Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Следовательно, вершины В и С расположены по одну сторону прямой с выбранным уравнением, а потому уравнением биссектрисы является (3 + 25/~/266) х + (-4 — 5/ч/266) у+ (-9+ 10/~/266) = О. Вопросы и задачи 4.1. Найти общее уравнение прямой: а) проходящей через начало системы координат; б) параллельной оси абсцисс (ординат). 4.2. Выяснить расположение точек А(2; — 1), В(8;19) и С(7; 17) относительно прямой х = 1+С, у = -2+ЗС. 4.3. Найти точку пересечения прямых х = 2+ С, у = — 4 — 2С и Зх+ 5у — 7 = О.
4.4. Найти координаты точки, симметричной точке А(3; 7) относительно прямой: а) х =-2 — С, у=4+С; б) 2х — 5у+5= 0. 4.6. Найти координаты точки пересечения высот треугольника с вершинами в точках А(3; -4), В(-5; 10) и С(6; 4). 4.6. Луч света, вышедший из точки А(1;4), прошел на одинаковом расстоянии от точек В(-2;6) и С(7;3). Найти уравнение его траектории. 118 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ 4.Т.
Найти уравнения сторон параллелограмма АВСс1, если известны координаты его двух вершин А(-1; -2), В(3; -4) и точки М(0; 1) пересечения диагоналей. 4.8. Прямая, проходящая через точку М(1; 4) и не проходящая через начало системы координат, отсекает от первой четверти координатной плоскости треугольник минимальной площади. Найти ее уравнение, 4.9. Найти уравнение прямой, которзл касается окружности радиуса 2 с пентром в начале системы координат и проходит через точку М(3; 1). 4.10. Найти расстояние между прямыми: а) х = — 2+$, у = = 3+ 21 и 2х — у+ 8 = 0; б) х = 2 — 31, у = 1+ 1 и 2х + у+ 3 = О. 4.11. Найти координаты вершин квадрата по уравнению одной из его сторон Зх — 4у+ 20 = 0 и точке М(-3; 4) пересечения его диагоналей. 4.12.
Найти угол между медианой и высотой треугольника АВС, выходящими из вершины А(1; -5), если известны координаты точки М(2; 1) пересечения его медиан и вершины В(5; 0). 4.13. Найти уравнение множества точек на плоскости, которые удалены от прямой (х — 2)/3 = (у+ 1)4 в два раза дальше, чем от прямой х =1 — 121, у =5+51. 4.14. Доказать, что медианы (высоты, биссектрисы) треугольника пересекаются в одной точке, 4.18.
Найти площадь треугольника, если известны координаты его двух вершин А(1; 6), В(3; 8) и точки пересечения: а) медиан М(4; -4); б) высот Н(5; 0). 5. ПРЯМАЯ И ПЛОСКОСТЬ В ПРОСТРАНСТВЕ 5.1. Алгебраические поверхности первого порядка Уравнение первого порядка с тремя неизвестными имеет вид Ах+ Ву+ Сг+ В = О, причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля. Оно задает в пространстве в прямоугольной системе координат Окуз алгебраическую поверхность первого порядка. Свойства алгебраической поверхности первого порядка во многом аналогичны свойствам прямой на плоскости — геометрическому образу уравнения первого порядка с двумя неизвестными.
Теорема 5.1. Любая плоскость в пространстве является поверхностью первого порядка и любая поверхность первого порядка в пространстве есть плоскость. < Как утверждение теоремы, так и ее доказательство аналогичны теореме 4.1. Действительно, пусть плоскость к задана своей точкой Мо и ненулевым вектором п, который ей перпендикулярен. Тогда множество всех точек в пространстве разбивается на три подмножества. Первое состоит из точек, принадлежащих плоскости, а два других — из точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости. Какому из зтих множеств принадлежит произвольная точка М пространства, зависит от знака скалярного произведения пМеЛ$.
Если точка М принадлежит плоскости 1рис. 5.1, а), то угол между векторами п и Мой~ прямой, и позтому, согласно теореме 2.1, 120 их скалярное произведение равно нулю: тьМоМ = О. (5.1) Мз б Рис, 6.1 Если же точка М не принадлежит плоскости, то угол между векторами и и МоХ~ острый или тупой, и поэтому еМоМ ) О или тьМоХ~ ( О соответственно (см. доказательство теоремы 2.1), причем знак этого скалярного произведения один и тот же для всех точек, расположенных по одну сторону от плоскости (рис. 5.1, б).
Обозначим координаты точек Мо, М и вектора в через (хо, 'уо, 'хо), (х; у; х) и (А; В; С) соответственно. Так как МоЛя" = = (х — хо, 'у — уо,' х — хо1, то, записывал скалярное произведение из (5.1) в координатной форме (2.9) как сумму попарных произведений одноименных координат векторов и и МоА~, получаем условие принадлежности точки М рассматриваемой плоскости в виде (5.2) А(х — хо) + В(у — уо) +С(х- го) = О. Раскрытие скобок дает уравнение Ах+ Ву+ Сх+ Р = О, (5.3) где Р = -Ахо — Вуо — Схо и хотя бы один из коэффициентов А, В, или С отличен от нуля, так как вектор та = (А;В; С1 Л.1. Авгебрвические поверхности первого порвдкв 121 ненулевой. Это означает, что плоскость является геометрическим образом уравнения (5.3), т.е. алгебраической поверхностью первого порядка. Проведя изложенное доказательство первого утверждения теоремы в обратном порядке, мы докажем, что геометрическим образом уравнения Ах+ Ву+ С«+ Р = О, Аз+ В«+ С« ф О, является плоскость.
Выберем три числа (х = хо~ у = уо, « = «о), удовлетворяющих этому уравнению. Такие числа существуют. Например, при А ф О можно положить уо = О, «о = О и тогда хо = -Р1А. Выбранным числам соответствует точка Мо(хо; уо; «о), принадлежащая геометрическому образу заданного уравнения. Из равенства Ахи+ Вуо+ С«о+ Р = О следует, что Р = — Ахо — Вуо — С«о. Подставляя это выражение в рассматриваемое уравнение, получаем Ах + Ву+ С« — Ахо — Вуо — С«о = О, что равносильно (5.2).
Равенство (5.2) можно рассматривать как критперий ортпогоиплъиостпи вектпоров тх = (А; В; С) и МоХ~, где точка М имеет координаты (х; у; «). Этот критерий выполнен для точек плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно вектору ~ = (А; В;С), и не выполнен для остальных точек пространства. Значит, уравнение (5.2) есть уравнение указанной плоскости. ~ Уравнение Ах+ Ву+С«+ Р = О называют обнаам уравнением тт воскоскти, Коэффициенты А, В, С при неизвестных в этом уравнении имеют наглядный геометрический смысл: вектор и = (А; В; С) перпендикулярен плоскости. Его называют нормальным вектпором илоскости. По известным координатам точки, принадлежащей некоторой плоскости, и ненулевого вектора, перпендикулярного ей, с помощью (5.2) уравнение плоскости записывается без каких— либо вычислений.
122 а пРЯМлЯ И плоскость В ПРОСтрлНСтвК Пример 5.1. Найдем общее уравнение плоскости, перпендикулярной радиус-вектору точки А(2;5; 7) и проходящей через точку Мо(3; -4; 1). Поскольку ненулевой вектор ОА = (2; 5; 7) перпендикулярен искомой плоскости, то ее уравнение типа (5.2) имеет вид 2(х — 3) + 5(у+ 4) + 7(» — 1) = О.
Раскрывая скобки, получаем искомое общее уравнение плоско- сти 2х + 5у+ 7»+ 7 = О. 5.2. Специальные виды уравнения плоскости Векторное и параметрические уравнения плоскости. Пусть го и г — радиус-векторы точек Мо и М соответственно. Тогда МвМ вЂ” — г — го, и условие (5.1) принадлежности точки М плоскости, проходящей через точку Мо перпендикулярно ненулевому вектору о (рис. 5.2, а), можно записать с помощью скаллрноео произведения в виде соотношения а(г — гв) = О, (5А) которое называют вектпормым уравнением плоскостпи. о Рис.
5.2 Фиксированной плоскости в пространстве соответствует множество параллельных ей векторов, т.е. оросгаранстиво Кз. а 2. Специальные виды уравнении плоскости 123 Выберем в этом пространстве базис еыег, т.е. пару неколлинеарных векторов, параллельных рассматриваемой плоскости, и точку Мо на плоскости. Если точка М принадлежит плоскости, то это эквивалентно тому, что ей параллелен вектор Моле (рис. 5.2, б), т.е. он принадлежит указанному пространству Уг. Это означает, что существует разложение вектвора Мола в базисе ет,ег, т.е. существуют такие числа 11 и 12, для которых 1Ю = 1т от + тгег Записав левую часть этого уравнения через радиус-векторы го и г точек Мо и М соответственно, получаем вектворное паралтетирическое уравнение плоскостви и = го+ 1тет+ 1гег, 1т,гг Е К.
(5.5) Чтобы перейти от равенства векторов в (5.5) к равенству их кооРдинат, обозначим чеРез (хо1Уо, го), (х; У; 2) кооРдинаты таочек Мо, М и через (ет ', е1т, еге), 1ег, ег„, ег,) координаты векторов ет, ег. Приравнивая одноименные координаты векторов т и го+1гет + 1гег, получаем паралтетврические уравнениа плоскостви х = хо+1теьт+ Цгег„ у = уо+11ет„+1гегт, г = го+1теы+1гег,. Плоскость, проходящая через три точки. Предположим, что три точки Мы Мг и Мз не лежат на одной прямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
