Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Далее, этот ряд можно почленно дифференцировать по г, '"','" ='5'( —,',)''У,(Е, Ф), (30) г ! поскольку ряд (30), в силу признака Абеля, сходится в С(бгн). Наконец, сумма ряда (30) на Яе согласно (24) совпадает с ), если функция г удовлетворяет условию (27) разрешимости внутренней задачи Неймана (см. $28.4). Это и значит, что ряд (28) дает решение внутренней задачи Неймана для шара Ун с и(=7 при выполнении условия разрешимости (27). Аналогично доказывается, что ряды (28) и (29) опре- деляют решения соответствующих внешних краевых задач.
В 29. Функция Грина задачи Дирихле 1. Определение и свойства функции Грина. Функцией Грина (внутренней) задачи Дирихле дли (ограниченной) области О называется функция Р (х, у), х я 6, у ~ 6, удовлетворяющая следующим свойствам: 1) При каждом уев 6 представляется в виде у(х, у)=, +у(х, у), (1) где функция у(х, у) — гармоническая в О и непрерывная на 6 по х. ° ) Си. Г, гт(. Фихтенгольц 111, т, 11, 424 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ. У 2) При каждом у~ 6 удовлетворяет граничному условию (2) Из условий !) и 2) вытекает, что функция е (х, у)— гармоническая по х в области 6",',у), непрерывная в б'~(у), обращается в пуль на 5 и стремится к + СО при х- д.
Отсюда, в силу принципа максимума (см. 2 24.4), вытекает, что Р(х, у)>0, хя 6, уен 6. )(алее, гармоническая функция у(х, у) удовлетворяет граничному условию 4 ~ — (' ! откуда следует, что у(х, у) < О, х я 5„ у ен 6. Но тогда, в силу принципа максимума, это неравенство сохранится и в области 6, т. е.
у(х, у)<0, хя6, уев 6. Итак, в силу (!), функция Грина удовлетворяет неравенствам 0«у(х, у)< 4 —, хе=6, де=6, хт у. (4) ! Из единственности решения задачи Дирихле (см. З 28.2) вытекает, что функция Грина У (х, у) единственна (если она существует). Физический смысл функ,е и и и Г р и на. Из определения функции Грина у(х, у) следует, что при каждом вен 6 она удовлетворяет в обобщенном смысле уравнению Пуассона Л,,У(х, у)= — б(х — у), хен6, и обращается в нуль на границе 5.
Рис. 94. Поэтому функцию е (х, у) можно ин- терпретировать как кулонов потенциал (см. Э 27.3), порождаемый внутри заземленной прово- 1 дящей поверхности 5 зарядом + — „, находящимся в точке у~ 6 (рис. 94). Функция у(х, у) непрерывна по совокупности переменных (х, д) в 6х6. Пусть к„я 6, де~ 6 и (х, и)- (хы у„), хан 6, уя 6. Пользуясь непрерывностью функции у(х, у) по х, прин- о 291 ФУНКЦИЯ ГРИИА ЗАДАЧИ ДИРИХЛВ ципом максимума и равенством (3), получаем !а(хо, у.) — а(х.
у) ~- ~ д(хо, у,) — д(х, уо) ~+/д(х, у,) — д(х, у) ! ( 1 :=:-~й(хо, уо) — ь(х уо)(+гпах — ~, —, )-о О, з 4л~ !х' — уо! ~х' — у! что и доказывает непрерывность функции д в точке (х„у,), Те о р е м а. Если 5 — достаточно гладкая поверхность, то функция Грина,~~(х, у) существует, имев!и правилвдй (х, у) ную нормалвную производную ' " на 5 при всех у~6 дл и симметрична: ,,'Р(х, у)=49(у, х), хенО, уяО. (5) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно установить суще- ствование симметричной функции д(х, у), обладающей прн каждом уев 6 следующими свойствами по х: гармо- ническая в 6, непрерывная на 6, удовлетворяет гранич- ному условию (3) и имеет правильную нормальную про- изводную на 5.
! Фиксируем у ~ 6. Функция — — ! х — у ,'-', х ен 6„ есть, очевидно, решение внешней задачи Неймана с гра- ничной функцией и!" (х, у) = — — —, х ~ 5. ! д 1 4л дпх ~х — у!' (б) С другой стороны, по теореме 1 3 28.4 это решение представляется в виде потенциала простого слоя (х у)= д5 ° , 'х — у' ! с непрерывной плотностью р(у', у) по у'ен 5. Поэтому, в силу единственности решения внешней задачи Неймана (см. й 28.2, теорема 4), )У!о!(х, и)= —,, хенО,. 1 (7) 4л!х — у' ' Потенциал )У'о! гармоничен в 6 и непрерывен в )со (см.
3 27.2) и, в силу (7), удовлетворяет граничному условию (3). Поэтому й'(х у) )Г (х у) и (У ' ) д59 х 6 (8) 426 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [гл. у О тсюда по теореме 2 27.7 следует, что функция а(х, у) имеет правильную нормальную. производную (изнутри) на 5 и эта производная, в силу формул (46) 2 27.7 н (8), равна да(х, у) ! д = 4п)х (х, У) — — д — —,, х ви 8, (9) пх Осталось доказать симметрию функции а(х, у). Применяя формулу Грина (13) 5 28.3 к функции а(х, у) и пользуясь граничными условиями (3) и (9) и формулой (8), при всех хе= 6 и у~ 6 получаем а(х, д) = 4п ~ ~ )х — у'~ дп„ вЂ” — — — аЬ', д)— ! ТГ 1 ду(у', у), д 1 дп„, ~ х — у' * — ~ а(д', х) — 'йЯ„+ де(у', у) + ~ а(у', у)~ — — — ' — 4п)х(у', х)~йЯ„ !'ду(у', х) ~аЬ,д) , — аЬ,.) — 4п ~ а (у', у) р (у', х) й5„= ~(а(у', у) ла(у', х) — а(у', х) Ьа(у', у))йу'+ в Теорема доказана.
Из симметрии функции а(х, у) вытекают следующие дополнительные свойства ее: непрерывная по (х, у) в 6х6, при каждом х ен 6 — гармоническая по у в 6, принимаеп! значение — — )х — д(- при д~5 и имеет правильную ! -1 4п да(х, у) нормальную производную а~ ' " на Я, дпх 2. Примеры построения функции Грина (метод отра- жений). Для построения функции Грина для.
области с достаточно широкой группой симметрии весьма эффек- тивным оказывается мепид отражений. Этот метод мы проиллюстрируем на ряде примеров. % 291 ФУНКЦИЯ ГРИНА ЗАДАЧИ ДИРИХЛВ а) Шар, (ел. Пусть уец(еу, уФО и и =У !У!!У !=1г ° !Ур ' (10) — симметричная точка относительно сферы 5л при преобразовании инверсии (см. й 24.10).
Ищем функцию Грина в виде Р (х, ) = — " . , (11) 4л!х — у! 4л!х — у*! ' где — — — неизвестный заряд в симметричной точке у*. 4л Функция а 4л ! х-уе ! — гармоническая в (ел 4" и принадлежит классу С" (17у). Подберем величину а так, чтобы функция ,Р(х, у) обра- ф тилась в нуль иа гра- е7 нице 5л. Для этого заметим, что при ! х! = )с треугольники Оку* и Оху уе подобны: один угол у се них общий, а прилегающие стороны, в силу Риа 95. (10), пропорциональны (рис.
95). Поэтому при !х! = )с справедливо соотношение и,'х — уе ! !у! и, следовательно, в силу (11), необходимо положить а = = —. Итак, й !У!' 1 11 4л!х — у! 4л!у!!х — у"! ! — (12) я!у! 4л!к — у! 4л!х,у!л уяз! есть функция Грина для шара. Формула (12) сохраняет сиду и при у=О; ! ! 'у(х, 0) = — — —. 4л!х! 4лл' 428 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1гл.
ч Ь) Полупространство, хв)Оа). Пусть точка у=(д,, у„у„) лежит в этом полупростраистве, да)0. Точка д = (у„у„— у,) называется симиепгричной с точкой у Рис. 97. Рис. 96. относительно плоскости ха=О (рис. 96). Нетрудновидеть, что функция Грина для полупространства ха)0 определяется формулой 'у(х, )= 1 1 4л1х — р1 4л, :х — у ~ ' (13) с) Полушар, 1»1()с, х, О. Пусть точка у лежит в этом полушаре; у* — точка, симметричная с у относительно сферы 5я', у и у* — точки, симметричные с д и у* относительно плоскости х,=О (рис.
97). Функция Грина выражается формулой Р х, 1 17 1 4л1х — р ! 4л ~ р1 ~ х — уь 1 4л1» — у ~ + )7 + 4л, р 1» ° (14) д) Двугра нный угол, хв)0, х, »О. Пусть точка у=(ух, у„уа) лежит в этом двугранном угле, уе)0, ув)0; у и у' — точки, симметричные с у относительно плоскостей ха=О н х,=О соответственно; у' — точка, сим- *) Эта область неограничеиа (см, также пример б)). Функция Грина М(х, у) для таких областей, кроме условий !) и 2), должна удовлетворять условито э (х, у)-~0 при 1»(-ьоо, у ы О, % хэ! еункция гунна зхдлчи дияихлв 429 метричная с у относительно плоскости хе=О (рис. и8).
Функция Грина имеет вид ! 1 4п!х — у~ 4п'х — у~ — +, . (15) 4з х — у' ~ 4п ~ х — у'! Аналогично строится функция Грина и для двугран- п ного угла раствора —, где и — целое, п ) 3. Л' Рис. 98. 3. Решение краевой задачи с помощью функции Грина. Впредь в этом параграфе будем считать, что 5 — доста. точно гладкая поверхность (см. 9 28.2).
Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле для уравнения Пуассона Ьи= — г'(х), и)э=и,(х). и ~ Се(6) ПС(6), (16) где (ен 2',(6) ПС(6) и и,ен С(5). Как установлено 9 28.2, решение этой задачи единственно. Теорем а. Если решение и (х) задачи (!6) имеет при. вильную нормальную производную на 5„то оно предсаиюляется 4ормулой (1=- — ~ д„' мыл,~-(х(, о)ио)ч, (!л У хен6. Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию решение и ш енС'(6) ПС(6), имеет правильную нормальную производную на 5 и Ьи =- — (, ) ~ Ж (6) П С (6). Применяя к функции и(х) формулу Грина (1) 9 24.! при п=З и учитыаля УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 1гл. ч (16), получим и(х) = — ~ 1г— 1 !' Гди (у! ! д ! 4л~ ( длу !х — у! — иа(у) — 1а(о + дл„! х — у ! + — ~, У, а(у, х~ б.
(18) о Далее, при каждом х ~ б функция д(х, у) гармоническая по у в б, непрерывная по у на б и имеет правильную ду(х, у) нормальную производную у ' " на 8 (см. 2 29.2). При- длу меняя к функциям и (у) и д (х, у) формулу Грина (8) 2 21.2, выводим равенство о-) ['— ,"'"аи, д> — .<а>",'" "')аа„у + ~ 1(у) я (х, д) а(у, х ее б. Прибавляя это равенство к равенству (18) и пользуясь (1) и (3), получаем формулу (17). Теорема доказана.
4. Формула Пуассона. Вычислим теперь нормальную производную функции Грина для шара (ул на сфере Ял. Пользуясь выражением (12) для этой функции, получим дМ(х, у! ! д л[у! длу !Вл д!у! [4л!х — у! 4л!х!у['а — ура,'1! у л 1 д! 1 4л др [1~! к 'а + ра — 2 ! х ! р с и т и ла+ [ к,а ра — 212а ! к ! р соа Яр и [х[а )аа !х1а иа 4лл (Ла+ ! х р — 28 ! х ! с<и т) П 4лр ! х — у !а ~ у и Эа И формула (17) для шара 0л при )'=0 принимает вид ( а) = 4 ~, ! и (у) Б8„.
[х[()т (Гй) ~у~=а Это и есть формула (интеерал) Пуассона. Она аналогична формуле Коши для аналитических функций. 5 ги ченкция гения задачи дияихлн 431 (22) — гармоническая в области 6. Док аз а тел ьство. Так как функция д(х, у) непрерывна по (х, у) в бх б и гармонична по х в 6 (см. ч 29.1), то г' ен С (6) и для любой ~р ы З~ (6) справедливы равенства ~ у ((х) Л~р (х) дх = ~ ~~ д (х, у) 1 (у) ду ( Ьгр (х) Их = ~1(у) ~~ у(х, у) Лгр(х) с(х~с(у О, так как у удовлетворяет уравнению Лапласа (см;9 29.1). Поэтому функция )7 (х) — обобщенно-гармоническая и, значит, гармоническая в области 6 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
