Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Пример 2.9. Найдем объем треугольной пирамиды, построенной на векторах а = (-2; 1; -2), Ь = (1;О; — Ц и с = = (1; 1; 1) как на смежных ребрах. Трем векторам с общим началом можно сопоставить как треугольную пирамиду, так н параллелепипед, причем объем Но последнее равенство верно, так как выражает доказанное свойство 4~ дистрибутивности для смешанного произведе- ния. (Ь 71 2.Б. Приломенмя произведений векторов пирамиды будет в 6 раз меньше объема параллелепипеда, равного модулю смешанного произведения оЬс данных векторов. Итак, объем пирамиды равен К = ~ойс~/6 = 1, поскольку — 2 1 — 2 1 0 -1 1 1 1 2.5. Приложения произведений векторов Рассмотрим различные приложения произведений векторов на следующих примерах. Пример 2.10.
Работа А постоянной силы Р при прямолинейном перемещении материальной точки из положения М~ в положение Мз равна А = ~Г~ ~М1Мз~ сезар 1рис. 2.11, е). Поэтому с помощью скаллриоео ароизведекил зта работа вычисляется по формуле А=Ел, л=ММз. Рис. 2.11 Если к материальной точке приложено п постоянных сил Д, 1 = 1, и, то при том же ее перемещении сумма А их работ А; равна работе равнодействующей силы 72 2. ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ поскольку А=~~ А;=~~) Дз=(~) Д)з=Гз.
Из этого равенства следует, что система сил не сонершает работу, если их равнодействующая оргпогональна венгпору перемещения з. Ясно, что равенство А = Гз = О справедливо и в случае, когда равнодействующая равна нулю или отсутствует перемещение, или верно и то и другое. Пример 2.11. Круговой диск вращается с постоянной угловой скоростью м вокруг перпендикулярной ему оси вращения Ь, проходящей через его центр Р (рис. 2А1, б). Пусть и — скорость точки Р. Тогда и=мхОФ, где м — вектор угловой скорости. Пример 2.12. На движущуюся со скоростью и частицу с электрическим зарядом в магнитное поле с магнитной индукцией В действует с силой Лоренца у =вихВ.
Если векторы и и В нвллинеарны, то ихВ = О и при постоянном магнитном поле частица будет совершать прямолинейное равномерное движение. Если же векторы и и В неколлинеарны, то у ,-~ О, но мощность, развиваемая этой силой, равна нулю: И' = уи = в(и х В)и = виВи = О, поскольку смешанное произведение номпланарных вектпоров равно нулю. Следовательно, заряженнэл частица массой ш в постоянном магнитном поле сохраняет свою кинетическую энергию тпиз72.
73 Д. ИЛЬ Двойное векторное нронэнеденне Рассмотрим случай, когда векторы о и В ортогонзльны, т.е. еВ = О. Поскольку и сила Лоренца у ортогонзльна В, то частица остается в плоскости, перпендикулярной вектору В, и двигается по окружности радиуса В, который определяется из условия равновесия возникающей при этом центробежной силы и действующей силы Лоренца, шез/Н= фихВ~ = у~и~)В~з1пЯО'. Отсюда Дополнение 2.1. Двойное векторное произведение Трем еектаорам а, Ь и с можно поставить в соответствие вектор, равный ах(Ьхс). Этот вектор называют двойным веккзоркым ароиэведекием векторов а, Ь и с.
Двойное векторное произведение встречается в механике и физике. Двойное векторное произведение выражается через линейную комбинацию двух иэ трех своих сомножителей по формуле ах(Ьхс) = Ь(ас) — с(аЬ). Докажем это. Обозначим через х разность левой и правой частей этого равенства х = ах (Ьхс) — Ь(ас) + с(аЬ). Нам достаточно показать, что х = О. Предположим, что векторы Ь и с колликеаркы. Если онн оба нулевые, то в выражении для вектора х все слагаемые равны нулевому вектору и поэтому равенство х = О выполнено. Если же один из коллинеарных векторов Ь, с ненулевой, например 74 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ с, то для другого вектора при некотором о 6 И выполнено равенство Ь = ос. Но тогда к = ах(осхс) — ос(ас)+со(ос) = О. Предположим теперь, что векторы Ь и с пеколлинеарны. Тогда их векторное «роизведеиие не равно пулевому вектору и ортогонально ненулевому вектору Ь. Векторы образуют «равый орщоиориироваииый баэис в Рз (это и отра- жено в обозначениях).
В этом базисе справедливы следующие разложения вект«оров: Ь= |Ь!в, с=с1в+сзй, а =а14+азз'+азй, и поэтому Ьхс= -|Ь|сг1, ах(Ьхс) = -|Ь!сз(а1й — аз4). Кроме того, Ос = а1с1 азсз~ ОЬ = а1|Ь(, В результате находим, что н в случае неколлинеарных векторов Ь и с выполнено равенство к = -|Ь!сз(а1й — азъ) — (а1с1 — азсз)|Ь|ъ+ а1|Ь|(с14+ сэва) = О. Вопросы и задачи 2.1. Вычислить определители: а) Ь |ЬГ 2 О 3 7 1 6 6 О 5 Ьхс 1= —, Й=гху |Ьхс| ' 1 1 1 б) 4 5 9 16 25 81 75 Вопросы и задачи 2,2. Решить уравнения и неравенства: 1 — х 39 и 0 2 — х 2з 0 0 5+х =0; б) а) х — 1 0 1 х 1 0 — 1 х < 3; г) =0; в) 0< 3 х — 4 2 -1 3 х+10 1 1 =0; е) > О.
д) 2,3, Найти все значения параметра $, при которых система двух линейных уравнений йх — Зу= 2, 2х+ ($ — 5)у= 5 имеет единственное решение. Найти зависимость этого един- ственного решения от параметра 1. 2,4. Доказать справедливость равенств: Ь а' Ь ) Л~~ Ь а1 Ь а1+а1 61 аз+аз Ьз а) а1 61 с1 ьз аз Ьз сз в) а1 0 0 О Ь О 0 0 сз г) = а16зсз 2.5. Найти длину вектора с = а — 2Ь, если известно, что ~а) = 3, ~Ь~ = 5 и угол между векторами а и Ь равен 45'. а1 аз аз Ьз сг 61 с1 с 0 0 Ь О Ьз сз 1 1 1 хз 5 3 >О; хз 25 9 х хз хз -1 3 4 2 — 6 6 2 х+2 -1 1 1 — 2 5 — 3 х а1 с1 Ь1 аз сз Ьз аз сз Ьз а1 Ь1 с1 О Ь 0 0 сз 76 2.
ПРОИЗВЕДЕНИЯ ВЕКТОРОВ 2.6. Найти угол между векторами с = а — 2Ь и Ы = За + 2Ь, если известно, что (а~ = 3, )Ь| = 5 и угол между векторами а и Ь равен 120'. 2.7. Найти значения параметра 1, при которых векторы с = а — 1Ь и д = а+ 1Ь имеют одинаковую длину. 2.8. Найти площадь треугольника, построенного на векторах а = 24 — у+ЗЙ и Ь= й+З' — Й. 2.9. В треугольнике АВС угол при вершине А равен 45', ~АВ~ = 1, (АС~ = 4.
Найти угол между медианой и биссектрисой, которые проведены из вершины А. 2.10. Точки В1 и Вз принадлежат соответственно прямым Ь1 и 1,з, которые пересекаются в некоторой третьей точке + + А. Выразить через АВ1 и АВз векторы, направленные по биссектрисам углов между прямыми. 2.11. Найти угол между векторами е и Ь, если они имеют одинаковую длину, а векторы с = а — 2Ь и Ы = а+ ЗЬ ортогональны. 2.12. Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах а = 4 — ч'+ЗЙ, Ь= 24+З вЂ” Й, с= Зй+З+2Й.
2.13. При каких значениях ~ векторы а = 6 — йзЗ + РЙ, Ь= 24 — у — Й, с = -44+ 2З+5Й компланарны. 2.14. При выполнении какого условия равнодействующая двух сил, приложенных к одной точке, будет направлена по биссектрисе угла между ними? 2.15. Найти работу силы Г = з+ Й при перемещении материальной точки на вектор а = Зй — 21'+ Й. 2.16.
Найти угол между ненулевыми векторами а и Ь, если они удовлетворяют соотношению ~ахЬ~ = аЬ. 2.17. Векторы а, Ь и с некомпланарны, а векторы ах(Ьхс) и Ь коллинеарны. Найти угол между векторами а и Ь. Вопросы и эадачи 77 2.18. Доказать, что для любых трех векторов справедливо равенство (охЬ) хс = (ос)Ь вЂ” (Ьс)а, причем в его правой части в круглых скобках стоят скалярные произведения соответствующих векторов. 2.19.
Доказать, что любые векторы а, Ь и с удовлетворяют соотношению ах(Ьхс) +сх(ахЬ) + Ьх(сха) = О. 2.20. Доказать, что для любых четырех векторов о, Ь, с и д выполнено тождество (ахЬ)(ехай) = (ас)(Ы) — (ааЮ)(Ьс). 2.21. Доказать, что если два вектора равной длины лежат на одной прямой и однонаправлены, то их моменты относительно любой точки равны между собой. 2.22. Доказать, что если частица массой т с электрическим зарядом я со скоростью е попадает в постоянное магнитное поле с магнитной индукцией В и векторы о и В неколлинеарны и неортогональны, то она будет двигаться по цилиндрической спирали. Вычислить радиус основания соответствующего прямого кругового цилиндра и расстояние между соседними витками спирали. 2.23.
Для каких векторов о, Ь и с выполнены соотношения: а) ~а — Ь| = )а+ Ь); б) )а — Ь! ) ~а+ Ь|; в) )а — Ь| ( ~а+ Ь~; г) аЬ= ~аЙЬ~; д) ~ахЬ|=.~аЙЬ|; е) аЬс= ~аиЬЙс~. 2.24. Найти все векторы х Е $~з, удовлетворяющие данному условию: а) ах=О; б) ахх=О; в) ахх=Ь; г) ахх=Ьхх. 2.25. Какому условию удовлетворяют векторы а и Ь, если для любого вектора х Е Ъз выполнено равенство а хх = Ьхх. 2.26. Доказать, что для векторов а, Ь и с, удовлетворяющих условию о+Ь+с= О, выполнены равенства охЬ = Ьхс = сха.
2.27. Доказать компланарность векторов а — Ь, Ь вЂ” с и с — а. 3. СИСТЕМЫ КООРДИНАТ В основе аналитической геометрии лежит возможность однозначного описания точек при помощи наборов чисел, называемых координатами. Описание множества с помощью соотношений между координатами входящих в него точек позволяет привлечь для его исследования алгебраические методы, что значительно расширяет возможности анализа. Обратно, зависимости (уравнения, неравенства и их системы) можно интерпретировать как зависимости между координатами точек и ассоциировать с ними множество, составленное из точек, координаты которых удовлетворяют этим зависимостям, и, следовательно, получить наглядное представление чисто алгебраической задачи (например, в случае поиска решений уравнений и их систем).
Таким образом, возникает своеобразный мостик, связывающий алгебру и геометрию, Его роль выполняет система координат. 3.1. Декартова система координат Существуют различные способы задания точек набором координат. Аналитическая геометрия опирается на простейшую систему координат — прямоугольную, которая известна из школьного курса математики. Мы дадим определение прямоугольной системы координат, используя векторную алгебру. Фактически мы построим систему координат более общего вида, в которой оси координат могут находиться по отношению друг к другу под произвольным углом.
Прямоугольная система координат будет частным случаем, когда углы между осями координат будут прямыми. Назовем декартовой (аффиииой) системой коордииит пару, состоящую из фиксированной точки О и некоторого 3.1. Декартова система кооряягат базиса. Соответственно трем проспвранствам Ув, Уз, 1з получаем три варианта декартовой системы координат: на прямой, на плоскости и в пространстве. Декартпоеыми (аффинными) ввоординатпами произвольной тпочки М являются координаты вектора ОХ~ в заданном базисе.
С декартовой системой координат связаны следующие понятия: — начало (еиетпемы) координапв — точка О в составе декартовой системы координат; — ретвер — базис в составе декартовой системы координат, для векторов которого выбирается общая овечка приловкенил в начале координат; оси координапв (координатные оси) — прямые, на которых лежат векторы репера, задающие направление на этих прямых. Оси ямеют специальные названия (в порядке нумерации): оеъ абсцисс, осъ ординатп и осъ аппликапв. Координаты точки именуются по осям: абсцисса, ординапва и аппликатпа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
