Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Обозначим через Я и Г границы областей 6 и 0 соответственно. Тогда (8х0) 0 ()(бхГ) есть граница области бх0 ~)та»'". В области 6 х 0 рассмотрим следующую краевую задачу на собственные значения для уравнения эллиптического типа: йи+ Ми = йи, (!) аи+р-н ! =О, +б д 1 — О (2) д" зхл д" 1дхг метод Фг ьг. где (. и М вЂ” эллиптические операторы, не зависящие от у и х соответственно; функции и, 6 не зависят от у и функции у, 6 не зависят от х.
Будем искать собственные функции задачи (1) — (2) в виде произведения Х(х))'(у), и (х, у) = Х (х) )' (у). (3) Подставляя это выражение в уравнение (1), получаем 'г' (у) ЕХ (х) + Х (х) М )'(у) = ЪХ (х) )' (у), откуда ЪХ (х) Ъ М)' (у) Х (к) )' (у) Левая часть равенства (4) не зависит от у, а правая— от х, Следователвно, эти выражения не зависят ни от х, ни от у, т. е.
равны постоянной. Обозначая эту постоянную через р н полагая т=Ъ вЂ” р, нз (4) получаем два уравнения: (Х = рХ, (5) М)' = т'г'. (6) Таким образом, уравнение (1) расщепилось на два уравнения (5) и (6), или, как говорят, переменные разделились; при этом дополнительно появился неизвестный параметр р. Для вывода граничных условий для функций Х(х) и 'г'(у) подставим произведение Х (х) У (у) в граничные условия (2). В результате, после сокращений, получим аХ+)) ап ! =О, (7) (8) Итак, краевая задача на собственные значения (1) — (2) распалась на две краевые задачи на собственные значения (5) — (7) и (6) — (8) с меньшим числом независимых переменных.
Обозначим через р», Х„,(х), 1=1, 2, ..., и т), )')(у), ) =1, 2, ..., все собственные значения и собственные функции операторов 6 и М соответственно. В силу (3) Ъ„~ — Р„-1-», и„,(х, У)=Ха(х)У)(У), )г, 1'=1, 2, ..., (9) 390 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА )гл. ы суть собственные значения и собственные функции исходной краевой задачи (1) — (2). 3 а и е ч а н и е. Пусть ортонормальные системы собственных функций (Хь) и ()гу) полны в ое(С) н 2а(0) соответственно (см. $ 2) Л), Тогда по лемме 4 ).9 система собственных функций (Хьг'г) ортонормальна и полна в юз(Сх))).
В эхом случае формулы (9) дают все собственные значении и собственные функции краевой задачи (1) — (2). 2. Примеры. а) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для прямоугольника П=(0, 1)х(0, и) с границей Ь (рнс. 83): деи пи — — —,=Хи, и)с*=0. длз дуе (10) В соответствии с общей схемой метода Фурье эта задача распадается на дае одномерные краевые задачи: — Х" = рХ, Х (О) = Х ()) = 0; (11) — У" = УУ, У (О) = У (гп) =*О. (12) Собственные значения и собственные функции этих краевых задач вычислены в 9 22.4; l йлтв Г2 . йлл ра=~ ) ~, Ха(х) у — з!и —, й 1, 2, ...; (13) ыу=~ — ~, Уу(у)= ~ — з!и — „, 1-1, 2, ...
(14) (/л Р -е Г2 . )Лу Из (13) и (14) в соответствии с формулами (й) получаем следующие собственные значения и собственные функции краевой задачи (!О): )ьау —— пз'()е + — в), Хе)(х, у)==з!и — з!и, (15) зlйз Р) 2 . Алх . )лу лаву' й, ) = 1, 2.... Так как построенные ортонормальные системы собственных функций (Х,) и Щ полны (см. 9 22.3), то в силу замечания 2 26.1, других собственных значений и собственных функций задача (10) не имеет. Отметим, что собственные значения )ьеу могут повторяться, т. е.
)ьау=й»,, при некотором наборе номеров (й, )). Количество таких повторений, равное числу решений в целых метод еи ьв числах уравнения йй 1й йй )й + = + Н ийй 1й ийй ' дает кратность собственного значения Хйд,. Например, при 1=гп = 1 кратность Хйй = )ййй =)ййй = Х~й равна 4 (4'+7' =7'+4'=1'+8'=8'+1'). Рис. 84. Рис. 83. Ь) Рассмотрим краевую задачу на собственные значения для круга Ул (рис. 84): — Ли=Хи, и)з, — — О. (16) Эту задачу удобно решать в полярных координатах х= =гсозф, у=гипф, 0(г<)7, О=фС2п.
В этих координатах задача (16) для функции й (г, ф) = = и(г сох ф, гз(пф) принимает вид (см. 9 3.2) 1 д l дй1 1 д'й — — — ~г — ) — — — =И, й(Я, ф)=0, (17) г дг '1 дг) гй дфй К граничному условию при г= Я необходимо еше добавить граничное условие при г=О. Это условие состоит в том, что функция й должна быть ограниченной в окрестности точки г=О. Лалее, функция й, очевидно, должна быть 2п-периодической относительно ф. Применяя к задаче (17) метод Фурье, для функции й (г, ф) = иЯ' (г) Ф (ф) получаем две одномерные краевые задачи: — Ф" = РФ, Ф(ф) =Ф(и + 2п); (18) г(гЛ')'+()йгй — р)Я=О, 1еЯ'(0))~со, атыйи()7)=0.
(19) 392 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА англ. у Собственные значения и собственные функции задачи (18) легко вычисляются (тригонометрические функции): ра=й', ФА(тр)==егьа, Й=О, 1, ... (20) Р'2л Далее, уравнение (19) есть уравнение Бесселя (см. 2 23). Ограниченное в нуле решение оч (г) зтого уравнения при р=йе выражается функцией Бесселя гх()/Лг). Чтобы получить собственные значения Л, нужно воспользоваться вторым граничным условием (19), ,)*.()/М)=0, т. е.
)ггЫ=р,'"1, где )т<", 1=1, 2, ...,— )толожительные корни функции Бесселя га (р), Отсюда следует, что Люк = ~1 аЯ аг (г) = сдг,)А ~ р!!»! — ' ), 1= 1, 2, ..., (21) Ы"'1* — собственные значения и собственные функции краевой задачи (19) при р = й'. Выбирая нормируюшие множители гег такими, что гг и .. - у ) "(тт'е)'"'-~/АЬ~"Н. получим ортонормальную и полную систему (ой'Ат) в 2'т((0, й); г) (см. 5 23.7).
Из (20), (21) и (22) получаем, что Л 111 Л. 1' / озте уе(р)А! — ) е'Ав й =0 1, ... ля уетр,. т суть собственные значения и собственные функции краевой задачи (17), а значит, и задачи (16) '). ') Строго говоря, пока установлено лишь, что функпии Хвт удо. влетворяют уравнению (!6) при Л=Л в 1/, ~,10). Йо иа равенства СО / х, + гх 1ь ~т < — ! !Р (х' + хБР 2 / ~и 4РГ (р+А+1) Г(р+1) р а (см, 4 23.!) следУет, что Хау гм С'ь(У, ) (сР.
й 30.2). ПоэтОмУ УРааввние (16) будет удовлетворено и в точке х 9, метод етеье Нули собственнойфункцни1гп Х„(х) сэ,/б(р,'и~.)б(п 3/р изображены на рис. 86. По лемме 8 1,9 система собственных функций «Х„/) ортонормальна и полна в Х,((///), и поэтому других + сойствениых значений и собственных функций задача (16) ие имеет. — + + с) Рассмотрим краевую задачу на собственные зна- + + чения для трехмерного шара (/хл + + — Ьи=)и, и| =О. (24) + + Эту задачу удобно решать + в сферических координатах (г, 8, /р), 0(г<!т, 0(8<и, 0(Ч/<2и.
В Рис. 85. этих координатах задача (24) для функции й (г, 8, ч) = — и(г яп 8 сох/р, г з(п 8 яп!р, г сох 8) прйнимает вид (см. 8 3.2) ! д / эдй! ! д / . дд ! ! /Ид — — — ~г' -( — —.— ~з!и 8 — ) — — — = )!и (26) г~ дг ~ ду/ т~юпбдб~ дб,) г~ап~б доз «й (О, 8, <р) « - со, й Я, 8, <р) = О, й(г, 8, !р) =й(г, 8, /р+2и). (26) В соответствии с общей схемой метода Фурье собственные функции задачи (25) — (26) ищем в виде произведения чг/ (г) У (8, ч~). Разделяя переменные, для функций У и М получим краевые задачи ! д/.. дг! ! дзУ вЂ” — !з!пб — !+ —., —,+р)/=0, )ге=С (5,); (27) (г'М')'+ (1!г' — р) М = О, ! Я (0) «< сю, М (!т) = О.
(28) При р=1(!+1), !=О, 1, ... задача (27) имеет решения и этими решениями являются сферические функции У/, т=О, +-1, ..., .+.1(см. ф256). При р='!(1+1) уравнение (28) для функции егг! — — 'бгеб' превращается в уравнение. Бесселя (см. 8 23)- гзей'!'+ гай';+ ~Аг' — ~1 + — ) ~ейР! — — О. ЗВ4 УРАВИЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. Ч Поэтому ограниченным в нуле решением уравнения (28) является функция 7 (Г) = †' 7, ()ГЛ Г). (29) Чтобы удовлетворить граничному условию иЯ' ()т) = О, необходимо положить в (29) )ГЛ)т = р) зг, где р) положительные корни функции Бесселя У ~ (р). Итак, !+ +г (30) 1=0, 1, ..., 1= 1, 2, ..., Гл = О, -+.
1, ..., .+.1, — собственные значения и собственные функции краевой задачи (24). Выбирая нормирующие множители с„такими, что (см. формулы (35) 9 23.7 ц (30) $ 25.6) — = ф~ ~ ~ ~Р 1(р( т)--([у7(а, ~р)1 г((ги(байр = /' ( ( + 2)1 1/ (+~0и ((+'~ ~)( (31) с.(. ~ ~~! / В' 2(+( (( — )т0(' и учитывая ортогональность и полноту функций Бесселя в Х,[(0, )7); Г1 (см. 2 23.7) и сферических функций в Х,(5,) (см.
з 25.6), в силу 'леммы з 1.9 заключаем, что система собственных функций (30) ортонормальна и полна в Х,(УЕ), поэтому других собственных значений и собственных функций задача (24) не имеет. Аналогичнымобразом рассматривается и краевая задача ди — Ли=Ли, — +пи~ =О, а~О. й 27. Ньютонов потенциал Этот паравраф посвящен более детальному изучению свойств ньютонова потенциала в трехмерном пространстве (см. $ 7.10). Этот потенциал определяется как свертка % 2Л ньютонов потенциал У(х) =0 ~ — !„!), )х)- со. Действительно, так как 6 — ограниченная область и р ы С(6), то по теореме З 1.6 интеграл (3) принадлежит Стаях), и по формуле (7) 3 1.6 У (х) = О ( — !), !к ! - оо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
