Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 19
Текст из файла (страница 19)
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ уравнения прямой (5.11). В результате получим х — х1 у — уг х — х1 хг — хг уг — уг хг — хг уравнения ирлмой, проходлюцей через дее точки. Пример 5.3. Точки М1(1;2;3) и Мг(3;2;1) определяют проходящую через них прямую х — 1 у — 2 х — 3 3 — 1 2 — 2 1 — 3 Нуль в знаменателе второй дроби означает, что для координат всех точек прямой выполнено равенство у = 2. Позтому прямая расположена в плоскости у -2 = О, параллельной координатной плоскости хОх и пересекающей ось ординат в точке с ординатой 2.
Изменение формы уравнений прямой. Переход от канонических уравнений прямой к параметрическим и обратно достаточно очевиден и сводится к введению илн исключению параметра г. Одна форма уравнений непосредственно записывается по другой, так как в них используются одни и те же параметры, задающие координаты точки на прямой и координаты направляющего вектора,. Пример 5.4. Найдем координаты точки В, симметричной точке А(2; 3; -1) относительно прямой х — 1 у+2 х — 1 1: 1 -1 2 В вычислениях будем опираться на следующее геометрическое построение точки В: а) через точку А проводим плоскость к, перпендикулярную прямой 1,; б) находим точку М пересечения прямой Е и плоскости я; в) отрезок АМ удлнняем до отрезка АВ так, чтобы точка М оказалась в середине отрезка АВ (рис. 5.6). 131 о.З. Уравненнв праной в пространстве Так как плоскость к перпендикулярна прямой Ь, то в качестве нормального вектора и плоскости можно выбрать нв правляющий вектор прямой Ь: и = 11; — 1; 2).
По известным координатам нормального вектора плоскости к и принадлежащей ей точки А записываем уравнение плоскости к в ви- Рвс. ь.в де (5.2): 1(х — 2) + (-1) (у — 3) + 2(х+ 1) = О. Чтобы найти координаты точки М пересечения прямой и плоскости по их уравнениям, запишем параметрические уравнения прямой Х' у=-2 — С, л=1+2С. х= 1+С, Подставив эти выражения для координат точки на прямой в уравнение плоскости, получим уравнение для параметра С (1+ С вЂ” 2) — ( — 2 — С вЂ” 3) + 2(1+ 2С+ 1) = О, х = 1 — 4/3 = -1/3, у = -2+ 4/3 ев -2/3, г = 1 — 8/3 = -5/3. Поскольку эта точка должна делить отрезок АВ пополам, ее координаты, согласно (3.14), равны полусумме соответствующих координат точек А и В.
Следовательно, обозначив через (х', у', х') координаты точки В, получим равенства / 2 = -5/3. — = -1/3, — = -2/3, 2+ х' 3+ у' 2 ' 2 Отсюда х'= -8/3, у'= — 11/3, х'= -1/3. 1К решение которого дает значение параметра для точки М. Найдя это значение С = -4/3 и подставив его в параметрические уравнения прямой, получим координаты точки пересечения 132 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Достаточно просто выполняется переход от канонических уравнений к общим. Нетрудно увидеть, что на самом деле канонические уравнения представляют собой особую форму записи общих уравнений.
Действительно, двойное равенство (5.11) равносильно системе двух линейных уравнений х — хо у — уо 1 т х — хо г — го — — =О, и (5.12) которые представляют собой частный вид общих уравнений прямой в пространстве. Самым сложным является переход от общих уравнений к каноническим или параметрическим. Так как плоскости к~ и хз, соответствующие отдельным уравнениям из общих уравнений (5.8) примой, непараллельны, то один из определителей второго порядка Аз Вз ' Аз Сз ' Вз Сз представляющих собой координаты векторного произведения нормальных векторов этих плоскостей, не равен нулю. Предполагая, что первый из этих определителей является ненулевым: Аз Вз ~ изложим три способа перехода от общих уравнений к каноническим или параметрическим. Первый способ состоит в том, что в системе (5.8) для х назначают два различных значения и по формулам Крамера находят два различных решения системы двух уравнений с двумя неизвестными х и у.
Эти два решения системы (5.8) дают координаты двух разных точек М~ и Мз на прямой. А две известные точки прямой позволяют найти уравнение прямой, 5,3, Уравнения прямой в пространстве проходящей через две точки, которое фактически совпадает с каноническими уравнениями прямой. Отметим, что в качестве направляющего вектора и прямой, заданной общими урав- е 2 пениями (5:8), можно выбрать гв1 хая — векторное произведение двух нормальных векторов плоскостей (рис.
5.7). Действительно, зто векторное произведение является век-;,~ф~ ц',,'~:,'ф тором, который ортогонален каждому нормальному векто- л2 л, ру, а потому он параллелен как Рис. 5.7 одной, так и другой плоскости, т.е. параллелен их линии пересечения. Нахождение одной точки на прямой и ее направляющего вектора можно рассматривать как второй способ перехода от общих уравнений прямой к ее каноническим уравнениям. Пример 5.5. Найдем канонические уравнения прямой, совпадающей с линней пересечения плоскостей ггг. х — у+ я-2 =0, ггз. х+у — я =О. Чтобы найти координаты некоторой точки на прямой, подставляем в уравнения плоскостей х = О и решаем соответствующую систему двух линейных уравнений относительно х и у х — у=2, х+у=О. Значения х = 1 и у = -1 единственного решения системы получаются сложением и вычитанием уравнений системы. Итак, точка с координатами (1; — 1; О) расположена на прямой.
В качестве направляющего вектора прямой берем векторное произведение пгхяз нормальных векторов туг — — (1; — 1; 1) и 134 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ ггг = (1;1; — 1) плоскостей хг н хг. По формуле (2.14) для вычнсленыя векторного произведения в координатах находим у' й 1 — 1 1 = 22 +2Й, 1 1 -1 ггг хггг = т.е. направляющим вектором прямой будет л = (О; 2; 2). Найденный вектор л для простоты заменим коллинеарным ему вектором 10; 1; 1). Проведенные вычысления позволяют написать канонические уравнения искомой прямой х — 1 у+1 г У О 1 1 С +Р Вг~ В, Вг х=— С1х+Р1 В1~ А, В, Л О = — '(Сгх+Рг) — — (С1 г+Рг) = о1 л+Д, Аг Сгх+Рг Аг Аг у= А1 С1х+Р1 = — '(С1я+Р1) — — '(Сг г+Рг) = огх+А.
А1 В1 Обозначив г через Ф н добавив уравнение я=1, получим параметрические уравнения прямой; х = о11+11г, у = аг$+дг Третий способ перехода от общых уравнений прямой к ее каноническим ыли параметрическым уравнениям состоит в следующем. Решаем систему (5.8) по правилу Крамера относительно неизвестных х и у, рассматривая неизвестное х как параметр: 5.4. Вэаымыое рлсполомсыые прямых ы плоскостей 135 5.4. Взаимное расположение прямых и плоскостей Взаимное расположение плоскостей.
Пусть даны две плоскости, заданные в лрлмоугольной сисгнеме координап1 своими общими уравнениями, я1 . 'А1х + В1 у + С1 х+ 01 = О, яз. 'Азх + Взу+ Сзх + Вз = О. Один из двух углов между этими плоскостями (обозначим его через <р) равен углу между их нормальными векторами о1 = = (А1, В1, Сг) н оз — — (Аз, Вз, Сз) (рис. 5.8), а другой угол равен гг — ф. Рнс. б.г Поэтому, согласно определению 2.1 скалярного нроизведенил1 (гэ1,гьз) А1Аз+ В~Вз+С1Сз 1 ~ ~~) ~гА~ ~-Вэ <-С~~ГА~ <-Вэ <-с Если две данные плоскости перпендикулярны, то это эквивалентно тому, что нх нормальные векторы ортогональнм.
Критерием ортогональности двух векторов является равенство нулю их скалярного произведения (см. теорему 2.1). Поскольку скалярное произведение двух векторов, заданных в координатах, вычисляется как сумма произведений их одноименных 136 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ координат, критерием перпендикулярности плоскостей яг и яг является выполнение равенства АгАг+ВгВг+СгСг = О. Аналогично две плоскости параллельны, если их нормальные еекпгоры коллияеаркы.
Критерием же коллинеарности двух векторов является равенство отношений их координат (см. следствие 1.1). Позтому условие параллельности двух плоскостей записывается в виде двойного равенства Аг Вг Сг Аг Вг Сг Замечание б.1. Это двойное равенство имеет смысл и в том случае, когда в знаменателе одной из дробей стоит нуль. Это значит, что и в числителе той же дроби стоит нуль. ф Параллельные плоскости могут совпадать или быть различными. Левые части общих уравнений совпадающих плоскостей отличаются на ненулевой числовой множитель, н зто можно записать как равенство отношений соответствующих козффициентов их уравнений: Аг Вг Сг Рг Аг Вг Сг Рг Случай же Аг Вг Сг Рг Аг Вг Сг Рг соответствует тому, что плоскости параллельны, но не совпа- дают.
Угол между прямыми. Угол между двумя прнмыми можно найти, используя наиравляюпгие еекпгоры прямых. Острый угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами 1рис. 5.9) или является дополнительным к нему, 5.4. Взаимное рлоноложенне промыл и нлооноотой 137 если угол между направляющими векторами тупой.
Таким образом, если для прямых Ь1 и Ьг известны их направляющие векторы в| н вг, то острый угол у между этими прямыми определяется через скалярное произведение: )вгвг) сову = 1в Ив!' Рис. Ь.В )111г+ тгтг+ ага сов оов лтзтгил гл7+ Г Взаимное расположение прямых. Для двух прямых в пространстве возможны четыре случая: — прямые совпадают; — прямые параллельны (но не совпадают); — прямые пересекаются; — прямые скрещиваются, т.е.
не имеют общих точек и непараллельны. Рассмотрим два способа описания прямых: каноничесиил4и ураенениял4и и общими уравнекиани. Пусть прямые Ь1 и Ьг заданы каноническими уравнениями: 2 — х1 9 у1 г лг х — хг у — рг в — гг 11: = = — Ьг: — = = (5 13) 11 т1 п1 1г тг пг Например, пусть в; = 11б пг;; о;), 1= 1,2. Используя формулы (1.9) и (2.9) для вычисления длины вектора и скалярного произведения в координатах, получаем 138 Л.
ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ Для каждой прямой из ее канонических уравнений сразу определяем точку на ней М2(х2,У2,2!) Е 52, Мг(хг,уг,лг) Е 52 и координаты направляющих векторов я! = 112, т2, н21 для Ь2, вг — — (1г,тг,'нг) для Ьг. Если прямые совпадают нлн параллельны, то их направляющее векторы в! и лг коллинеарны, что равносильно равенству отношений координат этих векторов: 1! т! и! 12 тг нг (5.14) Если прямые совпадают, то направляющим векторам коллинеарен и вектор М!Мг!. х2 — х! У2 У! 22 х! 1! т! и! хг — х! Уг — У! 1! т! 12 тг 32 2! и! (5.16) нг Условие (5.16) выполняется в трех случаях из четырех, поскольку при 11 ~4 0 прямые не принадлежат одной плоскости и потому скрещиваются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
