Канатников А.Н., Крищенко А.П. Аналитическая геометрия. Под ред. В.С.Зарубина, А.П.Крищенко (2-е изд., 2000) (1004035), страница 23
Текст из файла (страница 23)
а1 а12 а22 ... а~2 а л1 ат2 " ар~ь а1ь а2ь ° . аешь При транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами новой матрицы с сохранением нх порядка. Точно так же столбцы исходноЙ матрицы преврззцаются в строки транспонированной. Позтому транспонирование можно рассматривать как преобразование симметрии матрицы относительно ее славной диаеонали. Подробнее: б.З. ераиеиоиироиаиие матриц Пример 6.2. Транспонируем следующие три матрицы: 163 2 4 0 т а1 ь, т аз Ь, (а1,аз,...,ао) = . ~ . =(ЬмЬз,...,Ьа) У а„ Свойства операции транспонирования. 1о (4) 4 тт ~ Отметим, что матрицы (А ) и А имеют одянаковые размеры. Кроме того, [(А ) ]; = [(А )]; = [А]; . ~ 2'.
(А+ В) = А + В . М [(А+В) ]"=[(А+В)]'~=[А]1+[В]зз=[А ]11+[В ]11=[А + +В];,.» 3 . (ЛА) =ЛАт, ЛЕВ. ~ [(ЛА) ]; = [ЛА]; = Л[А],; = Л[А ];, = [ЛА ];;. ~ т Если А = А, то матрицу А называют скм.менърмческой, а т если А = -А — кососкламетприческоб. И в том и в другом случае матрица должна быть квадратной. Элементы симметрической матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно диагонали, равны между собой.
Действительно, [А ];1 = [А], я из равенства А = А следует, что [А]; = [А]; . Элеиеиглы же кососимметрнческой матрицы, расположенные на местах, симметричных относительно главной диагоналя, отличаются знаком, а диагональные — равны нулю. Действительно, [А ];, = [А]„. и из равенства А = -А следует, что [А],; = -[А];,. В частности, при е'=,1' выполняются равенства [А],; = -[А]В = О. В, МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 164 Пример 6.3, Матрицы < 3 — 2 1 и — 2 О -4 — симметрические, 1 — 4 2 0 2~ 0 — 2 1 а ~ ) н 2 Π— 4 — кососимметрические. -1 4 0 6.4.
'Умножение матриц Определение 6.6. Пусть даны лап~рина А = (аб) п~ипа озха и матрица В = (6; ) типа пхр. Произеедемиелв матприц А и В называют матрицу С = (с; ) типа дахр с элементама с;,=~~~ а»6»,, которую обозначают С = АВ. Произведение определено лишь в том случае, когда количество столбцов первого сомножителя равно количеству сшрок второго. В формировании элемента с; произведения АВ участвуют элементы 1-й строки матрицы А и 1'-го столбца матрицы В. Поэтому правило умножения матриц называют также правилом умножения „строка на столбец": у Пример 6.4. Найдем произведение двух матриц -1 1 -2 2 -1 2+1 0-2 3+2.1 -б 165 веа Умножение матриц Пример 6.5.
Произведением прямоугольной матрицы и мап1рицы-столбца является матрица-столбец: х1 аых1+а1зхз+...+а1пхп хз аз1х1+аззхз+...+азпхп ам а1з ... а1п аз1 азз ". аз. аы абаз " аып х„ а1п1 х1+ ар~2 х2+...+ Оипп хп Пример В.б. Найдем произведение трех квадратных матриц второго порядка, перемножив сначала первые две матрицы, а затем результат их произведения и третью матрицу: 1 2 -1 О О -4 -3+8 Π— 12 2 -1 5 -12 2 -1 -24 -8 Умножение матрицы-строки Х типа 1хп на матрицу-столбец т' типа пх1 дает матрицу типа 1х1, которую отождествляют с числом: у1 уз Ху =(хы хз, "., х ) уп и = (х1у1+хзуз+...+хну„) = ~ хьуь.
йм1 Таким образом, произведение любой матрицы-строки и любой матрицы-столбца, имеющих одинаковое количество элементов, есть число, равное сумме произведений их элементов с одинаковыми индексами. Если матрица-строка и матрица-столбец имеют разное количество элементов, то их перемножить нельзя. 166 В. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ Замечание 6.3.
Для числовых матриц типа 1х1 матричные операции суммы, разности, умножения и умножения матриц на действительные числа совпадают с соответствующими арифметическими операциями суммы, разности и умножения над действительными числами. Вот почему нх и отождествляют с числами. Существование произведения АВ двух матриц не означает существования их произведения ВА. Например, матрицы из примера 6.4 нельзя умножить в другом порядке. Чтобы матрицу А типа тхп можно было умножить на матрицу В и слева, и справа (т.е.
чтобы были определены оба произведения ВА и АВ), матрица В должна иметь тип пхт,. Квадратные матрицы А и В можно перемножить, если они имеют один порядок, причем в этом случае определены оба произведения (АВ н ВА), хотя равенство АВ = ВА обычно нарушается. Пример 8Л, Найдем произведения двух пар матриц А, В и С, Р в одном н другом порядке: 34 01 37 ' 01 34 34 Обратим внимание, что СР= С, РС = 9, хотя ни одна иэ этих двух матриц не является крлевой. ф Если определены оба произведения АВ и ВА и выполнено равенство АВ = ВА, то матрицы А и В называют поммуширрюм4нми нли перестпамовочпыми.
Коммутирующие матрицы всегда квадратные и одного порядка. Пример 8.8. Произведение диагональных матриц одного порядка есть диагональная матрица, элементами которой 168 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ 4 Если матрицы А, В имеют тип тхи, а матрица С вЂ” тип ихй, то и и ((А+ В)С]И = ~~' [А+ В]г[С)гу= ~ ([А]1г+(В]и)[С)гу = ги1 п » и =,,'Ь ([А)1г[С]гу+ (В]1г[С]г;) = ~1 (А)1у [С]гУ+ ~~1 (В]1г(С].У = г=1 г=1 г=1 = [АС]; +(ВС]1 = (АС+ВС]И.
3'. Существует такая матрица Е б Ми(К), что для любой матрицы А б Ми(К) выполнены равенства АЕ = ЕА = А. ~ В качестве матрицы Е можно взять едикичиую порядка и. ~ 4'. ДлЯ любой матРицы А б Ми(К) и иУлееой мапьРицы 6 б Ми(К) выполнено равенство А9 = 6. ~ Вычислим элементы произведения АО: и и (Ав];,=~ (А];„[е)„=~(А];„о=о. г»1 Видим, что все элементы матрицы Ает равны нулю. 1и 5'. Для любых матриц А и В типов тхи и ихй выполнено т т т равенство (АВ) = В А, т.е. транспонированное произведение двух матриц равно произведению в обратном порядке шраисооиироеаниыя ма1ариц. и [(АВ) );, = [АВ],; = ~~1 [А].„[В]„= ги1 п и =~) (А)„[В];г=~ [В);,[А ]г,=[В А )„., ° г=1 г»1 Операция умножения матриц позволяет ввести операцию возведения квадратной матрицы в натуральную степень.
Положим А1= А, А»+1 = АА", и = 1,2,... Отметим, что две степени 169 В Б. Блочные катрины А" и А'" одной и той же матрицы являются матрицами одного порядка н перестановочны: А"А = А А" = А"+ . Введем также нулевую степень кнадратной матрицы, полагая Ао = Е, где Š— единичная матрица того же порядка. Введенная степень матрицы позволяет для квадратной матрицы вычислять выраженяя вида а„А" +а„1А" '+...+аоАо, а; е И, 1=0,и, т.е. миоеочлеим от одного матричного аргумента.
Пример 6.9. Вычислим значение квадратиоео трехчлеиа р(х) = Зхз — 4х+ 5 для квадратной матрицы А=( ). Поскольку р(х) = Зхз — 4х+5хв, то р1А) = ЗАз — 4А+5Ао, где Ае = Š— единичнал матрица второго порядка. Вычислив -1 1 -1 1 -1 -1 находим р(А) =3 — 4 +5 — 3 — 3 4 — 4 О 5 1 -2 6.5. Блочные матрицы Если разделить некоторую матрацу А на части вертикальными и горизонтальными прямыми, то получаются прямоугольные ячейки, являющиеся сами по себе матрицами.
Эти ячейки называют 6локами маизрицьл. Сама матрица А может 170 б. МАТРИЦЫ И ОПЕРАЦИИ НАД НИМИ рассматриваться как таблица, элементами которой являются более мелкие матрицы М д: А = (М д). При таком построе- нии матрица А составляется из блоков, и поэтому ее называют блочмоб. Например, матрицу а11 аю аз1 а41 а51 разобъем на следующие блоки: и обозначим их аы а1г а1з а14 агз М11 а21 а22 агз М12 = а24 а25 а31 а32 азз аз4 аз5 а41 а42 а43 й а44 а45 Мгг — — ~ а51 а52 а53 а54 а55 Тогда матрицу А можно записать в виде блочной матрицы, элементами которой будут эти матрицы М е: А=(М~)=( " ' ).
Для составления блочной матрицы из серии матриц М„э необходимо, чтобы подмножества матриц из серии с одинаковым значением индекса а имели одинаковое количество строк, а подмножества матриц с одинаковым значением индекса эв а12 а1з а22 агз азг азз а42 а4з алг а5З а 14 а15 аг4 а25 а34 а35 а44 а45 а54 а55 171 6.6. Блочиые матрицы одинаковое количество столбцов. Эти подмножества образуют соответственно „блочные" строки и „блочные" столбцы 1соответствующие нескольким строкам или столбцам обычной записи матрицы).
Пример 6.10. Указанным требованиям удовлетворяют следующие четыре матрицы: (аы агг а12 1 М1 1 3 ~ а21 агг агг ~ С11 С12 С13 1111 1112 М21 = с21 с22 сгз ~ М22 = 021 Игг сз1 сзг сзз "21 "зг Поэтому из них можно составить блочную матрицу А= М21 М22 Основное свойство блочных матриц состоит в том, что операции над блочными матрицами совершаются по тем же правилам, что и операции над обычными матрицами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
