Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Достаточно все коэффициенты линейной комбинацяи взять равными нулю. Поэтому можно считать, что все три вектора не являются нулевыми. Совместим начала этих векторов в общей точке О. Пусть их концами будут соответственно точки А, В, С 1рис. 1.12). Через точку С проведем прямые, параллельные прямым, проходящим через пары точек О, А н О, В. Обозначив точки пересечения через А' и В', получим параллелограмм ОА'СВ', следовательно, — + — + ОС = ОА'+ О В'.
Вектор ОА' и ненулевой вектор а = ОА коллинеарны, а потому первый из них может быть получен умножением второго на действительное с число ос ОА'=оОА. Аналогично — Ф ОВ' = 0ОВ,,В б В. В результате получаем, что ОС = аОА+ ~304, т.е. вектор с является линейной комбинацией векторов а и Ь. Согласно теореме 1.3, векторы о, Ь, с являются линейно зависимыми. 1в Рис.
1.12 Теорема 1.6. Любые четыре вектора линейно зависимы. ~ Доказательство проводим по той же схеме, что и в теореме 1.5. Рассмотрим произвольные четыре вектора о, Ь, с и д. 32 1. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ОВ = ОА'+ ОВ'+ ОС'. Рис. 1,13 Остается заметить, что пары векторов ОА ~ О и ОА', 03 ~ 0 и ОВ', Ос," ф О и О~~ коллинеарны, и, следовательно, можно подобрать коэффициенты а, 13, у так, что ОА' = аОА, Если один из четырех векторов является нулевым, либо среди них есть два коллинеарных вектора, либо три нз четырех векторов компланарны, то эти четыре вектора линейно зависимы.
Например, если векторы о и Ь коллинеарны, то мы можем составить их линейную комбинацию аа+ДЬ = 0 с ненулевыми коэффициентами, а затем в эту комбинацию добавить оставшиеся два вектора, взяв в качестве коэффициентов нули. Получим равную 0 линейную комбинацию четырех векторов, в которой есть ненулевые коэффициенты. Таким образом, мы можем считать, что среди выбранных четырех векторов нет нулевых, никакие два не коллинеарны и никакие три не ивляются компланарными. Выберем в качестве их общего начала точку О.
Тогда концами векторов а, Ь, с, И будут некоторые точки А, В, С, В (рис. 1.13). Через точку В проведем три плоскости, параллельные плоскостям ОВС, ОСА, ОАВ, и пусть А', В', С' — точки пересечения этих плоскостей с прямыми ОА, ОВ, ОС соответственно. Мы получаем параллелепипед ОА'С"В'С'В" ВА", и векторы е, Ь, с лежат на ребрах параллелепипеда, выходящих яз вершины О. Так как четырехугольник ОСЧЭС' является параллелограммом, то ОМ = А" 0 = ОС" + ОС~. В свою оче- С' ( В" редь, отрезок ОС" является диагональю параллелограм- В' с" ма ОА'С"В', так что ОС'= Ф ! О А А' = ОА'+ОВ'.
Значит, ОВ' = дОН и ОС~ = ~00. Окончательно получаем Следовательно, вектор Ох1 выражается через остальные три вектора, а все четыре вектора, согласно теореме 1.3, линейно зависимы. ~ 1,б. Базис Аналогично трем моделям геометрии (геометрии на прямой, на плоскости и в пространстве) мы рассмотрим три множества свободных вектпоров, илн, как говорят, три пространства векторов: простпранстпво Ъ; всех коллинеарных между собой векторов, т.е. параллельных некоторой прямой, таростпранстпво т з всех компланарных между собой векторов, т.е.
параллельныхнекоторой плоскости, и простпранстпво к всех свободных векторов. Рассмотрим пространство т1. Любой ненулевой вектпор пространства т1 называют базисом в тт. Любые два вектора этого пространства, будучи коллинеарными, линейно зависимы, т.е. один из них может быть получен из другого умножением на число. Выберем и зафиксируем в $~1 базис, т.е. вектор е фО. Тогда любой вектор х Е $~~ представляется в виде х = Ле. Это равенство называют раз воасением веятпора х в базисе е, а число л — координатной ееятпора х в этом базисе. Отметим, что коэффициент Л при этом определен однозначно.
Действительно, этот коэффициент равен л = ~~х~/~е~, причем выбирают знак плюс, если векторы х и е однонаправлены, и знак минус в противоположном случае. Рассмотрим пространство тз. Любую упорядоченную пару неколлинеарных векторов в пространстве тт называют базисом в $'х. Выберем в этом пространстве базис, т.е. два неколлинеарных вектора е1, ея. Согласно теореме 1.5, эти два 34 ь ЛИНЕЙные ОПеРАцИИ НАД ВеКтОРАМи вектора н любой третий вектор х, будучи компланарнымн, линейно зависимы. Поэтому один нз ннх является лииейиой комбииаиией двух других. При этом можно утверждать, что вектор х выражается через е1 и ез.
Действительно, запишем линейную комбинацию этих векторов (1.3) ах+ 111 е1+ ~3зез — — О, в которой один из коэффиииенпюв не равен нулю. Сразу делаем вывод, что а 1~ О, так как в противном случае в равенстве (1.3) слева можно опустить первое слагаемое, и мы получим, что векторы е1, ез линейно зависимы.
Но этого быть не может, так как они неколлинеарны (см. теорему 1.4). Так как о ~6 О, мы можем разделить равенство (1.3) на о. В результате, перенося последние два слагаемых в правую часть, получаем представление вида (1.4) х = Л~е1+ Лзез, которое называют разлохсеиием векпьора х в Базисе ем ез, а коэффициенты Л1, Лз этого представления — коордииапмьми еекпзора х в базисе ем ез. Отметим, что в представлении (1.4) коэффициенты Л1 и Лз определены однозначно. Это можно обосновать, анализируя доказательство теоремы 1.5 (используемый в доказательстве параллелограмм однозначно определен диагональю и прямыми, на которых лежат смежные стороны). Однако то же можно установить, используя лишь факт линейной независимости векторов е1 н ег.
В самом деле, если есть два представления х = Л1е1+ Лзез = И1 е1+ Изез, то, перенеся в последнем равенстве все слагаемые влево и используя свойство 8' (см. с. 23) дистрибутнвности умножения вектора иа число относительно чисел, получим (Л1 — и1)е1+ (Лз — Из)ез = О. 35 Коэффициенты в этом равенстве слева равны нулю, так как векторы еы ез линейно независимы (они неколлинеарны, см. теорему 1.4). Таким образом, Л1 = п1, Лз = рз, и два взятых нами представления вектора м совпадают. Рассмотрим пространство Ъз.
Любую упорядоченную тройку некомпланарных векторов называют базмсом в 1 "з. Выберем в Ъз базис, т.е. любые три некомпланарных вектора еы ез, ез. Этн три вектора с добавленным к ним произвольным четвертым вектором е линейно зависимы (см. теорему 1.6). Можно доказать так же, как мы это делали в случае пространства Г~, что вектор м является линейной комбинацией векторов еы ез, ез: м = Л1е1+ Лзез + Лзез. (1.5) При этом коэффициенты в представлении (1.5) определены однозначно, так как векторы еы ез, ез линейно независимы. Представление вектора х в виде (1.5) называют разломсеммем ееммзора в базисе еы ез, ез, а коэффициенты Лы Лз н Лз разложения — моординаьпами вемтпора м в базисе еы ез, ез. Векторы в базисах пространств Ър н 1'з, согласно определению базисов, являются упорядоченными.
Порядок векторов в базисе устанавливает порядок среди координат любого вектора, и поэтому координаты всегда считают тоже упорядоченными. Если базис, например, в пространстве $~з фиксирован, то каждому вектору нз $~з соответствует единственная упорядоченнэл тройка чисел, составленная из его координат. Кроме того, каждой упорядоченной тройке чисел соответствует единственная линейная комбинация векторов базиса, т.е. вектор из $ "з, координаты которого совпадают с этой тройкой чисел. Поэтому, если базис фиксирован, то векторы можно рассматривать как упорядоченные наборы их координат в этом базисе.
Эту возможность часто используют, отождествляя векторы с упорядоченными наборами их координат. Например, если вектор м иэ $~з в базисе еы ез, ез имеет разложение а = 2е1 + Зез — 4ез, то этому вектору соответствует упорядо- зб Ь ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАЦИИ НАД ВЕКТОРАМИ ченная тройка его координат, которую часто записывают так: (2; 3; — 41.
Более того, отождествляют вектор с упорядоченной тройкой координат и пишут х = 12; 3; -4), вкладывая в это равенство укаэанный выше смысл. Итак, если базис в пространстве $'м Ъг или $з фиксирован, то любой вектор из этого пространства однозначно определен своими координатами, записанными в порядке следования векторов базиса. Поэтому можно сказать, что координаты вектора являются представлением, или „изображением", этого вектора в данном базисе. 1.Т. Вычисления в координатах Выясним, что происходит с коордикапгами векторов пры выполнении линейных операций.
Теорема 1 7. При сложении двух векторов ых координаты в одном и том же базисе складываются. При умножении вектора на число координаты этого вектора умножаются на это число. Ч Для простоты остановимся, например, на пространстве $з. Фиксируем в Ъз базис ег, ег, ез. Возьмем два произвольных вектора х и у и запишем их разлогкеиил в выбранном базисе: х = хгег+хгег+ хзез, у = угег + угег+ увез.
Используя свойства линейных операций, вычисляем сумму этих векторов: к+у= (хгег+хгег+ хзез)+(угег+угег+увез) = = (хг + уг)ег+ (хг+ уг)ег+ (хз+ уз)ез Мы получили разложение суммы векторов в фиксированном базисе. Отсюда заключаем, что координаты х; и у; исходных слагаемых, соответствующие одному вектору е; в базысе (г = = 1,2,3), складываются.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
