Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 6
Текст из файла (страница 6)
37 д.7. Вычнследдив в «оордяавта« Аналогично с учетом свойств линейных операций имеем Лх = Л(хдед + хгег+ хзез) = (Лхд)ед+ (Лхг)ег+ (Лхз)ез. 8 итоге получаем разложение вектора Лх в фиксированном базисе. Из этого разложения видим, что каждая из координат исходного вектора х умножена на число Л. ~ Разложение вектора в базисе имеет простой геометрический смысл. Рассмотрим, например, пространство Уз. Разложение вектора И в базисе, скажем а, Ь, с, показано на рис. 1.13.
Координатами вектора д будут отношения ~ОА'( )ОВ'~ ~ОС'~ дда=~ ~ д16=~ ~ д1с=~ ~ОА~ ' ~ОВ~ ' ' ~ОС~ ' где знаки выбирают в зависимости от того, является соответствующая пара коллннеарных векдпоров (например, ОА и ОА' для и ) однонаправленной или нет. Теорема 1.8. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы их одноименные координаты в одном и том же базисе бъдли пропорциональны.
° я Докажем теорему в случае пространства Уз. Фиксируем в Уз базис ед, ег, ез. Рассмотрим разложения в выбранном базисе векторов х и у: х = хдед+ хгег+ хзез у = удед+ угег+ узез (1.б) Если одноименные координаты этих векторов пропорциональ- ны, т.е. существует такое Л Е Й, что выполнены равенства хд — — Луд, хг — — Луг, хз — — Луз, (1.7) то х = хдед +хгег+ хзез — — Лудед + Лугег+ Лузез = = Л(удед+угег+узез) = Лу и из теорем 1.3, 1А следует, что векторы х и у коллинеарны. Достаточность условия доказана. Для доказательства его 38 1, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ необходимости предположим, что векторы х и у коллинеарны. Но тогда по теореме 1.4 они линейно зависимы и в силу теоремы 1.3 один из них, например х, является линейной комбинацией „остальных", т.е.
х = Лу. Подставляя в зто равенство разложения (1.6), получаем х1е1+ хзез+ хзез = Л(У1е1+узез+ увез), илн (х1 — ЛУ1)е1+ (хз — ЛУз)ез+ (хз — Луз)ез = О. А поскольку вектор О в любом базисе имеет нулевые координа- ты, то нз последнего равенства следуют соотношения (1.7). ~ Следствие 1.1. Для того чтобы два вектора были коллинеарны, необходимо и достаточно, чтобы отношения их одноименных координат в одном и том же базисе были равны. М Выражал Л из соотношений (1.7) и приравнивал полученные дроби, находим, что Х1 ХЗ ХЗ (1.8) У1 Уз Уз Отметим, что в условии (1.8) в знаменателях дробей могут стоять нули, но при этом подразумевается, что и в числителе соответствующей дроби стоит нуль.
Для пространства 1 з условие (1.8) сводится к равенству только первых двух дробей. ~ Пример 1.3. Пусть векторы е1,ез образуют базис в Уз. Векторы а = 2е1 — Зез, Ь = -е1+ Зез линейно независ1ьны, так как 2/(-1) ф — 3/3. Поэтому они тоже образуют базис в том же Ър. Найдем разложение в этом базисе векторов е1 и с = Зе1 — без. Чтобы найти разложение вектора е1, вычислим сумму векторов о и Ь1 а+Ь=е1. Следовательно, искомым разложением является е1 = а+ Ь. 39 1.7.
Вычисленма в яоординвтах Чтобы найти разложение вектора с, поступим следующим образом. Пусть с = Л1а+ ЛзЬ. Подставив в это равенство разложения векторов с, а, Ь в базисе еы ез, приведем подобные слагаемые в правой части равенства. Получим, что Зе1 — без = Л1(2е1 — Зез) + Лз(-е1 + Зез) = = (2Л1 — Лз)е1+ ( — ЗЛ1+ Зля)ез. Поскольку каждый вектор в любом базисе имеет единственное разложение, то Лы Лз должны удовлетворять системе уравнений < 2Л1 — Лз =3, зл — зл = б. Решая эту систему, находим, что Л1 — 1, Лз —— -1.
Это значит, что с = а — Ь. Определение 1.9. Базис называют ортогональным, если он состоит из векторов, лежащих на взаимно перпендикулярных прямых. Базис называют орозонормированным, если он ортогональный и состоит из единичныя вектиоров. Параллелепипед, изображенный на рис. 1.13, в ортонормированном базисе в 17з является прямоугольным, а точки А', В', С' — оргпогональными проекциями глочки В на соответствующие прямые. Координаты вектора И = 01~ в ортонормнрованном базисе равны оргпогональным проекиилм этого вектора на направления векторов, образующих этот базис.
Ортонормнрованный базис в пространстве $7з принято обозначать, с учетом порядка, буквами я, у, Й, в $'з — соответственно я, у и в %1 — й. В случае ортонормированного базиса в пространстве $д легко яайти расстояние от точки О до произвольной точки Х.
По теореме Пифагора )ОХ<э = <ОХ;)з+ )ОХ~<э+ <ОХь)з (рис. 1.14), где точки Х;, Х, Хь — ортогональные проекции точки Х на соответствующие оси. Но длины отрезков ОХ;, 40 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАПИИ НАД ВЕКТОРАМИ ОХ, ОХь — это абсолютные значения координат вектора х = ОА в базисе е, у, Й. В результате получаем формулу для вычисления олины векщора х с координатами (х1, хз, хз) в ортонормированном базисе з, у, Й пространства Уз.' (1.9) Аналогично вычисляют длину вектора иэ пространства Ъз по его координатам х1, хз в ортонормированном базисе: ~х~= 1~х~+х~, х Е $~1, (1.10) и длину вектора иэ $'1 с коорди- натой х1 в ортонормированном базисе: Рнс.
1.14 ф = ~х11 — — ~х1~, х б Ъ"1. (1.11) Пусть ненулевой вектор х б $з образует с направлениями векторов ортонормированного базиса г, у, Й углы а,,д и 7 соответственно. Величины сОва, сов11, сов7 называют наиравлюю илими косинусами вентпора х (рис. 1.15). Направляющие косинусы век- Т Ф Р тора можно испольэовать прн вычислении его координат. Если ненулевой вектор х б $~з имеет в О 1 ортонормированном базисе з, у, Й координаты (х1, хз, хз) и направляющие косинусы сова, сов,д, сов7, тО Рис. 1.15 х1 — — (х~сово, хз = ~х~совД хз = ~х)сов7. (1.12) Используя формулу (1.9) для вычисления длины вектора, получаем ~х~ = ~х~ сов а + ~х~ сов 11 + ~х~ сОв 7, 41 Воиросы и задачи откуда после сокращения на ~х~ ф 0 вытекает следующая формула связи для направляющих косинусов: сое~а+сое~13+сое~ у = 1. (1.13) О хз — — ~х~е1п~р.
х1 — ф ожчз, Рис. 1,16 Вопросы и задачи 1.1. Что можно сказать о сумме АВ+ ВС+ СА трех векторову 1.2. Доказать, что если медианы треугольника АВС пересекаются в точке М, то: а) АМ=(АВ+АС)/3; б) МА+Мх1+ +мд=о. В начале главы мы говорили о том, что векторные величины имеют скалярную характеристику (длнну) н направление.
Направляющие косинусы не зависят от длины вектора: при умножении вектора на положительное число направляющие косинусы не изменяются. Именно они и характеризуют направление вектора. Если известны длина вектора и его направляющие косинусы, то вектор определен однозначно. Направляющие косинусы могут быть заданы углами а, В, у из отрезка [О,х], удовлетворяющими соотношению (1.13). В качестве примера можно взять вектор (сова; сов~3; сое у). Согласно формулам (1.9) и (1.13) этот вектор имеет единичную длину, а значения сова, сов~3, сову представляют собой направляющие косинусы этого вектора. В случае ортонормированного базиса в пространстве Ъз направление вектора удобно указывать одним углом <р, который отсчитывается от первого вектора базиса против хода часовой стрелки (в случае положительного значепия).
Угол ~р, длина вектора х и его координаты (х~, хз~ связаны соотно- и шениями: 42 Е ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАд ВЕКТОРАМИ 1.3. Пусть биссектриса угла А треугольника АВС пересекает противоположную сторону в точке Ь. Выразить вектор, однонаправленный с вектором Аь, через векторы АМ и АС.
1.4. Как связаны вектор АС и ортогональная проекция пр~(АВ+ ВС) ? 1.5. Доказать, что АВСР— параллелограмм, если А4 = =2а — ЗЬ+с, АС=а — Ь+2с, Ас1= — а+2Ь+е. 1.6. Найти длыну вектора а = -4+Зу+ Ь. 1.7. Может ли некоторый ненулевой вектор образовывать с векторами 1, у и Ь углы, равные соответственно: а) 120', 135', 45' б) 120' 135' 60' 1.8. Найти значения параметра 1, при которых вектор а = = -а+ 11'+ 4Ь имеет длину, равную 5, и образует с вектором у тупой угол.
1.0. Найти значения параметра г, при которых вектор а = =1+(1 — 1з),у — 2Ь: а) образует с вектором у угол 90', б) коллинеарен вектору Ь = -24 — у + 4Ь; в) является противоположно направленным вектору Ь = — 2г+ т+4Ь. 1.10. Доказать, что три вектора линейно зависимы, если среди них есть нуль-вектор. 1.11. Доказать, что если АВСР— трапеция, то векторы АВ, АС и АР линейно зависымы. 1.12. Доказать, что векторы а = й + 21, Ь = г — Зу и с = = 4г — 2у линейно зависимы. Выразыть: а) вектор с через векторы а и Ь; б) вектор а через векторы Ь ы с; в) вектор Ь через векторы а и с.
1.13. Доказать, что векторы а = г + 21, Ь = й — Зу' и с = = 2г+ 4у линейно зависимы. Можно ли выразить вектор Ь через векторы а и е? Воеросьг и залечи 43 1.14. Выяснить, образуют ли базис в Уз векторы: а) в = = г+ 1, Ь = з — у; б) а = -й + 21, Ь = 24 — 4у. 1.15.
Доказать, что если три ненулевых вектора линейно зависимы, то любой из них является линейной комбинацией остальных. 1.16. Найти все значения параметра 1, при которых векторы а = 4+ у +Ь, Ь = й — Зу+ Ь, с = Зй — 58у+Мс образуют базис в Уз. 1.17. Доказать, что равновесие точки невозможно под действием: а) двух неколлинеарных сил; б) трех некомпланарных сил. 1.18. В Уз заданы и векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
