Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 14
Текст из файла (страница 14)
При преобразовании системы координат уравнение поверхности (кривой) изменяется. Пусть х, у, х — старые координаты, х', у', х' — новые координаты, связанные со старыми уравнениями (3.3), а поверхность в старой системе координат описывается уравнением Г(х,у,х) = О. Тогда, чтобы получить уравнение поверхности в новой системе координат, необходимо в исходное уравнение подставить вместо переменных х, у, х их выражения через новые переменные х', у', х'. В случае алгебраической поверхности (алгебраической кривой) преобразование координат в уравнении приводит к многочлену той же степени, что и степень первоначального урав- з. системы координлт пения.
Действительно, при преобразовании координат степень многочлена не может возрасти, но тогда она не может и уменьшиться, так как при обратном преобразовании она должна была бы возрасти. Следовательно, степень многочлена в уравнении отражает характер самой поверхности (кривой) и не связана с выбором системы координат. Степень многочлена в уравнении, описывающем данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), определяется неоднозначно. Например, поверхность, которая задается уравнением Е(з,у,я) = О, где à — многочлен, может быть так- 2 же описана и уравнением (Р(я,у,г)) = О, порядок которого вдвое больше.
Но среди всех уравнений, описывающих данную алгебраическую поверхность (кривую на плоскости), есть уравнение наименьшего порядка. Определение 3.6, Минимальный порядок уравнения, описывающего алгебраическую поверхность (алгебраическую кривую на плоскости) в прямоугольной системе координат, называют порядяом этой поверхноспэи (кривой). Отметим, что наиболее распространенные кривые на плоскости (прямые и окружности) и поверхности в пространстве (плоскость, сфера, конус), которые изучаются в курсе школьной геометрии, являются алгебраическими порядка 1 или 2. Кривая в пространстве может рассматриваться как линия пересечения двух поверхностей. Описывая каждую из поверхностей при помощи уравнения в одной и той же системе координат, например Г1(х,у,з) = О, Ез(з,у,э) = О, задают и линию пересечения этих поверхностей системой двух уравнений < Е1(х,у,з) = О, Рз(х,у,э) = О.
Кривые на плоскости или в пространстве можно описывать и другими способами. Так, кривую можно рассматривать как 95 З.а Кривые и поверхыости траекторию движущейся точки и описывать, задавая координаты точки как функции времени. Мы приходим к системе трех уравнений (3.15) Кривая на плоскости может быть описана аналогичной системой двух уравнений. Такие системы называют параметрическими уравнениями кривой, а переменное Ф вЂ” параметром [11].
Его содержательный смысл (время) не является существенным, да н происхождение параметра может быть различным — не только исходя из механической интерпретации кривой как траектории движения. Если удается исключить параметр из системы (3.15), то получается система двух уравнений, которая характеризует кривую в пространстве как пересечение двух поверхностей. Возможен и обратный переход, при котором в систему двух уравнений вводят дополнительный параметр так, чтобы новая система могла быть представлена в виде (3.15), Пример 3.4, Кривую в пространстве, заданную системой двух уравнений < +у — л~ =О, я †я+1, можно задать параметрическн.
Для зтого исключаем из первого уравнения переменную л н получаем я~+у~ — (1+х) = 0 нли уз =2х+1. Решая последнее уравнение относительно х, приходим к системе двух уравнений, эквивалентной исходной: уз х —— 2 1 уз+ 1 г= —. 2 з. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Остается ввести параметр, положив ~ = у, и записать параметрические уравнения рассматриваемой кривой: 22 х=— ! 2 у=21 12+1 — Ф. 2 Поверхность в пространстве может быть также задана параметрическими уравнениями, но параметров в зтом случае должно быть два. Пример 3.5.
Сфера радиуса В с центром в начале координат описывается параметрическими уравнениями х = Всоедсоя~р, у = ВсоядБ1пь2, 2 = ВБ1пд1 в которых параметр д соответствует географической широте на поверхности Земли, а 1Р— географической долготе. Параметры должны изменяться в пределах )д~ < и/2, -и < у < и. 3.6.полярнаи система координат Кроме пр.ямоугольной систпемы координао1 на плоскости часто используют пол,яркую сиспзему координопз, которая полностью определяется упорядоченной порой точек О М и О1. Первую из них — точку Π— называют полюсом полярной сис1пемы коорди- У напз.
Из полюса в направле- нии второй точки 01 проводят 1 Р луч Ор, называемый поляркой Рис. 3.4 осью (рис. 3.4). 3.6. Поаирнаи система координат 97 Расстояние между точками О и О~ выбирают в качестве единицы масштаба. Ясно, что полюс полярной системы координат О, ее полярнал ось 1 и установленная единица масштаба однозначно определяют на плоскости положение точки О1. Поэтому выбор этой тройки геометрических объектов часто рассматривают как выбор конкретной полярной системы координат.
Положение точки М в полярной системе координат фиксируется расстоянием р между точкой М и полюсом О, называемым иоллркьам радиусом, и углом у между полярной осью н вектором Оно — коллркым делом. Полярный радиус и полярный угол составляют коллрные коордикаекы вточь М на плоскости, которые записывают так: М(р;у).
Полярный угол измеряют в радианах и отсчитывают от полярной оси. Если значение угла положительно, то его отсчитывают против хода часовой стрелки, в противном случае — по ходу часовой стрелки (см. рис. 3.4). Для полюса р = О, а угол у не определен. Для остальных точек плоскости р ) О, а полярный угол у определен с точностью до 2я. Поэтому для полярного угла иногда фиксируют промежуток его изменения, например ( — я,я], ( — я,я) или (0,2я). Координагпы точки на плоскости часто записывают как в полярной, так и в прямоугольной системах координат и используют преобразования этих координат друг в друга. Если нет специальных указаний, то при этом подразумевают следующее взаимное расположение прямоугольной и полярной систем координат (рис. 3.5): полюс полярной системы координат совмещен с началом прямоугольной д системы координат; полярная 'Р ось совпадает с положительной и х частью оси абсцисс, а масштаб в полярной системе для вычисле- Рнс.
З.Ь 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 98 ния расстояний берется равным единице длины в прямоуголь- ной системе координат. В этом случае прямоугольные коорди- наты (х; у) точки М на плоскости выражаются через ее поляр- ные координаты (р,у) с помощью соотношений (см. рис. 3.5) х = рсовнт, у = рвш<Р. (3.16) С учетом ограничения уб(-х,х) на полярный угол полярные координаты точки определяются через ее прямоугольные ко- ординаты следующим образом: у>0; у<0; у>О; у < О. (3.1Т) Пример 3.6.
Найдем полярные координаты точек М(3; 4) и Дг(-1; 1). Для точки М имеем: р = ~/34+ 4~ = 5, ~р = агс16(4/3), а для ° н — р=Д:+ц~Р=Л,т=,+„,~т[-ц=з ~4. З.Т. Цилиндрическая и сферическая системы координат Для введения цилиндричесттоб систпемы координатп в пространстве выберем плоскость Р и зафиксируем на ней некоторую полярную систему координат с полюсом О и полярной осью Ор. Через точку О перпендикулярно плоскости Р проведем ось Ох, выбирая ее направление таким образом, чтобы возрастание полярного угла со стороны положительного направления оси Ох происходило против хода часовой стрелки (рис. 3.6, а).
Фиксируем единицу масштаба для расстояния между точками. агсг6(у/х), тт +атее(у/х), -я + агс18(у/х), х/2, -и/2, х>0; х<0, х <О, х=О, х=О, 3.7. Цидиидричесивя и сферическая системы координат 99 Цилиндрическими координатами точка М в пространстве называют упорядоченную тройку чисел р, у, г, в которой (р; у) — полярные координаты ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а г — ортогональная проекция вектора ОМ на ось Оз (см. рис. 3.6, а).
Координата р точки М равна ее расстоянию до оси Ог. Название этой системы (цилиндрическая) связано с тем, что точки с одинаковой первой координатой р образуют боковую поверхность неограниченного прямого кругового цилиндра радиуса р. Рис. ЗЯ На рис. 3.6, б показано стандартное взаимное расположение цилиндрической и прямоугольной систем координат в пространстве. Плоскость Р совмещена с 1соординапзной плоскостью прямоугольной системы координат, проходящей через оси абсцисс и ординат, н в этой плоскости согласованы полярная и прямоугольная системы координат. Ось Оз цилиндрической системы координат автоматически совпадает с осью аппликап1. При таком взаимном расположении цилиндрической и прямоугольной систем координат прямоугольные координаты (х; у; г) точки М выражаются через ее цилиндрические координаты (р; ~р; г) с помощью равенств х = реомюр, у = рв1п~р, г= г.
(3.18) 3, СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 100 Для нахождения цилиндрических координат по прямоугольным можно воспользоваться (3.17) с учетом того, что третьи координаты любой точки в этих системах совпадают. С4ерическиа систпема коордикигп в пространстве вводится точно так же, как и цилиндрическая система. Отличие имеется лишь в определении третьих координат точек.
Сферическими коордииотпами изочки М в пространстве называют упорядоченную тройку чисел р, у, д, в которой р — длина вектора Олл, у — полярный угол ортогональной проекции точки М на плоскость Р, а д — угол, который образует вектор ОМ с положительным направлением оси Оз (рис. 3.7, а), Замечание 3.1. Используют и другой иариант сферической системы координат, в которой в качестве угла д берется угол между вектором ОМ и плоскостью Р. 41 Отметим, что д б (О,я), а сферическая координата р точки равна ее расстоянию до точки О. Название системы (сферическая) соответствует тому, что точки с одинаковой первой координатой р образуют поверхность сферы радиуса р с центром в точке О.
Рис. 3.7 Для стандартного взаимного расположения сферической и прямоугольной систем координат в пространстве (рис. 3.7, 6) преобразования координат имеют вид: я = ре1пдсоау, у = ря1пде)п у, (3.19) л = Рсовп Волрогэгя эадачи ~гРгр ~Р агссов ~э гртГ агс$3(у/х), х > 0; н+агсгб(у/х), х <О, у> О; — и+агсгб(у/х), х <О, у<0; х/2, х=О, у>0; -гг/2, х=О, у<0. (3.20) Вопросы и задачи 3.1. Доказать, что если уравнение хз+ху+ у — 1 = О записать в новых координатах х', у' с помощью преобразования координат * = огх'+ Ау' у озх +азу 1 то при ФО порядок уравнения не изменится.
Привести пример, показы- вающий, что при нарушении этого условия порядок может уменьшиться. 3.2. Найти преобразование координат на плоскости: а) прн параллельном переносе системы координат на вектор (-3;5); б) при повороте на угол -х/3. Замечание 3.2. В цилиндрической и сферической системах координат могут накладываться ограничения на возможные значения угла ~р, отмеченные выше для полярной системы координат, с тем чтобы этот угол определялся для каждой точки однозначно. Значение второй координаты уэ в этих системах для точек оси Ог не определено, и положения таких точек полностью определяются значениями двух других координат. 102 3.
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 3.3. Выяснить, задают лн формулы: а) х = х'+ у', у = х'— — У'; б) х = 0,5х' — ~ГЗу'/2, у = ~Г3х'/2+ 0,5у' поворот системы координат на плоскости. Если задают, найти угол поворота. 3.4. Найти расстояние между точкамн М1 и Мз, если они заданы своими полярными координатами РО1о1 и рз,уэ соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
