Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Модифицируем вывод параметрических уравнений прямой. Коллииеариоствь векторов Мой и з, согласно следствию 1.1, эквивалентна равенству отношений их одноименных координат: 110 4. ПРЯМАЯ ИА ПЛОСКОСТИ откуда -х/а+ 1 = у/Ь, илн — + — = 1. (4.8) х у а Ь Уравнение прямой (4.8) называют уравнением прямой в отпрезках. Нормальное уравнение прямой. Определим прямую 1 при помощи перпендикулярного ей единичного векпюра и и расстояния р > 0 до прямой от начала системы координат. Существуют два единичных вектора, перпендикулярных прямой Е. Из этих двух выберем тот, который имеет начало в точке О и направлен „в сторону примоя" Ь (рис. 4.6).
Выбранный вектор и однозначно определяется своим углом <р с осью Ох, который отсчитывается против хода часовой стрелки. Координаты вектора У и легко вычисляются через этот М угол: и = (сов~р; в1п~р). Условие, что точка М(х; у) А принадлежит прямой Ь, эквива- лентно тому, что ортогональная Р О проекция радиус-вектора точки М на направление нормального Рнс. 4.6 вектора прямой равна расстоянию р от'точки О до прямои: пр„ОМ = р (см. рис. 4.6). Проекция пр„ОМ совпадает со скалярным произведением векторов Олв и и, так как длина нормального вектора и равна единице, и это приводит к равенству О лйп = р.
Записав скалярное произведение Олвп в координатах, получим уравнение прямой 1, в виде (4.9) хсов~р+ ув1п ~р — р = О. 4.3. Взаимное раепоаопеппе двух прамых 111 Уравнение (4.9) называют нормальным уравнением прямой. Параметрами в этом уравнении являются угол у между нормальным вектором прямой и осью Ох и расстояние от начала, системы координат до прямой. Общее уравнение прямой ах+ Ьу+ с = 0 можно преобразовать в ее нормальное уравнение делением на нормирующий множитель ~~~ее~+6г, знак которого выбирается противоположным знаку с. По абсолютной величине нормирующнй множитель представляет собой длину нормального вектора (а; Ь) прямой, а выбор знака означает выбор нужного направления из двух возможных.
Если с = О, то прямая проходит через начало координат (р = 0). В этом случае знак нормирующего множителя можно выбирать любым. Пример 4.2. Для получения нормального уравнения прямой из ее общего уравнения Зх — 4у + 10 = 0 вычисляем нормирующий множитель ~~/а~+ 6г, который для данной прямой отрицателен и равен — ~(3г+4г = -5. Поэтому нормальное уравнение прямой имеет вид 3 4 — -х+-у — 2=0. 5 5 В данном случае имеем р = 2, сову = -3/5, в1пу = 4/5, а 1о = агссов(-3/5). 4.3. Взаимное расположение двух прямых Фиксируем на плоскости прлмоуеольиую систему координапг. Две прямые на плоскости могут быть параллельными или пересекаться. Пересекающиеся прямые могут быть перпендикулярными.
Какая из этих возможностей реализуется для прямых Ь| и 1,г, всегда можно выяснить с помощью их общих уравнений 1,1. агх+Ьгу+с1-— О, 1г'. агх+ Ьгу+сг = О. 112 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Действительно, для параллельности прямых Ь| и 1г необходимо и достаточно, чтобы были коллинеарными их нормальные векторы та1 —— (а1', 64) и гаг — — (аг., Ьг), а коллинеарность векторов равносильна пропорциональности их координат.
Поэтому а1 61 14 !! 1г аг Ьг (4.10) Так как последнее равенство преобразуется в соотношение а16г — агЬг — — О, то полученное условие параллельности двух прямых можно записать при помощи определателя второго порядка: Ь 6 (4.1 1) Прямые 11 и 1г перпендикулярны тогда и только тогда, когда ортогональны их нормальные векторы. Условие ортогональности нормальных векторов п1 — †(а~,61) и тгг = = (аг,Ьг) эквивалентно равенству нулю их скалярного произведения га1таг = О, т.е., согласно (2.12), условию (4.12) а1аг+ Ь16г = 0 2 Два смежных угла в сумме дают 180'.
И условие параллельности, и условие перпендикулярности можно записать через угловые коэффициенты прямых. Для этого необходимо выразить угловые коэффициенты прямых через коэффициенты их общих уравнений: Йг — — -а1/Ьы Йг = = — аг/Ьг. Эти выражения позволяют записать условия (4.10) и (4.12) следующим образом: — условие параллельности: Й1 — — Ьг; — условие перпендикулярности: Й1 Ьг — — — 1. Две пересекающиеся прямые А1 и 1,г образуют два смежных угла. Один из этих углов совпадает с углом между нормальными векторалси. А угол между двумя векторами можно вычислить при помощи скалярного произведения. Отметим, что 4.4. Раеетоаиие от точки до апиной косинусы двух смежных углов различаются знаками, так как сое(к — |р) = — сов|о.
При этом положительное значение косинуса соответствует острому углу. Значение |о (меньшего из углов между прямыми Ь1 и Ьг) вычисляется согласно формуле )пгпг! (агаг+Ь1Ьг) ~п|~~М ~/ауг+Ь1~/а~+Ьг Угол между прямыми можно также выразить через угловые коэффициенты прямых. Этот угол представляет собой разность углов наклона прямых. Если Й1= |бр| и йг = |8<Рг— угловые коэффициенты прямых ь1 и Йг, то й| — йг |8 р 18( Р| 1ог) 1+й,й,' Приведенная формула учитывает не только значение угла, но и направление поворота вокруг точки пересечения прямых, при котором прямая Ьг совме|цается с прямой Ь1. Прямую Ьг можно поворачивать как по ходу часовой стрелки, так и в противоположном направлении. Два возможных угла поворота (без учета знака) в сумме равны 180'.
Значение острого угла поворота с учетом его направления определяется по формуле й| — йг |о = агс|8 1+ й|йг 4.4, Расстояние от точки до прямой Для вычисления расстояния от данной точки М до прямой Ь можно использовать разные способы. Например, если на прямой Ь взять произвольную точку Мо, то можно определить ортогональную проекцию вектора МД$ на направление нормальноео век|пора прямой.
Эта проекция с точностью до знака и есть нужное расстояние. Другой способ вычисления расстояния от точки до прямой основан на использовании нормальноео уравнения прямой. 114 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Пусть прямая Ь задана нормальным уравнением (4.9). Если точка М(х;у) не лежит на прямой 7,, то ортогональная проекция пр„ОМ радиус-векгкора точки М на направление едикичкоео нормального векткора к прямой Ь равна скаляркому произведению векторов Олу н и, т.е. хсов1р+ув1п~р. Эта же проекция равна сумме расстояния р от качала коордикагк до прямой н некоторой величины 6 (рнс.
4.7). Величина 6 по абсолютной величине равна расстоянию от точки М до прямой. Прн этом 6 ) О, если точки М и О находятся по разные стороны от прямой, и 6 ( О, если этн точки расположены по одну сторону от прямой. Величину 6 называют окзмяокекием тпочми М окз крямой. Отклонение 6 для точки М(х;у) от прямой Ь вычисляется как разность проекции пр„ОЛ$ н расстояния р от начала ко- ординат до прямой (см. рнс. 4.7), М т.е. 6= хсов~р+ув1п1р — р. По этой формуле можно получить н расстояние р(М,Ь) от точки М(х;у) до прямой Х„заданной нормальным уравнением: р(М,Б) =~6~=~хсовр+увт~р-р~. Учитывал приведенную выше Рис.
4.7 процедуру преобразования оби4еео уравнения крямой в ее нормальное уравнение, получаем формулу для расстояния от точки М(х;у) до прямой Ь, заданной своим общим уравнением: р(М,7,) = '*+ "+'. (4.13) ~а" + 6з Пример 4.3. Найдем общие уравнения высоты АН, медианы АМ н биссектрисы АР треугольника АВС, выходящих нз вершины А. Известны координаты вершин треугольника А(-1; -3), В(7; 3), С(1; 7). 4.4. Расстояние от точки до пряной 115 Прежде всего уточним условие примера: под указанными уравнениями подразумевают уравнения прямых Ало, Ьлщ и Ело, на которых расположены соответственно высота АН, медиана АМ и биссектриса АВ указанного треугольника 1рис.
4.8). Чтобы найти уравнение прямой Ьлм, воспользуемся тем, что медиана делит противоположную сторону треугольника пополам. Найдя координаты (х1, у1) середины стороны ВС х1 = = (7 + 1) /2 = 4, у1 = (3 + 7)/2 = = 5, записываем уравнение для ЬАЛ4 в виде уравнения прямой, проходяи4ей через дае точна, х+1 у+3 4+1 5+3 После преобразований получаем общее уравнение медианы А Рис. 4.В 8х — 5у-7=0. Чтобы найти уравнение высоты ало, воспользуемся тем, что высота перпендикулярна противоположной стороне треугольника. Следовательно, вектор В~~ перпендикулярен высоте АН и его можно выбрать в качестве нормального вектора прямой Ьлн. Уравнение этой прямой получаем из 14.1), подставляя координаты точки А и нормального вектора прямой ~'АН: (-6)(х+ 1) +4(у+ 3) = О.
После преобразований получаем общее уравнение высоты Зх-2у-3=0. Чтобы найти уравнение биссектрисы ЬА4з, воспользуемся тем, что биссектриса АВ принадлежит множеству тех точек 116 4. ПРЯМАЯ НА ПЛОСКОСТИ Х(х; у), которые равноудзлены от прямых ЬАВ и Ьлс. Уравне- ние этого множества имеет вид (4.14) Р(7у ~ АГАВ) — Р(7у ~ ьАС) ~ и оно задает две прямые, проходящие через точку А и делящие углы между прямыми ЙАВ и Ьлс пополам. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки, найдем общие уравнения прямых ЙАВ и алое х+1 у+3 ьАС 1+1 7+3 я+1 у+3 АГАВ. 7+1 3+3' После преобразований получаем йАВ. Зх — 4у - 9 = О, ЬАОч 5х — у+ 2 = О.
Уравнение (4.14) с помощью формулы (4.13) для вычисления расстояния от точки до прямой запишем в виде ~Зх — 4у — 9~ ~5х — у+2~ Преобразуем его, раскрыв модули: 5э — у+2 Зх — 4у — 9=~5 1/26 В итоге получим общие уравнения двух прямых (3 ~ 25/~/26) х + (-4 ~ 5/~/266) у+ (-9 Т 10/~/266) = О. (3 — 25/с/266)х+ (-4+ 5/~/266)у+ ( — 9 — 10/~/26) = О. Чтобы выбрать из них уравнение биссектрисы, учтем, что вершины В и С треугольника расположены по разные стороны от искомой прямой и поэтому подстановки их координат в левую часть общего уравнения прямой Ьлп должны давать значения с разными знаками.
Выбираем уравнение, соответствующее верхнему знаку, т.е. Вопросы и задачи 117 Подстановка координат точки В в левую часть этого уравнения дает отрицательное значение, поскольку (3 — 25/ч/266)7+ (-4+ 5/1/26)3+ (-9 — 10/~/266) = = 21 — 12 — 9+ ( — 175+ 15 — 10)/~/26 6= -170/ч/266, и такой же знак получается для координат точки С, так как (3 — 25/~/266)1+ (-4+ 5/~/26)7+ (-9 — 10/з/266) = = 3 — 28 — 9+ (-25+ 35 — 10) /~/26 6= — 34 < О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
