Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Тогда существует единственнал плоскость н, которой эти точки принадлежат. Найдем уравнение этой плоскости, сформулировав критерий принадлежности произвольной точки М данной плоскости н. Затем запишем этот критерий через координаты точек. Указанным критерием является описание плоскости и как множества тех точек М, для которых векторы МтМгг, МгМзт и Мтй компланарны. Критерием и о 124 н прямля и плоскость в прострлнствв компланарности трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения (см. 2.4), Смешанное произведение вычисляется с помощью определителя третьего порядка, строками которого являются координаты векторов в ортонормированном базисе. Поэтому, если (х;;у;;«;) — координаты точек М;, ! = 1,2,3, а (х;у; «) — координаты точки М, то М!Л$=(х — х!, у — у!, « — «!), М!Мз =(хз-х!1 уз-у!' «з-«!) М!Мз —— (хз-х!, Уз-у!, «з-«!) и условие равенства нулю смешанного произведения этих векторов имеет вид х — х! у-у! «-«! хз — х! У« — у! «з — «! хз — х! уз — у! «з — «! (5.7) Вычислив определитель, получим линейное относительно х, у, «уравнение, являющееся общим уравнением искомой плоскости.
Например, если разложить определитель по 1-й строке, то получим ! У2 У! «2 «! 1хз — х! «з — «!1 (х — х!) — (у — у!) + Уз-У! «з-«! 1хз х! «3 «! 1 хз-х! Уз-у! Это равенство после раскрытия скобок преобразуется к общему уравнению плоскости. Отметим, что коэффициенты при переменных в последнем уравнении совпадают с координатами векторного произведенил М!Мзх М!Мз. Это векторное произведение, будучи произведением двух неколлинеарных векторов, параллельных плоскости я, дает ненулевой вектор, перпендикулярный и, т.е. ее нормальный вектор. Так что появление координат векторного произведения в качестве коэффициентов общего уравнения плоскости вполне закономерно. Рассмотрим следующий частный случай плоскости, проходящей через три точки. Точки М!(а;0;О), Мз(0;Ь;О), Мз(0; 0;с), Б.я Специальные виды уревиеиие плоскости 125 х — а у х -а Ь 0 -а 0 с Вычислив определитель, найдем Ьс(х — а) + псу+ айг = О, разделим полученное уравнение на айс и перенесем свободный член в правую часть, Рнс.
в.э х у х — + — + — =1. а Ь с Это уравнение называют уравкекаеле еьлоскоскли в оукрез- ках. Пример 6.2. Найдем общее уравнение плоскости, которая проходит через точку с координатами (1;1;2) и отсекает от осей координат отрезки одинаковой длины. Уравнение плоскости в отрезках при условии, что она отсекает от осей координат отрезки равной длины, скажем а ф О, имеет вид х у — + — + — =1. а а а Этому уравнению должны удовлетворять координаты (1; 1; 2) известной точки на плоскости, т.е.
выполняется равенство 4/а = 1. Поэтому а = 4 н искомым уравнением является х+ +у+я-4=0. аЬС ф О, не лежат на одной прямой и задают плоскость, которая отсекает на осях координат отрезки ненулевой длины (рис. 5.3). Здесь под „длинами отрезков" понимают значение ненулевых координат радиус-векторов точек М;, 1= 1,2,3. Поскольку М~.Иэ У= (-а; Ь;0), М~МзУ вЂ” — (-а;0;с), М~Х~ = = (х-а; у; х), то уравнение (5.7) принимает вид 126 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Норманьиое уравнение плоскости. Рассмотрим некоторую плоскость к в пространстве. Фиксируем для нее единичный нормальный вектор и, направленный нз начала координата „в сторону плоскости", н обозначим через р расстояние от начала О системы координат до плоскости я (рнс.
5.4). Если плоскость проходит через начало системы р координат, то р= О, а в качел стве направления для нормально- О го вектора н можно выбрать любое нз двух возможных. Если точка М принадлежит плоскостня,тоэтоэквнвалентно тому, что ортогональная проекРис. в.в иия вектора Олл на направление вектора н равна р, т.е. выполнено условие тиО М= ар„Овт'=р, так как длина вектора п равна единице. Обозначим координаты точки М через (х; у", г) н пусть н = = (саво; совД совТ) (напомннм, что для единичного вектора ть его направллютиие косинусы сова, совд, сов у одновременно являются н его коордннатамн). Записывая скалярное пронзведенне в равенстве нОй~ = р в координатной форме, получаем нормальное уравнение плосностпи х саво+ усову+ гсов у — р = О.
Анаяогнчно случаю прямой на плоскости, общее уравнение плоскости в пространстве можно преобразовать в ее нормальное уравнение деленнем на нормнрующнй множитель. Для уравнения плоскости Ах+ Ву+Сх+ят = О нормнрующ г ~чА ХВ ~-с~, рого выбирается противоположным знаку Э. По абсолютной Б.З, Уравнения прямой в пространстве 127 5.3. Уравнения прямой в пространстве Общие уравнения прямой в пространстве. Прямую в пространстве можно рассматривать как линию пересечения двух плоскостей.
Если плоскости гг1'. А1х+В1у+Сгх+В1 — — О> кз. 'Азх+Взу+Сзх+Вз= О непараллельны, то пересекаются по прямой. Точка М(х; у; х) принадлежит этой прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют уравнению каждой из плоскостей, т.е. являются решениями системы уравнений А> х+ Вгу+ Сгх+ 0г — — О, Азх + Взу+ Сия+ Эз — — О, (5,8) которую называют общими ураекекилми прямой. Векторное уравнение прямой.
Описание прямой в пространстве при помощи общих уравнений — не единственный способ. Прямую Ь в пространстве можно также однозначно задать любой ее точкой Ме и параллельным ей ненулевым вектором л. Любой ненулевой вектор, параллельный прямой, называют капраел.вющим еектпором прямой. Если точка М принадлежит прямой Ь, то это эквивалентно тому, что вектор МеМ коллинеарен вектору л (рис. 5.5). Тэк как л у~ О, то вектор л является базисом в пространстве $>г величине нормирующий множитель представляет собой длину нормального вектора 1А; В; С) плоскости, а знак соответствует нужному направлению единичного нормального вектора плоскости. Если плоскость проходит через начало системы координат, т.е.
О = О, то знак нормирующего множителя можно выбрать любым. 128 а пРямАя и плОскОсть В пРОстРАнсТВе (5.9) с=ге+~в, которое называют ееягпорным уравнением прлмоб в про- странстве. Параметрические уравнения прямой в пространстве. Предположим, что известны координаты (1;т;п) направляющего вектора в прямой Ь и точки Мо(хо' уо~ «о) с Ь в прямоугольной системе координат. Обозначим через (х; у; «) координаты произвольной точки М. Критерием принадлежности точки М прямой 1, является условие коллинеарности векторов МеХ~= (х — хо', у — уо; « — «о) и в (см. рис.
5.5), что равносильно пропорциональности их координат (см. теорему 1.8). Обозначив через 1 коэффициент пропорциональности, получим равенства х -хе=И, у-уе =«т, « — «е = «п. Но тогда х = хе+И, у = уз+ т«, « = «О+пг, (5.10) и (5.10) называют пораметпричесянмн уравнениями прямоб в пространстве.
Шесть коэффициентов в системе уравнений (5.10) имеют наглядный геометрический смысл: они представляют собой координаты одной точки на прямой, соответствующей 1= О, и координаты направляющего вектора прямой, который соединяет точки, соответствующие значениям параметра 1 = 0 и 1 = 1. коллинеарных ему векторов. ПозтоМ Ъ му для некоторого числа $ выполням ется равенство Моля = ~в. Так как Мой=ОХ~ — ОМе — — г — ге где г и Рнс. б.в ге — радиус-векторы точек М и Ме соответственно, то условие М Е ь можно записать в виде урав- нення 129 Б.З. Уравнения орамой в простраястве Итак, если задана система трех уравнений вида (5.10), в которой хотя бы один из коэффициентов 1, гв, а отличен от нуля, то эта система определяет в пространстве прямую, причем тройка коэффициентов хо, уо, хо задает на прямой точку, а тройка коэффициентов 1, т, в представляет собой координаты направляющего вектора прямой. Канонические уравнения прямой в пространстве.
Как и в случае прямой на плоскости, из параметрических уравнений (5.10) можно исключить параметр 1 и записать результат в виде х — хо у — уо х — хо (5.11) ! гв и Уравнения (5.11) называют маномичсскими уравнениями пр.ему в пространстве. Канонические уравнения представляют собой, по существу, другую форму записи условия коллинеарности векторов МоХ~ и л, состоящую в пропорциональности их координат (см. следствие 1.1). В знаменателе канонических уравнений допускается нулевое значение. Чтобы понять смысл нулевых значений параметров 1, т, п, обратим внимание на параметрические уравнения прямой (5.10), в которых нет проблемы нулевых знаменателей.
Например, при 1 = 0 из (5.10) следует, что х = хо. Мы видим, что если в канонических уравнениях один иэ знаменателей (или два, но не все три) равен нулю, то соответствующий числитель тоже равен нулю. Уравнения прямой, проходящей через две точки. Каждая прумая в пространстве однозначно задается любыми двумя своими различными точками. Если известны координаты этих точек М1(х1,.у1, г1) и Мз(хз, .уз, .хз), то в качестве направляющего вектора прямой подходит ненулевой вектор М1Мз —— (хз — х1, 'уз — у1, хз — х1). Зная его координаты и координаты точки М1 на прямой, можно записать канонические 130 Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
