Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 3
Текст из файла (страница 3)
1.5), и пусть а = АВ. Совместим начало вектора Ь с а+(Ь+е) точкой В, и пусть Ь = Вд. Нае е конец, начало вектора с совме- ыС / стим с концом С вектора Ь, и г пусть тогда с = С11. Непосредственно из построРис. 1.5 ения получаем Л (а+ Ь) + с и А1) = АИ + ВВ = АВ + (ВС + СВ) = а + (Ь + с), АВ = АС" + СВ = (АЕ~ + ВС) + Се) = (а + Ь) + с, а Если складываемые векторы неколлинеарны, то свойство непосредственно вытекает нз правила параллелограмма, так как в этом правиле порядок векторов не играет роли. Если же векторы коллинеарны, то их сложение сводится к сложению или вычитанию их длин в зависимости от того, являются ли складываемые векторы однонаправленными или противоположно направленными. ~ 20 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ т.е.
ееомешрический вектор чО изображает и левую часть доказываемого равенства, и правую. ~ 3'. Существует такой вектор О, что для любого вектора а выполняется равенство а + О = о. ~ Действительно, непосредственной проверкой можно убедиться, что указанному условию удовлетворяет нулевой вектпор. Проверку удобно проводить прн помощи правила треугольника. ~ 4'. Для любого вектора а существует такой вектор Ь, что а+Ь= О. М Действительно, таким является вектор ( — а), мрогмивоаоложный к вектору а, т.е.
вектор, коллинеарный а, той же длины, что и а, но протпиеополозспо направленный. Если в качестве точки приложения этого вектора выбрать конец вектора о, то конец противоположного вектора совпадет с началом вектора а. Согласно правилу треугольника, суммой векторов а и ( — а) будет вектор с совпадающими началом и концом, т.е. нулевой вектор. ~ 5'.
Для любых векторов а и Ь существует такой вектор а, что а+ а = Ь. При этом вектор а определен однозначно. ~ Укаэанному условию удовлетворяет вектор ( — а) + Ь, так как с учетом свойств 2'-4' а + о = а + (( — а) + Ь) = (а + (-а)) + Ь = О+ Ь = Ь. Если вектор ж удовлетворяет равенству а+ а = Ь, то, прибавив слева к обеим частям последнего равенства вектор (-а), получим с учетом свойств 1', 2', что а = (-а) + Ь. Действительно, (-а)+ (а+к) = ((-а)+а)+л =О+к =а = ( — а)+Ь.
Значит, вектор л определен однозначно. > 1.3. Лииейиые операции и их свойства 21 Свойство 5' позволяет ввести операцию вычитания векторов. Определение 1.6. Раз«остиью Ь вЂ” а двух ее«тавров а и Ь называют такой вектор а, что а+ е = Ь. С алгебраической точки зрения переход от а + е = Ь к а = Ь вЂ” а (в соответствии с определением 1.6) означает, что при переносе вектора в другую часть равенства перед ним надо менять знак. Корректность определения разности векторов, т.е. существование и единственность вектора е устанавливает свойство 5'.
Практически для вычисления разности векторов можно воспользоваться правилом треугольника. Совместим начала векторов а н Ь, тогда вектор с началом в конце вектора а и концом, совпадающим с концом Ь, равен разности Ь вЂ” а этих векторов (рис. 1.6). и Операцию вычитания векторов Рис. 1.6 также относят к линейным, так как она определяется операцией сложения и является обратной сложению. Определенае 1.7. Произведе«кем ве«творе а «а число Л называют вектор Ла, коллинеарный вектору а, с длиной ~Л~ )а), одкокакравлеккый с а при Л ) О и противоположно направленный при Л ( О.
Замечание 1.4. Если Л = О, то, согласно этому определению, вектор Оа должен иметь длину О~а! = О, т.е. должен быть нулевым вектором. Поэтому, хотя остальные характеристики в определении и не определены (коллинеарность, направленность), произведение вектора на число О определено однозначно: Оа есть нулевой вектор. Пример 1.2. Произведение вектора а на число — 1 есть вектор, противоположный к а, т.е.
( — 1)а = ( — а). ~ 22 1. ЛИНКИ НЫК ОПЯРЛЦИИ НАД ВККтОРАМИ Операция умножения вектора на число обладает свойством ассоциативности, а совместно с операцией сложения она удовлетворяет двум свойствам дистрибутивностн. б'. Умножение вектора на число ассоциативно: (Лр)а = = Л(ра). 1 Действительно, обе части равенства представляют собой векторы, коллинеарные исходному вектору а.
Поэтому равенство будет верным, если совпадут длины векторов и их направления. Равенство длин векторов очевидно. Если числа Л и р имеют один и тот же знак, то векторы в обеих частях будут однонаправлены с вектором а. Если же Л и р имеют противоположные знаки, то оба вектора в равенстве являются противоположно направленными по отношению к а.
Итак, в любом случае в равенстве стоят векторы одного направления и одинаковой длины, т.е. равные векторы. Ь 1<0 Л>0 Рис. 1.7 7'. Умножение вектора на число дистрибутивно относительно векторов: Л(а + Ь) = Ла+ ЛЬ. 4 При Л = 0 свойство очевидно, так как в этом случае слева будет нулевой вектор (произведение вектора на число 0), а 23 1А.
Ортогонваьнав лроекцнл справа — сумма двух нулевых векторов. Если Л ф О, свойство вытекает из правила параллелограмма и свойств подобных параллелограммов. На рис. 1.7 представлены случаи для Л > О иЛ<О.~ 8'. Умножение вектора на число дйстрнбутивно относительно чисел: (Л+р)а= Ла+уиз. ~ В указанном равенстве —, три коллинеарных вектора. Поэтому доказательство сводится к подсчету длин векторов, которым присвоены знаки, учитывающие направление.
Если Л и р имеют положительные знаки, то все три вектора в равенстве имеют одно направление, совпадающее с направлением вектора о. При сложении этих векторов справа складываются их длины, а доказываемое равенство равносильно следующему: (Л+р)~о~ = Л~о)+р~а~. Случай, когда Л и р отрицательны, аналогичен.
Пусть Л и р имеют противоположные знаки. Для определенности будем считать, что Л > О, р < О. Противоположный случай сводится к этому заменой обозначений и учетом коммутативности сложения чисел и векторов. Если Л > О, р < О, то при сложении векторов Ла и ра вычитаются их длины, так как складываются векторы противоположного направления. Получаемый при этом вектор будет однонаправленным с о при ~Л! > ~14 и противоположно направленным при ~Л~ < ~14. Его длина, согласно определению произведения вектора на число, равна ~Л+ р()а~.
Учитывая направление этого вектора, заключаем, что ои равен (Л+ р)о, т.е. доказываемое равенство верно и прн противоположных знаках коэффициентов Л и р. ~ 1.4. Ортогональная проекция Пусть на плоскости заданы прямая Ь и точка А. Опустим из точки А на прямую Ь перпендикуляр (рис. 1,8, а). Тогда его основание (точку 0) называют оргооеомальмов ороемцмеб озочми А ма орлм1яю Ь. Если прямая Ь и точка А заданы 24 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ в пространстве, то в этом случае ортогональной проекцией точки А на прямую Ь называют точку О пересечения прямой Ь с перпендикулярной ей плоскостью, проходящей через точку А (р с, б).
~" ли точка А лежит на прямой Ь, то она совпадает ис. 1.8 б). с'"л со своей ортогональной проекцией на Ь. ,А О Ь Рнс. 1.В Для вектора АВ (на плоскости илн в пространстве) можно построить ортогональные проекции на прямую Ь его начала и конца (рис. 1.9). Тогда вектор ОАОВ, соединяющий эти проекции ОА и ОВ и лежащий на прямой Ь, называют ортоеональной проекцией вектора Ас1 на прямую Ь. В Прямую, на которой задано одно иэ двух возможных направлений, называют осью.
Выбранное направление на оси изображают с помо- ОА О в щью стрелки на соответствующем конце оси. Ортогональную проекРие. 1.9 — + цню ОАОВ вектора АВ на ось! можно полностью описать длиной вектора ОАОВ, приписав ей знак, указывающий направление вектора. Если направление ОАОВ совпадает с заданным направлением оси, то берут знак плюс, а если направление вектора противоположно направлению оси, то ерут знак минус. Длину вектора ОАОВ со знаком, определя- 1М. Ортогонвльнав проекция ющим направление этого в итера, н зывают ортоео аной проекцией вектора АВ но ось ! и обозначают прка.
Обратим внимание на то, что ортогональной проекцией вектора на ось является число, в то время как ортогональная проекция вектора на прямую — это вектор. Чтобы вектору соответствовало число как его проекция, на прямой нужно выбрать одно из двух возможных направлений. Каждый ненулевой венгпор 1 однозначно определяет осгк его можно рассматривать расположенным на некоторой прямой и задающим на ней направление. Поэтому ортогональную проекцию вектора на такую ось называют ортоеона еьной проекцией вектора на направление вектора 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
