.12) оМ вЂ” ом = Р ~ом -ом ) Р+Ч и найдем, что Ой~= — "ОМ~+( — ' ')ОМ~= Р+Ч ~ Р+Ч/ Р ~ Ч ~ Р .. Ч = — ОМз+ — ОМ~ — — — (хз' нз'хз)+ — (хП Р1 еД = Р+Ч Р+Ч Р+Ч Р+Ч рхз+ дх1 Руз+ ЧУ1 Риз + дя1 Р+Ч Р+Ч Р+Ч Итак, если обозначить координаты точки М через (х; у; я), то х= рхз+дх1 руз+ду1 рхз+дх1 и=, х= . (3.13) Р+Ч Р+Ч Р+Ч Пусть концы М1 и Мз отрезка М1мз заданы своими координатами в произвольной прямоугольной системе координат Ог37е в пространстве: М~(ХП у1, я1), Мз(хз, уз, лз).
Найдем координаты точки М в этой же системе координат. Для этого запишем равенство (3.12) через радиус-векторы входящих в него точек 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 88 Если точка М вЂ” середина отрезка МгМг, то р = д = 1, и поэтому из (3.13) следует, что координаты М равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка, т.е. хг+хг уг+уг хг+хг х= —, у= 2 ' 2 ' 2 г= В случае плоскости нет аппликат и из (3.12) следует, что координаты точки М(х; у), делящей отрезок МгМг в отношении ~МгМ): ~ММг~ = р: д, определяются через координаты точек Мг(хг>уг) и Мг(хг', уг) концов этого отрезка с помощью равенств Рхг + Чхг Руг + Чуг Р+Ч Р+Ч которые для середины отрезка переходят в соотношения хг + хг уг + уг х= 2 2 У= Пример 3.1.
В вершинах А(4; 4; 4), В(-2; 6; 4), С(-4; 4; 2) треугольника АВС расположены материальные точки равной массы. Найдем координаты центра масс этой системы точек. Центр масс указанной системы точек совпадает с точкой М пересечения медиан треугольника АВС. Пусть точка Ф— середина стороны ВС. Тогда ее координаты (х; у; г) равны полусумме соответствующих координат точек В и С, следовательно, х = — 3, у = 5, я= 3.
Медиану АФ точка М делит в отношении ~АМ): ~М1У~ = 2: 1, поэтому координаты (хо, уо, .ге) центра масс рассматриваемого треугольника в соответствии с (3.13) равны 2(-3)+14 2 25+14 14 23+14 10 2+1 3' 2+1 3 ' 2+1 3 ' Длина отрезка. Задача вычисления длины отрезка (или расстояния между двумя точками) по координатам его концов в прямоугольной системе координат известна из школьного 89 3.4.
Вычисление площадей и объемов курса геометрии. Мы выведем эту формулу при помощи вектпорной алгебры. Длина отрезка — зто длина вектора, соединяющего его концы, а длину вектора можно определить, вычислив его скалярный квадрат. Пусть концы отрезка М1 и тьт2 заданы своими координатами в прямоугольной системе координат 022й: М1(х1, у1, 21), М2(хзу; у2; г2). Тогда М1М2 = 1Х2 — Х1, 'у2 — у1', г2 — г1). Скалярный квадрат вектора М1М2, заданного своими координатами в ортонормированном базисе 2', у, й, находится с помощью формулы (2.9) для вычисления скалярного нроизведе- М1М2 —— (х2 — х1) + (уз — у1) +(Х2 — 21) . Итак, длина отрезка М1М2 вычисляется по формуле /М1М2! = (х2 — хт)2+ (у2 у1)2+ (22 г )2 3.4.
Вычисление площадей и объемов Вычисление площадей многоугольников и объемов многогранников, заданных координатами своих вершин в прямоугольной системе координата, основывается на использовании скалярного, вектпорного и смешанного произведений векторов. Если параллелограмм задан в пространстве координатами своих вершин, то для вычисления его площади нужно.найти координапты двух вектпоров, соответствующих смежным сторонам параллелограмма, а затем модуль их векторного произведения. Аналогично вычисляется площадь треугольника, равная половине модуля векторного произведения векторов, на которых он построен как на смежных сторонах.
Пример 3.2. Пусть три вершины треугольника заданы своими координатами: А(4;4;4), В(1;2;3), С(3;-1;2). 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 90 Для определения площади ЬАВС с помощью (3.10) найдем координаты векторов АФ и АС: АВ =(1-4;2-4;3-4) = (-3; -2;-1), Ад= (3 — 4;-1 — 4;2 — 4) = (-1;-5; -2). Затем по (2.14) вычислим их векторное произведение: у й -2 -1 -5 — 2 АВхАд= = — г — 5т'+ 13Й. Модуль этого векторного произведения равен ~Ас1хА(~~ = = ~/Г95, и, следовательно, ~АВхАВ~ Л95 ВьАВс = 2 2 = ~АВ АСАМ~/6. Пример 3.3. Найдем объем 1' пирамиды ЯАВС, заданной координатами своих вершин: А(2;-1;1), В(5;5;4), С(3;2;-1), Я(4; 1; 3). Для вычисления объема параллелепипеда, заданного координатами своих вершин, нужно найти координаты трех векторов, соответствующих смежным ребрам, а затем вычислить модуль смешанного произведения этих векторов.
Через смешанное произведение вычисляется и объем произвольной треугольной пирамиды ЯАВС (см. пример 2.8), поскольку он равен 1/6 объема параллелепипеда, построенного на ребрах АВ, А(~ и Ао. Таким образом, объем этой пирамиды равен РВАВс = 3,5. Кривые и поверхности Используя (3.10), вычисляем координаты векторов, направленных по ребрам пирамиды: АВ = (5 — 2; 5 — (-1); 4 — Ц = (3; 6; 3), АС~ = (3 — 2; 2 — (-1); -1 — Ц = (1; 3; -2~, АМ = (4 — 2;1 — (-1);3 — Ц =(2; 2; 2~, и определяем объем с помощью смешанного произведения най- денных векторов: 3 6 3 1 3 — 2 = — 18, 1' = -~АВАГ~АФ~ = 3. 2 2 2 АВАс, А.э = 3.5.
Кривые и поверхности Определение 3.1. Если уравнению Е(х, у, г) = О удовлетворяют те и только те тройки чисел х, у, г, для которых точка М(х; у; х) принадлежит множеству Я в пространстве, то уравнение Г(х,у,х) = О называют ураекеккем мкожеспзео Я, а само множество Я вЂ” аеомеоарическим обрезом этого уравнения. Вышесказанное также относится и к описанию множеств на плоскости, но с единственным отличием — уравнению соответствует функция Г(х,у) двух переменных х и у, а не трех.
Множество точек на плоскости или в пространстве можно описать системой уравнений и (или) неравенств, связывающих координаты точек иэ этого множества. И одна из важнейших задач аналитической геометрии — построение уравнения или системы уравнений и неравенств, описывающих заданное множество. 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 92 Определение 3.2.
Если уравнению Г(х,у) = О удовлетворяют те и только те пары чисел х и у, для которых точка М(х; у) принадлежит множеству Г на плоскости, то уравнение Г(х,у) = О называют уравнением мнонсестпва Г, а само множество à — геометпрнческим образом этого уравнения. Рассмотрим простеиший вариант, когда множество точек в пространстве описывается одним уравнением вида Г(х,у, г) = О, где Г(х,у,х) — функция трех переменных, а переменные х, у, г представляют собой координаты точки в пространстве относительно фиксированной прлмоугольноа сисптемы координат. Если не налагать на функцию Г(х,у,г) никаких ограничений, то от подобного описания мало проку, так как тогда при помощи уравнения можно описать любое множество точек в пространстве.
Действительно, вспомним общее толкование функции как закона, который любому набору, в данном случае из трех, аргументов ставит в соответствие единственное число. Такой закон можно задать различными способами. Например, выберем произвольное множество Я в пространстве.
Положим Г(х,у,х) = О, если точка с координатами (х; у; г) принадлежит множеству 5, и Г(х,утг) = 1 в противном случае. Тогда уравнение Г(х,утл) = О будет задавать в точности множество Я. В рамках аналитической геометрии рассматривают уравнения Г(х,у,г) = О (Г(х,у) = О на плоскости), для которых функция Г является многочленом своих переменных. Определение З.З. Многочленом отп и переменных хм ..., х„называют функцию вида Г(хт,...,х„) = ~ а„;„хт'...х'„", тт+.,.+т„=О где тт, ..., т'„— целые неотрицательные числа; а;, действительные числа, причем хотя бы один из коэффициентов а;,,„, для которых тт+...+ т'„= та, не равен нулю.
Число ти называют стпепенью многочлена опт и переменных. 3.5. Кривые и поверхности Определение допускает нулевое значение степени многочлеиа. Независимо от числа переменных многочлены нулевой степени имеют вид Г = ае о и являются постоянными функциями. Вид многочленов первой степени зависит от количества переменных. Например, Г = 2х — 4у+ 5х — 1 — многочлен первой степени от трех переменных, а Е = х — у+ 3 — многочлен первой степени от двух переменных.
При и ( Й любой многочлен степени т от п переменных можно рассматривать как много- член той же степени от Й переменных, т.е. от большего числа переменных. Уравнение Е(хм...,х„) = О, в левой части которого стоит многочлен от и переменных, называют алгебраическим.
Определение 3.4. Алгебраической коверхиоспзью называют геометрический образ в пространстве, соответствующий уравнению Г(х,у,х) = О, где Р— многочлен от трех переменных х, у, х. Степень многочлена Е в уравнении Е = О называют иормдком уравнения, или его стаеиекью. Определение З.б. Алгебраической кривой (или маккей) иа амоскосхпи называют геометрический образ на плоскости, соответствующий уравнению г'(х,у) = О, где Š— многочлен от двух переменных х, у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
