Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Для того чтобы два вектора были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы их скалярное произведение равнялось нулю. й Согласно определению 2.1, скалярное произведение ненулевых векторов а и Ь равно ~а~ )Ь|сов~р. Поэтому его знак определяется углом у между векторами а и Ь: — угол ~р острый: аЬ > 0; — угол у тупой: аЬ(0; — угол у прямой: аЬ= О. Мы видим, что два ненулевых вектора ортогональны тогда и только тогда, когда угол между ними прямой.
Если один из векторов является нулевым, то скалярное произведение также равно нулю. При этом угол между векторами не определен, 51 2.2. Скалярное оронаяеденне но, как уже было отмечено, считают, что нулевой вектор ортогонален любому другому. > Скалярное произведение имеет следующие свойства. 1'. Скалярное произведение коммутативно: аЬ = Ьа. ~ Свойство непосредственно вытекает из определения 2.1, так как скалярное произведение не зависит от порядка сомножителей. ~ 2'.
Совместно с умножением на число операция скалярного умножения ассоциативна: (Ла)Ь = Л(аЬ). ~ Если Ь = Π— нулевой вектор, то обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же Ь ф О, то, используя выражение скалярного произведения через ортогональную проекцию вектора на направление вектора Ь и утверждение теоремы 1.2, получаем (Ла)Ь = Ь(Ла) = /Ь! прь(Ла) = Л ~Ь| прьа = Л(аЬ). 3'. Скалярное умножение и сложение векторов связаны свойством дистрибутивности: (а+ Ь)с= ас+ Ьс.
я Доказательство аналогично предыдущему. При с=О обе части доказываемого равенства равны нулю. Если же с ф О, то удобно выразить скалярное произведение через ортогональные проекции векторов на направление вектора с. Используя теорему 1.2, находим (а+ Ь)с = ~с~ про(а+ Ь) = ~с~ (прса+ прсЬ) = = )с) прса+ ~с~ пр Ь = ас+ Ьс. Величину аа называют сяаллряым явадраязом веяязора а и обозначают аз. 4'. Свойство скалярного квадрата: аз ) О, причем аз = О только при а = О.
52 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ М Действительно, а = аа= )аЙа)соеО = )а) . Поскольку квадрат длины вектора — всегда неотрицательное число, то неравенство а~ > 0 выполнено всегда. Равенство аз = 0 эквивалентно соотношению ~а~ = О, т.е. тому, что а— нулевой вектор.
° Замечание 2.1. Свойства 2'-3' часто объединяют в свойство лннейностпи сналлрноео проиэееоеннл относительно первого сомножителя, Благодаря коммутативности скалярного произведения (свойству 1') скалярное произведение линейно и по второму сомножителю. Действительно, а(ЛЬ) = (ЛЬ)а = Л(Ьа) = Л(аЬ), а(Ь+ с) = (Ь + с) а = Ьа + са = аЬ + ас. Свойства скалярного произведения часто используют при решении задач. Пример 2.4.
Найдем длину нектора а = Зс — 2с1 при условии, что ~с~ = 5, ф = 4, а угол ~Р между векторами с и д равен 60'. Поскольку ~а~ = ~/оаа, то, вычисляя скалярный квадрат вектора а, находим, что аа = (Зс — 2(1)(Зс — 2с1) = = 9сс — 12Ы+ 4сЫ = 9 (с~~ — 12)с~ф соь~р + 4 ф = 9 ° 25 — 12 5 . 4 0,5+ 4 - 16 = 225 — 120 + 64 = 169. Следовательно, ~а~ =,/аа = 13. Пример 2.5. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 120', а длина стороны АС в три раза больше расстояния между вершинами А и В.
Найдем острый угол у между стороной ВС и медианой АМ треугольника. 53 2.2. Скверное произведение Угол у между стороной в ВС и медианой АМ (рис. 2.1) М равен углу между векторами ыо' ВС и АЛг. Согласно опреде- л с нению 2.1 скалярного произ- Рис. 2.1 ведения, косинус угла выражается через скалярное произведение этих векторов и их длины с помощью формулы АМ. ВС Пусть (АВ~ = а. Тогда )АС) = За, и поскольку В7.' = АС вЂ” АМ, то Л$ = АВ+ ВЬ~ = ЛЯ+0,5ВС = 0,5(Ж~+ Лй) и поэтому АМ ВС= 0,5(АВ+АС)(АС-АВ) = 0 5(~Щг ~АЯ~г) 0 5(даг аг) лаг Вычислив длины векторов Айг и ВС: )АЮ)= еАн Ап=0,5 = 0,5 = 0,5в~/7, = 0,5 ~во~=в'во вв'= = ~/0аг — 6агсоа120е+ аг = в~/ГЗ, 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ найдем, что 4вэ 8 О,бв~/7в~/ГЗ ~Г7~/Б и поскольку <р б (О, я /2), то Ьь = агссое(8/~/91). № Пусть векторы а и Ь из Ъэ заданы своими «оордпиатвами в ортонорльироеаниоль бпвосе ь, у, Й: и = (ха, 'уа; га)~ = (хЬ; УЬ; гь). Это означает, что имеются разложения а=х,4+у,у'+г,й, Ь=хьь+уьу+гьй, Используя их и свойства 1' — 4' скалярного произведения, вычислим аЬ= (х 4+у,у+ г~й)(хьь+ уьу+ гьй) = Хяхььг+ ХауьЬУ + ХагЬФЙ+ + УОХЬуь+ УОУЬЙ+ Уа гЬ3 Й+ + г хьйй+ гауьйу + гагьйй = =х хьь +у,уьу +г,гьй =х хь+у уь+гвгь. 2 2 2 Окончательный ответ получен с учетом того, что ортонормированность базиса ь, у, Й означает выполнение равенств ьу = ъй = уй = О, ьь =,уу = йй = 1.
Таким образом, (2.9) аЬ = х,хь+ у уь+ г,гь~ т.е. скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе равно сумме попарных произведений одноименных координат. Из теоремы 2.1 и формулы (2.9) получаем следующий «ригпериб ортпогомоль«остпи ее«пьорое а и Ь: (2.10) хахь + Уауь + галь — О Вспомним, что, согласно определению 2.1 скалярного произведения, аЬ = |а| |Ь! сезар, 2.2. Смаляриое произаеление где у = (а,Ь) — угол между векторами а и Ь. Зная, как выражается скалярное произведение и длины векторов через их координаты в ортонормированном базисе, можно вычислить и косинус угла между ненулевыми векторами.
Действительно, исходя иэ формулы аЬ сову = —, 1ььИЬ! ' получаем хань + Уауь + 4вхь сов ~рв (2.11) Рзр +рРзР +э' В случае, когда а,Ь Е $"2 и известны координаты этих векторов в ортонормированном базисе ь, 2: Ь = хьй+ уьу о = хай+ уа3) справедливы формулы, аналогичные (2.9) — (2.11): для вычисле- ния скалярного произведения (2.12) аЬ = х.хь+ у.уь для критерия ортогональности хахь + уауь 0 и для косинуса угла между ненулевыми векторами а, Ь сов(а,Ь) = хахь + Уауь / х2+У2 / 2+уз' Пример 2.6.
Найдем значения параметра 2, при которых векторы а = 1ь; 1 — $; 7) и Ь = (1+1;2; -2), заданные своими координатами в ортонормированном базисе, ортогональны. Используя критерий (2.10) ортогональности векторов, получаем уравнение Ь(1+ 1) + 2(1 — Ь) — 14 = О относительно параметра 2. Решая это квадратное уравнение, находим, что лишь при Ф = -3 и $ = 4 данные векторы ортогональиы.
2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.3. Векторное произведение Векторное произведение вводится для двух веящоров из Уз. Оно опирается на следующее понятие. Определение 2.2. Упорядоченную тройку некомпланарных векторов а,Ь,с называют нравот3, если направление вектора а совмещается с направлением вектора Ь при помощи кратчайшего поворота вектора а в плоскости этих векторов, который со стороны вектора с совершается против хода часовой стрелки.
В противном случае (поворот по ходу часовой стрелки) эту тройку называют левой. Так как три некомпланарных вектора образуют бвзис в Уз, то также говорят о яровых и левых базнсах. Каждый базис является либо правым, либо левым, т.е. все базисы в Уз разделяются на два класса: класс правых базисов и класс левых базисов. Класс, к которому относится фиксированный базис, называют его ориентпацией. Определение 2.3. Зеятпорным произведением векторов а и Ь называют такой вектор с, который удовлетворяет следующим трем условиям.
1. Вектор с ортвогонален векторам а и Ь. 2. Длина вектпора с равна ~с~ = ЩЬ|в1п~р, где ~р — угол между веятпорвми а и Ь. 3. Упорядоченная тройка векторов а,Ь,с является правой (рис. 2.2). Векторное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать ахЬ, хотя в литературе встречается и обозначение ~а, Ь). Если векторы а и Ь яоллинеарны, то условие 3 в определении 2.3 становится неопределенным, Рнс. г.г так как тройка векторов будет 2.3.
Векторное произведение ко.ипланариа. Однако при этом, согласно условию 2 определения, длина векторного произведения должна равняться нулю. Это однозначно определяет векторное произведение как вектор, равный нуль-векозорд. Поэтому дополним определение 2.3, полагая, что векторное произведение двух коллинеарных векторов есть нуль-вектор. В это дополнение входит и случай, когда хотя бы один из двух векторов является нулевым, так как в этом случае эти два вектора коллинеарны. Векторное произведение используют, например, в механике. Так, момент силы Г, при— к. ОМкр ложенной к точке М, относительно некоторой точки О равен ОМхГ (рис. 2.3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
