Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Угол между направлениями двух ненулевых векторов называют делом между этнми векпзорами. Угол может изменяться в пределах от 0 до я. Крайние значения 0 и х отвечают ноллиневрным вектором, соответственно однонаправленным и противоположно направленньим. Если хотя бы один из двух векторов является нулевым, то угол между такими векторами не определен. Удобно, однако, считать, что в этом случае угол имеет произвольное значение.
Так, нулевой вектор коллинеарен любому другому, что формально соответствует углу 0 (или х). Конкретное значение, приписываемое углу между нулевым вектором и каким-либо другим, выбирают исходя нз конкретной ситуации. Теорема 1.1. Ортогональная проекция вектора о на направление ненулевого вектора 1 равна длине ~о~, умноженной на косинус угла ~р между векторами а и 1, т.е. прка = ~а~сов(а,!), где (о,1) — угол между векторами а и 1. н Пусть вектор 1 лежит на прямой Ь, а его началом является точка А. Совместим начало вектора о с точкой А, и пусть его концом будет точка В (рис.
1.10). Построим ортогональную 26 Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ проекцию С точки В на прямую Ь. Тогда вектор АС является ортогональной проекцией вектора а = АВ на прямую Ь. В С 1 Ь С А Ю Ь Рис. 1.10 Если угол ~р между векторами а и ! острый (как это показано на рис. 1.10, а), то конец вектора 1 и точка С лежат по одну сторону от точки А. В этом случае проекция а на направление вектора 1 равна длине ~АС~ = ~АВ~ сов ~р катета АС треугольника АВС.
Если угол у тупой (см. рис. 1.10, б), то конец вектора 1 и точка С лежат по разные стороны от точки А. Это значит, что векторы АС и 1 имеют противоположные направления, а проекция вектора а равна — ~АС~. В треугольнике АВС угол 9, прилежащий к катету АС, равен я — у, поэтому ~АС~ = = ~АВ!сов(н — ~р) = — (АВ~сову. Если же у = 90' или а = О, то точка С совпадает с точкой А н вектор Ас ' является нулевым вектором. Однако сов90в = О, следовательно, и в этом случае утверждение теоремы справедливо. Ь Теорема 1.2. Ортогональная проекция суммы векгаоров на направление ненулевого вектора равна сумме их ортогональных проекций на направление этого вектора, а при умножении вектора на число его ортогональная проекция на направление ненулевого вектора умножается на то же число: пр1(а+ Ь) = пр~а+ пр~Ь, нр1(Ла) = Лир~а.
1.Б. Линейное зависимость и независимость веиторов 27 ° 1 Доказательство следует из рис. 1.11. В случае а имеем пр1а = ~АВ~, пр1Ь= — ~ВС~, пр(а+Ь) = )АС~ = ~АВ~-~ВС~. В случае б пр1а = ~АВ~ и, если Л > О, пр1(Ла) = )АЕ) = Л)АВ~. Остальные варианты (точка С не принадлежит отрезку АВ в случае а, Л < О в случае б) рассматриваются аналогично. > А К В 1 В Рис. 1.11 1.5. Линейная зависимость и независимость векторов о1а1 — о1о1+ + ооао1 Е 1м1 (1.1) ГДЕ О1, ..., Ои — ПРОИЗВОЛЬНЫЕ ДЕйетВИтЕЛЬНЫЕ ЧИСЛа. Эта выражение называют лккеккой комбккаикеб векпзоров а1, ..., а„, Числа о;, 1=1,п, представляют собой коэффк«кектпы линейкой комбикацки.
Набор векторов называют еще систпемоб вектпоров. Введенные нами линейные операции над векторами дают возможность составлять различные выражения для еектпорныя величин н преобразовывать их прн помощи установленных для зтих операций свойств. Исходя из заданного набора векторов а1, ..., а„, можно составить выражение вида 28 ь линейные ОпеРА Ции нАД ВектОРйми В связи с введенным понятием линейной комбинации векторов возникает задача описания множества векторов, которые могут быть записаны в виде линейной комбинации данной системы векторов о~, ..., а„.
Кроме того, закономерны вопросы об условиях, при которых существует представление вектора в виде линейной комбинации, и единственности такого представления. Если каждый вектор может быть представлен в виде линейной комбинации данной системы векторов и притом единственным способом, то мы можем интерпретировать вектор как набор коэффициентов соответствующей линейной комбинации. Тогда взаимосвязи между геометрическими объектами— векторами — будут представлены некоторыми числовыми соотношениями, а мы получим возможность изучать свойства векторов и других геометрических объектов алгебраическими методами.
Определение 1.8. Векторы аы ..., а„называют ликебмо зависимыми, если существует такой набор коэффициентов оы ..., жъ! что о~а~ +... + а„а„= О (1.2) и при этом хотя бы один из этих коэффициентов ненулевой. Если указанного набора коэффициентов не существует, то векторы называют лвмебмо мезаввсимымв. Если а~ — — ... = а„= О, то, очевидно, а~а~+ ... + а„а„= = О. Имея зто в виду, можем сказать так: векторы аы ..., в„линейно независимы, если нз равенства (1.2) вытекает, что все коэффициенты аы ..., а„равны нулю.
Следующая теорема поясняет, почему новое понятие названо термином „зависимость" (или „независимость"), и дает простой критерий линейной зависимости. Теорема 1.3. Для того чтобы векторы были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы один из них являлся линейной комбинацией остальных. 1.б.
Линейная зависимость и независимость векторов 29 4 Необходимость. Предположим, что векторы О1, ..., а„ линейно зависимы. Согласно определению 1.8 линейной зависимости, в равенстве (1.2) слева есть хотя бы один ненулевой коэффициент, например О1. Оставив первое слагаемое в левой части равенства, перенесем остальные в правую часть, меняя, как обычно, у них знаки. Разделив полученное равенство2 на ат, ПОЛУЧИМ О2 Ов О1 = — — О2- О1 О1 т.е.
представление вектора а1 в виде линейной комбинации остальных векторов а2, ..., а„. Достаточность. Пусть, например, первый вектор а1 можно представить в виде линейной комбинации остальных векторов: О1 = 132О2+ ... +13„О„. Перенеся все слагаемые из правой части в левую, получим О1 — Ф2О2 — " ° Аоо — — О, т.е. линейную комбинацию векторов а1, ..., О„с коэффициентами О1 = 1, О2 = -132, ..., О„= -13„, равную нулевому вектиору. В этой линейной комбинации не все коэффициенты равны нулю. Согласно определению 1.8, векторы а1, ..., О„линейно зависимы.
~ Определение и критерий линейной зависимости сформулированы так, что подразумевают наличие двух или более векторов. Однако можно также говорить о линейной зависимости одного вектора. Чтобы реализовать такую возможность, У нас нет такой онерации „деление вектора на число". Поэтому формам но вместо „разделим равенство на число о1" мы должны были бы говорить „умножим равенство на число 1/о1". Однако подобная педантичность усложняет изложение, в то время как формально не определенное понятие деления достаточно очевидно. зо Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ нужно вместо „векторы линейно зависимы" говорить „система векторов линейно зависима". Нетрудно убедиться, что выражение „система из одного вектора линейно зависима" означает, что этот единственный вектор является нулевым (в линейной комбинации имеется только один коэффициент, и он не должен равняться нулю).
Понятие линейной зависимости имеет простую геометрическую интерпретацию. Эту интерпретацию проясняют следующие три утверждения. Теорема 1.4. Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они ноллинеарны. ~ Если векторы а и Ь линейно зависимы, то один из них, например а, выражается через другой, т.е. а = ЛЬ для некоторого действительного числа Л. Согласно определению 1.7 произведения вектора на число, векторы а и Ь являются коллинеарными.
Пусть теперь векторы а и Ь коллинеарны. Если они оба нулевые, то очевидно, что они линейно зависимы, так как любая их линейная комбинация равна нулевому вектору. Пусть один из этих векторов не равен О, например вектор Ь. Обозначим через Л отношение длин векторов: Л = ~а~/~Ь|. Коллинеарные векторы могут быть однонаправленными или противоположно направленными. В последнем случае у Л изменим знак. Тогда, проверяя определение 1.7, убеждаемся, что а = ЛЬ. Согласно теореме 1.3, векторы а и Ь линейно зависимы. ~ Замечание 1.5.
В случае двух векторов, учитывая критерий линейной зависимости, доказанную теорему можно переформулировать так: два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них представляется 'как произведение другого на число. Это является удобным критерием коллинеарности двух векторов.
Теорема 1.5. Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они нонпланарны. ЬБ. Дииейивв вввисииость и неоввисювость векторов 31 о1 Если три вектора а, Ь, с линейно зависимы, то, согласно 'теореме 1.3, один из них, например а, является линейной комбинацией остальных: тт = рЬ + ус. Совместим начала иеиторов Ь и с в точке А. Тогда векторы 11Ь, ус будут иметь общее начало в точке А и по правилу параллелограмма их сумма, т.е. вектор а, будет представлять собой вектор с началом А и концом, являющимся вершиной параллелограмма, достроенного на векторах-слагаемых. Таким образом, все векторы лежат в одной плоскости, т.е. компланарны. Пусть векторы а, Ь, с компланарны. Если один из этих векторов является нулевым, то очевидно, что он будет линейной комбинацией остальных.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
