Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 62
Текст из файла (страница 62)
В частности, система собственных функ!(ий (Х») этой задачи Полна в оя (6). 3 а меч а н не. Пользуясь замечанием 4 27.7, можно доказать что собственные функции Х» гн С'(6); кроме того, Х» гн С' (6) (см. й 30.2). 7. Упражнения. а) Пользуясь формулой Пуассона (!9), доказать неравенство Горилки з. и (О) ( и (х) » — ' , и (О), ~ х,' ~ )(, справедливое для любой функции и (х) = О, гармонической в шаре (/ и непрерывной на (г', . Ь) Пользуясь неравенством Гарнака, доказать теорему.
всякая возрастаюшая последовательность гармонических функций в области 6 сходится (равномерно на каждом компакте К ш 6) илн к гармонической в 6 функции, илн к + со. с) 7(оказать равенство (' )са — )х(з ) 4л)7,) (х — у!а ' у !Р!=и !х! ' б) Пользуясь с), доказать, что интеграл Пуассона ! (' (х!з — ))з 4ийг,) ! х — у! 3 — ! ил (у) йо .,' х, ) )г ! у!=Я дает решение внешней задачи )(ирихле для шара (7 .
е) Показать, что и-мерный интеграл Пуассона ! ! !7» — (х'з ол)7,) , 'х — у И вЂ” и» (у) й5» 'г ' Я дает решение внутренней задачи»(ирихле для шара 6 ~ Цлг $ зо) оннкция гриня задачи дипихлв 432 1) Показать, что решения задач ххирихле и Неймана для полу- пространства хз > 0 представляются соответственно формулами хз ( ио (у) ,15 1 ( и~(у) 2л,) (х — у 1о "' 2л,) (х — у) о,=о о,=о то либо и(0 на 6, либо и(х) принимает свой (положительный) максимум на 0 на границе 5. )) Пользуясь 1), доиазать: если функция и са О(6)()С(6) есть решение краевой задачи — Ьи + д (х) и = Е (х), и 1 = о (х), (31) то справедливо неравенство ! 1и(сапог~ 1(Е)сгбг+ "огс<зг уо Оо= гпгп д (х).
о са о й) Пользуясь 1), доказать единственность решення задачи (31) в классе О(0)() 0(6) и его непрерывную зависимость от Е и и в норме С (при условии оо>0). 1) ((оказать, что решение краевой задачи (.и=). сси+8 — ~ =о ди) би )х единственно в классе О(6)ПС'(О), если УфО нли ифО, если ио (У) = 6 (1 у р о), и, (у) = 0(1 у (-г-'), ~ у( — ~ со при любом в > О; у-(уг, у.).
я) Пусть 0 — выпуклая ограниченная область в )гз, х(оказать, что краевая задача для стационарного уравнения переноса (см. 4 2.4) (з, агаб ф)+ссф=ЛИ (х) ф (х)+((х), ф (х)= — ф (х, з')г(з', ф (х, з) = О, х гы 5, (з. л„) < О, 4л 1 ! вквивалеитна интегральному уравнению Пайерлса (см. 4 18.5, д)). е о$ гр (х) = Ю (~ х — у 1) (ЛИ (у) ф (у) +) (у)) гзу, Ю (И = —. Здесь И и ) ш С (О), И (х) > О, и > О. и) пользуясь и) и теоремой ентчв (см. 4 20.7) доказать: все характеристические числа (Ло) однородного уравнения Пайерлса положительны, Л,— простое, соответствующая ему собственная функ.
цня грг положительна, система собственных функций (фо) полна в Хз(6: И). 1) Доказать следующий принцип максимума: если функция и(х) класса О(6)ДС(0) удовлетворяет в ограниченной области 0 диф- ференциальному неравенству (и ни — б(ч (р агаб и) + о (х) и .а О, р > О, д > О, уРАВнения эллиптическое'о типл )гл. ч гп) Пусть Π— положительно определенный оператор, т.
е. ().и, и)" О, и ш 77ы и ФО. Доказать: для того чтобы функция ие нз ьге была Решением УРавнениЯ Еи=8 7'ш Хе(6) необходимо н достаточно, чтобы она сообщала в лес мнннмум функционалу (Ви, и) — 2 йе(й и); решение ич единственно в ьле 9 30. Уравнение Гельмгольца Уравнением Гельмгольца называется уравнение (см. ч 2,3) Ли + мяи = — 7 (х). (1) При й = 0 оно превращается в уравнение Пуассона.
Теория уравнения Гельмгольца близка к теории уравнения Пуассона, однако имеются некоторые особенности, связанные с иеединственностью решения (при 7ге)0). Уравнение (!) будем рассматривать в трехмерном пространстве, и = 3. Соответствующие фундаментальные решения выражаются формулами (см. 9 11.9) ем~к' г-и~к! Ж(х)= — ', 6(х)= — '- —. 4п~л, '' 4п, х~ В дальнейшем считаем )т) О, 1. Условия излучения Зоммерфельда. Как было показано в 9 28.2, решение уравнения Пуассона во Всем пространстве единственно в классе (обобшенных) функций, обращающихся в нуль на бесконечности. Для уравнения Гельмгольца это утверждение уже не имеет места, поскольку соответствующее однородное уравнение Ьи+Йзи =0 (2) имеет в )сз ненулевое решение [щж(х) и ! обращающееся в 0 на бесконечности.
Чтобы выделить класс единственности решения для уравнения Гельмгольца в неограниченных областях, являющихся внешностью ограниченных областей, нужно пптгсбопать дополнительных ограничений на поведение решения иа бесконечности. Такими ограничениями являются 439 энавнвниа гвльмгольць 4 М! условия излучения Зоммерфельда (см. 2 2.3): и(х) 0()х~-'), — — йи(х)=о(~х~ '), ~х~ — » со (3) или и(х)-0(~хы'), —,+(йи(х) о(~х)-'.), )х)-».со. (3) В дальнейшем (си.
4 30.5) будет выяснен физический смысл условий излучения: условия (3) соответствуют рас- сеянным волнам (уходягцим в бесконечность), а усло- вия (3) — падающим волнам (приходящим из бесконечно- сти), Нетрудно проверить, что фундаментальные реше- ния Ь'(х) и Ж(х) удовлетворяют условиям излучения (3) и (3) соответственно. Заметим, что для гармонических функций (й=О) условия излучения вытекают только из одного требования: и(со) 0 (см.
з 24.10). С другой сто- роны, можно показать»), что при й)0 всякое решение однородного уравнения Гельмгольца, удовлетворяющее второму из условий излучения (3) или (3), удовлетворяет н первому условию: и(х) 0()х(-к), 2. Однородное уравнение Гельмгольца. Решения одно- родного уравнения Гельмгольца (2) обладают свойствами, аналогичными свойствам гармонических функций. Отме- тим некоторые из них. а) Если функция и еиС(С) удовлетворяет в обладли С уравнению (2) в обобщенном смысле, то и ен С (С). Это утверждение доказывается так же, нак и для гармонических функций (см.
4 24.7). Ц Пусть граница 5 области С вЂ” достаточно гладкая поверхность (в смысле З 28.2). Если функция ияС(С) удовлетворяет в области С уравнению (2) и имеет пра- вильную нормальную производную на 3, то справедливы формулы 1 с Ге'»~» "'ди(у) д ее»~» — е, 1 и(х) = — ~ ~ — — и(у) — ~е(5„, (4) 4л,~ ~ ~к — В~ дп дпе ~к — у~ д е '"" »1 *) См. И. Н. Векуа 12]. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !Гл. ч Доказательство этих формул аналогично доказательству формулы Грина (б) 9 24.! для гармонических функций. с) Если обобщенная функция и из дх" удовлетворяет во всем пространстве однородному уравнению Гельмгольца, то ияаль Действительно, применяя к уравнению (2! Преобразование Фурье, получим ( — !$!'+йь) с [и]=0, откуда следует, что Р[и]=0 при !$)~й, т.
е. Е[и] — финитная обобщенная функция. Но тогда, по теореме 2 9.4, и ее Е-'[Е[и]] ее дм. д) Будем говорить, что обобщенная функция и(х) удовлетворяет условиям излучения (3) или (3), если она— класса С' вне некоторого шара и удовлетворяет условиям (3) или (3). Если обобщенная функция и удовлетворяет во всем пространстве )г' однородному уравнению Гельмгольца и условиям излучения (3) или (3), то и (х) =О, хек )сь. Действительно, пусть решение и уравнения (2) удовлетворяет условиям (3).
Тогда и ен еК' и, в силу с), и ее енС ()сь). Применяя формулу (4) к шару Уя произвольного радиуса )с, при )х/ ~ )с получаем с Гем'к-Р ди(у) д еь' РП и (х) = — ~ ~ — — и (у) — — ] дЮ = ля ,3 ~ (х — у! д(у! д/у! (х-у! ] ь зя зя Принимая во внимание условия (3) !и(у)!'- ц" ~!дту! 'йи(у)~ - р !у!=)' где т!(й) -~0 при г(-к-со, и неравенства лс — |х!~(у — х!~й+(х), )х!(я, )у(=ее„ 44! УРАВНЕНИЕ ГЕЛЬМГОЛЬЦА 4 зо! оценим последний интеграл при больших )с! )и(х) / < -4 — 1,, 1,—,+ —,, (,(-У)-К~+~ )+ Устремляя в правой части полученного неравенства )с к со, заключаем: и(х) =О, что и требовалось установить.
Аналогично рассматривается и случай условий (3). 3 а меча н не. Справедливое более общее утверждение '): если граница 5 области 0 — достаточно гладкая поверхность, Функция и ~в С (б,) удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца в области о, =й", К имеет правильную нормальную производную на 5, удовлетворяет условиям излучения (3) или (3) н граничным условиям ви ( и! О или — ! =О, то и(х)=О, кабо дм !э 3. Потенциалы. Пусть р — обобщенная функция.
Свертки е!""' — м!х! = — ар= — 4пйвр, )г=' ар= — 4п8*р (х! !Х! являются аналогами ньютоновых потенциалов (см. ~ 2?), ЕСЛИ Р фнинтиаЯ, тО Этн ПОтсипнаЛЫ ПРИНаДЛЕжат ех'" (см. 2 8.6) и удовлетворяют уравнению Гельмгольца (см. 2 1!.3) Ли+яви= — 4пр. Таким образом, решения уравнения Гельмгольца (1) существуют в ех" для любой финитной обобщенной функции ) и представляются потенциалами и= — Же), й= — Жв), (5) При этом ре!пение единсп!венно в классе обобщенных функций, удовлетворяющих условиям излучения (3) или (3) (см. ф 30.2, д)).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
