Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Как можно построить их сумму? 1.1Э. Доказать, что система из н векторов, соединяющих центр масс системы из н материальных точек с зтими точками, линейно зависима. 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.1. Определители второго и третьего порядков В этой главе приведены начальные сведения об определителях второго н третьего порядков. Это вызвано тем, что некоторые формулы векоюрной аагебры, записанные через определители, имеют достаточно компактный вид и удобны как при изложении теории, так и при решении задач. Более полнел теория определителей изложена далее (см.
7). Четырем числам а1, 61, аз, Ьз можно поставить в соответствие выражение а16з — аэ6ь которое называют оаределипзелем вовороео тьорлдко и обозначают в виде следующей таблицы нз двух строк и двух столбцов, отделяемой слева и справа вертикальными линиями: а1 Ь1 а16э — аз61 = аз Ьз (2.1) 3 7 5 -2 = 3( — 2) — (5 7) = -41. Числа а1 и Ьз из-эа их расположения в определителе (2.1) называют дноеомсмьными элемеитвами определителя второго порядка и говорят, что они расположены на его глаемо4 диоеомоли. Аналогично числа аэ и Ь1 расположены на еторо4 (или твобочной) диоеома ви определителя.
Можно сказать, что определитель второго порядка равен произведению его элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, например: г.п Определители второго и третьего порвдков 45 Подобным же образом иэ девяти чисел составляют оггределигпель гтьретпъеео порлдкв. По определению полагают аг Ьг сг аг Ьг сг аз Ьз сз = агЬгсз+ Ь! сгаз+ агбзс1— — азЬгсг — агЬгсз — агЬзсг. (2.2) Элементы аг, Ьг и сз располагаются на главной диагонали определителя (2.2), а аз, 6г и сг — на побочной. В формулу (2.2) вычисления определителя третьего порядка входят шесть тройных произведений, сомножители которых расположены в разных строках и разных столбцах. Произведения имеют разные знаки, и запомнить формулу сложно.
Для ее запоминания используют тгрввмло Свррюсв, или «рввгьло тггре1геольммма. Оно состоит в следующем: со знаком плюс берут слагаемые, являющиеся произведением элементов главной диагонали и произведением элементов, лежащих на параллелях к этой диагонали. Члены, имеющие знак минус, формируются таким же образом относительно побочной диагонали. Схематически зто правило выглядит так: аг Ьг сг аг Ьг сг аз Ьз сз Линиями соединены элементы определителя, произведения которых дают слагаемые с соответствующим знаком.
Пример 2.1. Используя правило треугольника, вычислим определитель третьего порядка: 1 -3 0 4 2 1 5 0 6 =1 2.6+О 4 О+5(-3)1-5 2 0-6.4( — 3) — 1.1 0=69. 46 г. пРОизВедения ВектОРОВ Вычисление определителя третьего порядка можно свести к вычислению трех определителей второго порядка. Для получения соответствующей формулы воспользуемся тем, что в правой части равенства (2.2) каждое слагаемое содержит один из элементов а«, 6«или с«первой строки определителя. Собирая в (2.2) подобные члены по этому признаку и вынося общие множители эа скобки, получаем а«6«с« аг Ьг сг аз Ьз сз = а«(Ьгсз — 6зсг)— — 6«(огсз — азсг) + с«(агЬз — азЬг) (2 3) где из второй скобки дополнительно вынесен знак минус. Выражения в скобках представляют собой определители второго порядка Ьг сг аг сг аг Ьг| Ьгсз — Ьзсг=~Ь ~, агсз-азсг=~ ~, агЬз — азЬг=~ ~Ьз сз~' ~аз сз~' ~аз Ьз~' что позволяет записать равенство (2.3) в следующем виде: а« 6« с« аг Ьг сг аз Ьз сз =а, г г 6 г г +с г г (24) Равенство (2.4) называют разлог«секиелт определитпелл тпретпьеео порлдка по первой стпроке.
Можно аналогичным образом получить разложение определителя по любой строке (столбцу), если тройные произведения в правой части (2.2) группировать по элементам этой строки (столбца). Обратим внимание на структуру формулы (2.4). Элемент а« умножается на определитель второго порядка, который можно 2ок Определители второго и третьего оорвдков 47 Пример 2.2. Вычислим определитель третьего порядка а Ь с 2 -1 3, а,Ь,сей, — 4 5 1 используя его разложение по 1-й строке: а Ь с 2 -1 3 — 4 5 1 =а — Ь +с = -16а+ 146+ 6с. Определители второго и третьего порядков находят применение при решении систем линейных уравнений.
Рассмотрим, например, систпему двух линейных уравнений а1х + 61 у = с1, а2х + 62у = с2 (2 5) относительно неизвестных х, у и найдем ее решение методом исключения неизвестных. Для этого первое уравнение умножим на -а2, второе — на а1 и после почленного сложения этих выражений и приведения подобных членов получим соот- ношение (а1Ь2 — а261)у = а1с2 — аэс1. получить из вычисляемого определителя третьего порядка вычеркиванием в нем 1-й строки и 1-го столбца, на пересечении которых расположен элемент а1. Аналогично, элемент 61 (с1) умножается на определитель второго порядка, который можно получить из вычисляемого определителя вычеркиванием в нем 1-й строки и 2-го (3-го) столбца, на пересечении которых расположен этот элемент. Отметим, что знаки слагаемых в правой части (2.4) чередуются начинал со знака плюс.
2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 48 Исключив аналогичным приемом из уравнений системы (2.5) неизвестное у, найдем (агЬз — азЬ|)х = стЬз — сзЬт. Если определитель который называют определитпелем систпемы втпороео по- рлдка (2.5), не равен нулю, то единственное решение этой системы имеет вид Дв и — — у=— Д 1 Д ! (2.6) где определители с! Ьт ат ст а! х+ 6|у+ стл = дм азх + Ьзу+ сто = аз, азх + 6зу+ сзл = дз (2.7) относительно неизвестных х, у, з. Формулы Крамера в этом случае имеют вид Д' Д' (2.8) получаются из определителя Д заменой столбца коэффициентов при соответствующем неизвестном на столбец правых частей системы (2.5).
Решение системы (2.5) в виде (2.6) называют утормулами льрамера (Г. Крамер (1704 — 1752) — швейцарский математик). Они выражают при Д;6 0 единственное решение системы (2.5) через ее коэффициенты. Аналогичным образом может быть записано решение системы тпрех лииебиых уравнеииб 49 г.г. Сквллрное произведение где И, Ьт с, ттг Ьг сг «3 ЬЗ сз и позволяют нанти единственное решение системы при условии, что оттределитель 9 системы третьеео порлдма не ра- вен нулю.
Пример 2,3. Система трех линейных уравнений 2х-Зу-42=6, Зх+ 5у+ 23 = 1, 5х+2у — 33=8 имеет единственное решение, так как ее определитель не равен нулю. Вычисляя еще три определителя 2 6 -4 3 1 2 5 8 -3 =-19, Ьт= =О, =19, по формулам Крамера (2.8) находим, что единственным реше- нием рассматриваемой системы является х =1, у= О, х=-1. 2,2. Скалярное произведение Есть несколько операций умножения вектиоров. В результате первой из них мы получаем действительное число, т.е. скалярную величину.
ат Ьт ст аг Ьг сг аз Ьз сз 6 — 3 -4 1 5 2 8 2 — 3 ат 4 и, аз ИЗ пз 2 — 3 — 4 3 5 2 5 2 -3 ст С2 СЗ ат Ьт т12 аг Ьг т12 аз Ьз ~13 2-36 3 5 1 5 2 8 50 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ Определение 2.1. Скаллрнььи произведением двух векторов а и Ь называют число, равное )а~ ~Ь|сов~р — произведению длин )а~ и ~Ь| этих векторов на косинус уела у между ними. Скалярное произведение векторов а и Ь далее будем обозначать аЬ, хотя в литературе встречается и обозначение (а, Ь). Используя теорему 1.1, можно выразить скалярное произведение двух векторов через ортогональную проекцию на направление. Если вектор а ненулевой, то скалярное произведение аЬ векторов а и Ь получается перемножением длины вектора а и ортогональной проекции вектора Ь на направление вектора а: аЬ = )а~праЬ.
Аналогично при Ь ф 0 имеем равенство аЬ= ~Ь|прьа. Если угол между двумя ненулевыми векторами прямой (т.е. равен 90'), то такие векторы называют ар|конопельными. Если хотя бы один иэ двух векторов является нулевы.н, то их скалярное произведение будет равно нулю независимо от того, какое значение выбрано в качестве угла между векторами. Нулевой вектор считают ортогональным любому другому вектору. Теорема 2.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
