Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 12
Текст из файла (страница 12)
На плоскости отсутствует ось аппликат, на прямой также нет оси ординат. координатпные плоскоспви — плоскости, определяемые парами векторов репера. Понятие используется для декартовой системы координат в пространстве; радиус-вектпор точки М вЂ” вектор ОМ, соединяющий начало координат О с этой точкой. Декартову систему координат общего вида часто называют косоугольной сиспвемоб координавп.
Если репер декартовой системы координат является орпвонормированным базисом, то такую систему координат называют декартпоеоб прямоугольной сиепвемой координата, или просто прлмоуголъноб систпемо6 координатп, а декартовы координаты точки — ее прлмоуголъными координапвами. Далее будем использовать в основном прямоугольные системы координат, т.е. будем предполагать, что репер предста- а сиСГемы кООРдиНАТ 80 вляет собой ортонормированный базис, причем обязательно правый. Отметим, что базис в Уэ (т.е. на плоскости) называют краеььм (левььк), если первый его вектор совмещается со вторым с помощью кратчайшего поворота против хода (по ходу) часовой стрелки, Итак, под систвемоб коордккокэ подразумевается прямоугольная система координат с правым базисом, а под коордикокэами тпочки — ее прямоугольные координаты.
Использование других систем координат будет обязательно оговариваться. Для обозначения декартовых систем координат, например в пространстве, будем использовать обозначения типа Оэук, где Π— начало системы координат, а э, у, и ортонормированный репер (базис), или Охух (1], где указаны обозначения для координатных осей. 3,2. Преобразование прямоугольных координат Все прямоугольные сисглемы координат в изучаемом пространстве, вообще говоря, равноправны, т.е.
выбор одной иэ них ничуть не хуже (и не лучше) выбора другой. Те или иные предпочтения отдают исходя из особенностей конкретной задачи. Использование различных систем координат ставит задачу преобразования коордвваго щочки, т.е. задачу вычисления ее координат в одной системе координат по ее координатам в другой системе. Пусть Оэуй — некоторая прямоугольная система координат в пространстве, которую мы условно назовем старой, а О'э'у'к' — вторая прямоугольная система координат, которую будем называть новой (рис.
3.1). Считаем, что известны координаты точки О'(Ь|, 'Ьэ, 'Ьэ) и векгворов ! / = (о11) оэп о31~~ у = (о12~ о221озэ)~ й — (о13~ оэз~ озэ~ в старой системе координат. Пусть для точки М известны ее координаты (х;у;э) в старой и координаты (х',р';э') в 81 3.2. Преобразование лрвмоугоаьиых координат новой системах координат. Это значит, что выполняются два равенства О'М = х'ао +у'2'+ «'й' ОХ~ = хй+ уз'+ гй. (3.1) Рис. 3.1 — -+ — Ф Векторы ОМ и 0'М связаны соотношением ОМ = 00'+ + 0'М, причем координаты вектора 00' являются также координатами качала координат 0' новой системы координат относительно старой, т,е. 00" = Ь1 г+ Ь22 + Ьзй.
поэтому Ой1 = 00'+ 0 М = Ь11+ Ьд'+ Ьзй+ х 22+ у'2'+ х'й' = = Ь11+Ь22+Ьзй+ + х (ехий+ о212+ оз1й) + + У'(о1 2й+ ех222'+ оззй) + + х (о13а+ о232 + схззй) = = (сх11х +ех12У +а133 +Ь1)й+' + (о21х + озву + оззх + Ь2)2 + + (ехз1х + схззу'+ схззх + Ьз) й, (3.2) 82 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ т.е. получено разложение вектора ОЛ21 в репере старой системы координат. Опо должно совпадать с (З.Ц в силу единственности координат вектора в одном и том же базисе. Приравнивая соответствующие коэффипиенпгы разложений в (3.1) и (3.2), получаем * = оых + о1гу + о1зг'+ 6ы У = оггх'+ оггу'+ огзг'+ 6г г = озгх'+озгу +оззз'+ 6з.
(З.З) Соотношения (З.З), выражающие старые координаты через новые, представляют собой систиау трех линейных уравнений относительно неизвестных х', у', г'. Чтобы найти новые координаты х', у', г' по известным старым, необходимо решить эту систему относительно новых координат. Система (З.З) при любых х, у, г имеет единственное решение, поскольку ее определитель отличен от нуля. Это следует из того, что выполнены равенства ОЫ ОШ О12 ог1 о22 о23 оз1 аз 2 озз О11 О21 ОЗ1 огг огг озг О1З Огэ ОЗЗ х = х'+ Ь1, у=у'+Ь„ = '+Ь. (3.4) так как векторы г', у', к' образуют правый ортонор.нироеанный базис и объем построенного на них параллелепипеда равен 1 (или -1 в случае левого базиса). Набор коэффициентов ог в системе (З.З) отражает положение репера новой системы координат, а свободные члены 61, Ьг, 6з характеризуют изменение начала координат.
Если репер системы координат не изменился, а поменялось лишь начало координат, то формулы преобразования выглядят более просто: 83 3.2. Преобразование нрхноугоаьных ноордннат Преобразование (3.4) называют параллельным переносом системы «оординатп в пространспъве на вектор 00'. Все вышеизложенное относится к прямоугольной системе координат в пространстве. Прямоугольная система координат на плоскости отличается от пространственной лишь тем, что репер состоит из двух векторов, а точки имеют всего две координаты. Преобразование системы координат на плоскости описывается уравнениями х = оп х'+ о12 у'+ 61, Д = о21х + о22Д + 62, (3.5) где (о1;,.о2;), 1 = 1,2, — координаты векторов Г, у' нового репера относительно старого (я,у), а (61,62) — координаты точки 0' начала новой системы координат в старой системе координат.
Преобразование параллельного переноса системы «оординатп на плоскостпи выглядит так: х = х'+6м у=у'+6,. х = оых + о12у, а l а Р У= о21х +о22У. (3.6) Здесь возможны два случая. В первом из них новый репер может быть получен из старого поворотом последнего на некоторый угол у вокруг общего начала систем координат, причем полагают, что ~р > 0 (<р(О) при повороте против хода (по ходу) часовой стрелки. В этом случае преобразование (3.6) называют поворотном системы координата на плоскостпи на Если начала новой и старой систем координат на плоскости совпадают, а изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют вид: 84 В. СИСТЕМЫ КООРДИНА Т угол у. Нетрудно убедиться, что координаты векторов Г и у' новой го репера относительно старого выl 1О х' ражаются через угол поворота у1: У вч = (сов ~О; 81п ~р), у' = (- 818 1р; сов уО) о 1 х (рис.
3.2). Зная координаты векторов нового репера относительно старого, мы можем записать уравнения для поворота системы координат на плоскости: х = х сов 1р — у 81п д, ! / У = Х 81П 1Р+ У'СО81О. (3.7) Если преобразование состоит в последовательном выполнении поворота и параллельного переноса, то оно имеет вид; х = х~со81Π— у~8181р+ 61, у = х'81п ~7+ у сезар+ 68. (3.8) Система (3.8) легко решается относительно х', у', и обратное преобразование координат, отражающее переход от новой сис- темы координат к старой, будет иметь вид: Х = Хсов~О+ув!ПРО+61, У = -х81п Р+Усовф+ бв, где 6' = 61сов~о+ 6881п~о, 6' = — 6181пд+бгсо81р.
Как видим, старая система координат получается из новой с помощью поворота на тот же угол 1р, но в противоположную сторону (на угол — у в положительном направлении), и параллельного переноса (на вектор 04). Во втором случае с помощью поворота старого репера вокруг начала координат на некоторый угол ~р можно совместить лишь векторы 8 и 8', но при этом векторы 3 и ут окажутся противоположными и для их совмещения потребуется выполнение преобразования зеркального отражения плоскости относительно первой оси координат.
З.З. Простейшие задачи аиалитичесиой геометрии 85 В первом случае о двух реперах на плоскости говорят, что они имеют одккоковую ориентпвцию, а во втором— пропзиеополозкную. Аналогичную терминологию используют и для пространства. Если начало новой и старой прямоугольных систем координат в пространстве совпадают и изменяется лишь репер системы координат, то формулы преобразования координат имеют внд: Х = О11Х + О12Н + О13Х, 1 Ф Д = О21Х + О22Н + О233 1 О31Х + О32У + ОЗЗХ " (3.9) З.З. Простейшие задачи аналитической геометрии рассмотрим некоторые задачи аналитической геометрии, связанные со взаимным расположением точек на плоскости или в пространстве. Преобразование (3.9) называют поворопзом сиспземы коордикопз в проспзракспзве, если реперы новой и старой систем координат имеют одинаковую ориентацию, т.е.
являются оба правыми нли левыми. Как и в случае плоскости, это связано с тем, что реперы с одинаковой ориентацией можно совмещать с помощью поворотов. Например, можно сначала совместить ВЕКТОРЫ й И еч С ПОМОЩЬЮ ПОВОРОта СтаРОГО РЕПЕРа ВОКРУГ ВЕК- тора ахи, а затем выполнить второй поворот вокруг вектора 2' для совмещения повернутого вектора у с вектором 3'. При зтом векторы Й и Й' автоматически совпадут для реперов одной ориентации и будут противоположными для реперов противоположной ориентации. В последнем варианте требуется, как и в случае плоскости, выполнение дополнительного преобразования зеркального отражения (относительно координатной плоскости, определяемой векторами 2' и Зч).
86 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ Векторы и точки. Задача состоит в том, чтобы выразить координаты вектора через координаты точен его начала и нонна. Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат и вектор АХ1 с координатами (1; т;п1, у которого известны координаты точек его начала А(х„; у„; хв) и конча В(хь; уь; хь). Обозначим через О начало системы координат. Тогда координаты точек А и В представляют собой координаты их радиус-векторов ОМ и О.В.
Следовательно, 04 — ОА = = (хь — х„; уь — у„; хь — г,) и из соотношения Ай) = 04 — ОА заключаем, что (11 т; н1 = (хь — ха, уь — уа, 'гь — ха), тль 1=хь — х„т=уь — у„о=хь — х,. (3.10) В случае прямоугольной системы координат на плоскости координаты вектора Ах1 = (1;т1 на этой плоскости и координаты точек его начала А(х,; у,) и конца В(хь, уь) связаны аналогичными соотношениями (3.11) 1 = хь — х„т = уь — у,. Из (3.10) н (3.11) вытекают правила; — координаты вектора получают вычитанием из координат его конца координат его начала; — координаты конца вектора получают сложением координат вектора с координатами его начала; — координаты начала вектора получают вычитанием из координат его конца координат вектора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
