Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 15
Текст из файла (страница 15)
3.5. Окружность радиуса а катится без скольжения по оси абсцисс в ее положительном направлении, вращаясь с угловой скоростью 1рад/с. В момент времени 1= 0 точка М окружности совпадает с началом системы координат. Доказать, что эта точка движется по никлонде х = а(1 — я1п $), у = а(1 — сов|). Построить эту кривую. 3.6. Нарисовать на плоскости кривую, по которой движется точка с коордипатамн х = ьйп1, у = е1пз1. Прокомментировать зто движение точки.
3,7. Доказать, что множество точек на плоскости, произведение расстояний от которых до точек г) (-а; 0), гз(0; а) есть величина постоянная, равная а~, представляет собой кривую (лемнискапгу), которая описывается уравнением (хз+ у~)~ = = 2а~(хз — уз). Записать уравнение этой кривой в полярной системе координат и построить кривую. 3.8. Что представляют собой множества точек в пространстве, равноудаленных от точек: а) А(0;0; — 10), В(0;0;10); б) А(1;1;0), В(-1; — 1;0); в) А(1;2;3), В(-1;-2;-3)7 Построить соответствующие геометрические образы и найти их уравнения. 3.9. Найти координаты центра масс системы четырех материальных точек одинаковой массы тл, расположенных на плоскости, если даны их координаты (5; 9), (1; — 7), (-4; -8), (2; 2), 3.10.
Найти объем четырехугольной пирамиды БАВСР, если в ее основании лежит параллелограмм АВСР и известны координаты вершин Я( — 5; 1;9), А(1;3;-7), В( — 4; -2;8), Вопросм и задаче С(-2;1;2). Чему равна высота этой пирамиды, опущенная из вершины Я? 3.11. Луч света, исходящий из точки А(-2;4) в сторону оси абсцисс, после зеркального отражения от этой оси прошел через точку В(4;12). Найти координаты точки отражения н точки пересечения луча с осью ординат. 3,12.
Найти угол, под которым из начала прямоугольной системы координат виден отрезок, соединяющий точки В(4;10; 8) и С(2; 2;2). 3.13. Доказать, что два ортонормированных базиса в пространстве, имеющих одинаковую ориентацию, можно совместить друг с другом при помощи поворота вокруг некоторой оси.
Найти вектор, задающий направление этой осн, и угол поворота,. 3.14. Найти координаты центра масс треугольника с вершинами А(-1; 7; 4), В(13; 5; 2), С(7; -1; -4), если масса треугольника равномерно распределена по его площади. 3.15. На плоскости расположены три точки А(1+1;3 — 1), В(3 — й;6+21) и С(-1+1;1). Выяснить, при каких значениях параметра 1 иэ точки А не видна точка С. 3.18. Доказать, что в полярной системе координат расстояние между точками М~(р~, у~) и Мэ(рэ, уэ) вычисляется по формуле 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 4,1. Алгебраические кривые первого порядка Остановимся на изучении алгебраических кривых первого порядка на плоскости, т.е. кривых, которые в заданной прямоугольной системе коордннащ описываются алгебраическим уравнением первого порядка ах+ Ьу+ с = О, где хотя бы один из козффициентов а или Ь отличен от нуля'. Это уравнение называют также линейным уравнением.
Теорема 4.1. Любая прямая на плоскости представляет собой алгебраическую кривую первого порядка и любая алгебраическая кривая первого порядка на плоскости есть прямая. 4 Рассмотрим произвольную прямую Ь на плоскости. Пусть точка МО(хе,уе) лежит на Ь, а ненулевой векпюр и = 1а; Ь) перпендикулярен этой прямой.
При таких исходных условиях произвольная точка М(х;у) принадлежит прямой Ь тогда и только тогда, когда вектор МОЬ1 ортогонаяен вектору и (рис. 4.1). Зная координаты векторов МО ляа = л = (х — хе,. у — уе) и и, запишем условие ортогональности этих векторов через 90' их скалярное произведение: а(х — хе) + +Ь(у — уе) = О или ах+ Ьу+с= О, где ~0 с = -ахе — Ьуе Так как п уй О, то либо а~О, либо Ь~О.
Первое утверждение теоремы доказано. 1 условие, что коэффициенты а и Ь одновременно ие обращввэтсв в нуль, коротко иоино эанисать так: а +Ь~ ус О. 105 я. Ь Алгебрвические кривые первого лорлялл Для доказательства второго рассмотрим произвольное уравнение первого порядка с двумя неизвестными ах+ Ьу+ с = О, аз+ Ьз ф О. Это уравнение имеет хотя бы одно решение. Например, если а ф О, то решением уравнения является х = -с/а, у = О, Это значит, что геометрический образ уравнения является не- пустым и содержит какие-то точки. Пусть точка Ме(хе,уе) принадлежит указанному образу, т.е. выполняется равенство ахо+ Ьуе+ с = О. Вычтем это равенство из рассматриваемого уравнения. В результате получим новое уравнение, эквивалентное исходному.
Это новое уравнение после группяровки слагаемых примет вид а(х — ха) + Ь(у — уе) = О. (4.1) Нетрудно увядеть, что полученное уравнение представляет собой условие ортогональностн векторов и = (а;6) и МеМ, где М вЂ” зто точка с координатами (х; у). Следовательно, если точка М(х; у) принадлежит геометрическому образу уравнения ах+ 6у+с = О, то вектор п ортогонален вектору Мел4, т.е. точка М лежит на прямая, проходящей через точку Ме перпендикулярно вектору и. ~ Определение 4.1. Уравнение вида ах+ 6у+ с = О, аз+ Ь~ ф О, (4.2) называют общим уравнением прямой. Из доказательства теоремы 4,1 следует, что коэффициенты а я Ь в общем уравнении прямой имеют простой геометрический смысл.
Это координаты вектора, перпендикулярного прямой. Такой вектор называют иормальиььм веиилором прямой. Он, как и общее уравнение прямой, определяется с точностью до (ненулевого) числового множителя. Пусть прямая Ь задана уравнением (4.2). Если точка Мо(хо, уе) лежит на, прямой 1, то ее координаты удовлетворяют 106 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ уравнению (4 2), т е. ахо+ 6уо+ с = О. В любой точке М~(х1, ут), не лежащей на прямой Ь, значение левой части уравнения (4.2) равно ах1+ 6у~ + с = ах, + бу, — ахо — 6уо = = а(хт — хо) + 6(У1 — Уо) = езМоМ) ~ О. Знак скалярного произведения езМоХ~~ определяется углом между вектором МоМ~~ и нормальным вектором прямой тв.
Если точки Мз и Мз расположены по одну сторону от прямой Ь (рис. 4.2, а), то, подставив их координаты в левую часть уравнения (4.2), мы получим значения с одним знаком. Если такая подстановка координат точек М1 и Мз приводит к значениям с разными знаками, то эти точкн лежат по разные стороны от прямой Ь (рис. 4.2, 6). Рис. 4.2 Пример 4.1. Выясним, как по отношению к прямой Зх — 4у+5 = 0 расположены точки А(4;4) и В(6;6). Подставив координаты точки А в левую часть общего уравнения прямой, получим положительное число 1, а подстановка координат точки В приводит к отрицательному числу -1.
Значит, точки А и В расположены по разные стороны от данной прямой. ф 4.3. Специааьеые виды уравнение лраыой 107 Уравнение (4.1) очень полезно при решении задач. Оно позволяет по координатам точки на прямой Ь и координатам нормального вектора прямой Ь записать уравнение прямой без промежуточных вычислений.
4.2. Специальные виды уравнении примой Кроме общего уравнения прямой на плоскости часто используют и другие уравнения прямой. Это связано с тем, что, в зависимости от геометрического описания прямой на плоскости, ее уравнение может быть получено в некотором специальном виде. Кроме того, каждому виду уравнения соответствует свой геометрический смысл его коэффициентов, что также важно. Фиксируем на плоскости прямоугольнуи систему координат Оху. Ъ'равнение с угловым коэффициентом, Определим прямую Ь на плоскости, задав точку Мо(яо,уе) на этой прямой и угол ~р, на который надо повернуть против хода часовой стрелки ось абсцисс Ох до совмещения с прямой (рис. 4.3). Предположим, что ~р ф к/2. Точка М(к; у) принадлежит прямой Ь тогда и только тогда, когда вектор Мой составляет с осью Ох угол ~р или к — 1р, при этом отношение координат этого вектора равно с~у.
Это условие можно записать в виде — = сбР. У вЂ” Уо Рис. 4.3 Находя у, приходим к уравнению у= йк+Ь, (4.3) где й = С~у; 6 = уо — хе 1Н р. 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Уравнение вида у = йх+ 6 называют уравнением прямой с угловым коэффициентом.
Параметр Й (угловой коэффициент прямой) равен тангенсу угла наклона прямой. Параметр 6 равен ордвнате гаечки пересечения прямой с осью Оу. Векторное н параметрические уравнения прямой. Определим прямую Ь на плоскости точкой Мо(хо., уо) на этой прямой и пемулевы.м вектором з = (1; т), параллельным ей (рис. 4.4). Такой вектор з называют каиравллюи4им вектором ирлмой Ь. Если точка М(х;у) принадлежит прямой Ь, то это эквивалентно тому, что вектор Моле коллинеарен вектору з, т.е. эти векторы принадлежат одному и Ь тому же пространству У1.
Так Мо как вектор з не равен нулевому, он образует базис в этом прострз,нстве У~. Следовательно, М для некоторого числа, 6 выполРис. 4.4 няется рз,венство МоМ = М. Воспользовавшись тем, что МоМ = (х — хо, 'у — уо), з = = (1; т), запишем это равенство в координатах: < хо — Н1 у — уо=т~ нли Е х = хо+И, у=уо+тФ. (4.4) Уравнения (4.4) называют параметрическими уравнениями прлмой. Точка, М(хо,уо), лежащая на прямой, соответствует значению параметра 6 = О. Если равенство Мой = М записать через радиус-векторы го и г точек Мо и М соответственно, то в результате получим 100 4.2.
Специальные аиды уравнении праной ве«тпор«ое уровне«ие прлмоп т' — го = ьз, или г = т'о+те. (4.5) х — хо у — уо (4.6) Уравнение (4.6) называют «а«о«ичес«им уров«е«нем пр»- мо6. Это уравнение можно также получить, исключив из параметрических уравнений (4.4) параметр 1. Уравнение прямой, проходящей через две точки. Зададим прямую Ь на плоскости двумя различными точками Мт(х,,ут) и Мз(хз, ут) иа ней. Тогда вектор МтМ2 параллелен Ь и ее каноническое уравнение (4.6) как уравнение прямой, проходящей через точку Мт(хт, Ут), с напРавллюшим вектоРом з = МтМзт, имеет виД х — хт у- ут хт — хт ут — у1 (4.7) Уравнение (4.7) называют уравнением прямой, проход»олен через две «зоч«и.
Уравнение прямой в отрезках. Определим прямую Ь ее точками А(а, 0) и В(0, о) пересечения с осями координат, предполагал, что зти две точки не совпадают с качо»ем сисотемы координат, т.е. что е ~ 0 и й 7й 0 (рис. 4.5). Записывая уравнение прямой Ь в виде (4.7) по двум ее точкам А и В, получаем х — а у — 0 0 — а о — 0 Каноническое уравнение прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
