Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 53
Текст из файла (страница 53)
е. в обоих случаях и*(х*)=о(~Ж„(х*)!), !х* - О. По теореме о стирании особенностей гармонической функ- ции (см. 8 24.6) заключаем, что функция и*(х*) гармо- ническая в шаре Уя. Совершая обратное преобразование Кельвина, для функции и(х) получим представление и(х) =( — ) и'( —,х), из которого.н вытекают результаты (33) — (35). Теорема доказана.
Аналогично для и = 2 доказывается (ср. $ 24.5); если и(х) — гармоническая е области Ои непрерывна на сь! 374 уРАВнения эллиптическОГО типа (тл. тг и и (х) = О (1), ~х ~ -+оо, гпо ! и(л)' ,~!пах) и (х)), хан Ох. (Зб) кез )!. Упражнения. а) Пользуясь теоремой о среднем арифметическом (см. 4 24.3), доказать следующую модификацию втой теоремы: если функция и(х) — гармоническая в шаре У и непрерывная иа (7 и(О) — — „~ и(х)й. и Ь) Пользуясь а), доказать теор е и у Л н у в и л л я: если функ* ция и(х) — гармоническая в )7х и ограничена сверху (или снизу), то и (х) = сопз!. с) Пользуясь утверждением Ь) 4 24.3, доказать следующий ана. лог принципа симметрии Римана — Шварца: пусть гра- ница области 6 содержит отлх крытое множество Х, лежащее в плоскости х„= О, функция и (х) гарлюническая в 6 и обращается в нуль на Х, тогда нечетное продолжение функция и(х) в область 6, снмметрич.
ную к 6 относительно плоско. а стн х„ = О, есть гармоническая функция в области 6 ц Х () 6 (рис. ВО). д) Йоказать теорему: если Рис. 80. и — линейный непрерывный функционал на 2У(6) (см.45.5, замечание) н удовлетворяет уравнению Лапласа в области С, то и— гармоническая функция в 6. е) Пользуясь б), доказать: если обобщенная функция и удовлет- ди воряет условию Коши — Римана — =0 в обласщ 6<=)7з,.то оиа анв- де лнтична в С.
!) Пользуясь же~одом 4 24.9, доказать теорему Лиувилля для аналитических фуннцнй. й) ххоказать формулу Грина (5) для функций, гармонических в Сх-гса'56, имеющих правильную нормальную производную иа 5 еа65 и и(со)=0. й 25. Сферические функции Рассмотрим еще один класс специальных функций, важный для математической физики, 1. Определение сферических функций. Сферической Функцией йферической гармоникой) порядка 1-0, 1, ... называется всякий однородный гармонический полипом СТЕПЕНИ 1, РаССМатРИВаЕМЫй Иа ЕДИНИЧНОЙ СФЕРЕ ОХ~ )та. зтв УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ.
М дает общий вид однородного гармонического полинома степени 1 в )кз. Наша задача — вычислить все сферические функции Кн 1=0, 1, ..., на сфере 5Г при п= 3. 2. Дифференциальное уравнение для сферических функций. Найдем дифференциальное уравнение для сферических функций на сфере 5„при п=З. Это удобно делать в сферических координатах (г, Э, ц), О=.г гх>, 0 8== «л, О=~у(2л. Применяя к гармоническому полиному и,(х) =г'у,(а, ~р) (6) оператор Лапласа (см. (14) %3.2), для сферической функции )г, получаем дифференциальное уравнение 1 дГ. дур~ ! дзк~ — -~з)па — ~+ —.— — +1(1+1))',=О.
(6) впаду(, дэ ) апзе доз Решения уравнения (6) будем искать в классе функций С" (5,). Для того чтобы функция У, была сферической функцией порядка 1, необходимо и достаточно, чтобы она принадлежала классу С" (5,) и удовлетворя та уравнению (6). Необходимость условий уже доказана. Докажем их достаточность. Пусть ~ункция )г~енС (5,) есть решение уравнения (6), Тогда функция ин построенная по формуле (6), удовлетворяет уравнению Лапласа в сферических координатах н, значит, гармонична в )7з' (0).
Кроме того, эта функция ограничена в окрестности точки х=О. По теореме о стирании особенностей гармонической ункции (ем. 2 24.6) функция и,— гармоническая в )гз: злее, эта.функция — однородная степени 1, Отсюда, успольауя аналог теоремы Лиувилля (см. 2 24.9), заключаем, что и,(х) — однородный гармонический полинам степени 1. Это и значит, что функция )', есть сферическая функция порядка 1. Для нахождения решении уравнения (6) применим метод Фурье. В соответствии с общей схемой этого метода ") ищем решение )г~ уравнения (6) в виде произведения )',(В, р)=б ( В)Ф®, (7) э) Более подробно. этот метод изложен и 44 26 н 32. СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Подставляя выражение (7) в уравнение (8) и деля его фФ на —., получим 8)П~ 8 Яп 8 — ' ~ Мп 8 ~+! (1+ !) 5!п2 8У (см 8) а г, а38(.т8)1 Ф' (ч) Ф(ж) зр(со88) ' ( ) Левая часть равенства (8) не зависит от В, а правая— от ~р.
Следовательно, каждая из этих величин не зависит ни от В, ии от !р, т. е. является постоянной величиной. Обозначая эту постоянную через У, из равенства (8) для неизвестных функций Ф и У и параметра у получаем уравнения (13) Ф" +УФ= О, (9) —.8 аз ~зю — 4 — ~+ [((1+1) — 8)п88~~(соз В)=0. (10) Чтобы функция (7) была однозначно определена на сфере З„необходимо, чтобы Ф была 2л-периодической функцией. Но такие решения уравнение (9) имеет лишь при у=о!э, т=О, 1, ..., причем Ф(Ф) =е'ЯФ.
(! 1) Таким образом, задача нахождения сферических функций свелась к уравнению (10) при У=т', т=О, 1... Совершая в этом уравнении замену переменной р=соз В, для функции У(р) получаем уравнение — ((! — )г') Ф']'+ —,=1(1+1) бп. (12) Решен(8я уравнения (12) в точках '+1 должны принимать конечные значения )У(+ 1) !(Со. 3. Полииомы ЛеЖандра. При т=О уравнение (12) принимает вид 1(! — р') 3'7+1(1+ 1),3 = О. Проверим, что полиномы ! и"!(18)= — ! — г()88 — 1)', 1=0, 1, „., (14) Егп аи! называемые лолиномами Лежандра, удовлетворяют уравнению (!3).
Равенство (14) называется 4ормрлой Родриго. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ. У Действительно, полагая й!Г, = (рэ — 1)' и дифференцируя тождество ()А' — 1) УР! — 2!Ф'! = О !+ 1 раз, получаем Ь~ — 1) (Р! ~+2(Л ю!+ ! 1(1+1) )Р~1~1=0. Таким образом, функция )Р')" и, следовательно, полинам Ю! удовлетворяют уравнению (13). Выпишем первые четыре полинома Лежандра: а"о()с)=1 д~(р)=!А и((А) 2! 2' вил) 2! 2!' 3 и ! 5 в 3 Графики этих функций изображены на рис. 81.
Рис. 81. Иэ формулы (14) непосредственно следует, что ЕР!(1) =1. (15) Полинам Лежандра Ф,— единственное линейно неэави.имое решение уравнения (13) в классе С'(! — 1, !]). Действительно, для всякого решения Ф енбчЯ вЂ” 1, 1]) уравнения (13) в силу формулы Остроградского — Лиувилля (см. (5) Э 22.1) при р(р) =1 — ри справедливо соотношение Я( )~'(р) — д!!(р)д!'(М= —,"„, ° ~р~(1, откуда следует, что а=О. Поэтому определитель Вронского для решений Ф! и Ф обращается в нуль тожде- ФФВРИЧВСКИР ФУНКЦИИ 379 ственно, и, следовательно, решения бзг и бз линейно за- висимы.
Полиномы Лежандра образуют ортогональную систему е ~в( — 1 !) В самом деле, так как полипом Лежандра бьг(р) удов- летворяет уравнению (12) при т=О, то, в силу (11) и (7), бтг(сов 8) енС (5х) и удовлетворяет уравнению (6). Сле- довательно, бзг (со5 0) — сферическая функция порядка (см. 9 26.2). Но сферические функции различных поряд- ков ортогональны в Хх(о,) (см. В 26.1). Поэтому ! 2л ~ дзг (и) Я (Р) с()ь 1 иди $ оьг (соз 6) бь ° (со5 6) 5 1п 8 г!О с(гр = О, а о 3 а м е ч а н и е. Полинам Лежандра бзг является собственной функцией оператора — !(1 — РО бз')', соответствующей простому собственному значению Х=((1+1).
Роль граничных условий здесь играют условия конечности решения гУ'(И) а точках Е!. Отметим, что функция 1 — рх обрашается в нуль на концах основного интер- вала ( — 1, 1) и потому не удовлетворяет услонннч й 22. 4. Производящая функция. Пусть к=- (г, 0, гр) и у = (О, О, 1).
Разложим функцию (16) ! к — р ! рг( — 2г оси 5+ге ]гг(! геев) (1 ге-ев) в ряд по степеням г, ~ а, (со5 0) г". (17) г=о Ряд (17) сходится при 1г!(1 и 6 ен 10, л], и его можно почленно дифференцировать по г и 8 бесконечное число раз, причем полученные ряды будут сходптьсн равномер- но по (г, В) на ( — го, г„]х!О, л] при любом г,(1. При- меняя к равенству (17) почленно оператор Лапласа и учи- тывая, что функция (16) гармонична в шаре !к!(1, при всех ген(0, 1) получаем 0 = ~ Л')аг(соя 8) г']= 1-о ~~ г' ' ~ —.5 „-- (5 !п 8 аа') + ! (1+ 1) а 1, г=о зво уелвнения эллиптического типА Егл.
Отсюда следует, что каждое слагаемое в последней сумм обрансается в нуль„и, следовательно, функции ас (р) удое летворяют уравнению (13). Поэтому ас(р)=Ссдсс(р) (см э 25.3) и разложение (!?) принимает вид — У С,йсс(созе) '. УŠ— ес своз+го Для определения постоянных Сс положим в (18) 8 0 с воспользуемся равенством Ус (1) = 1. В Результате по лучим ,с =~;=~сс.. с-о с=о откуда следует, что Сс =1. Итак, справедливо разложение (19) ~с дс(Р)с', !г!(1. с=о ! Функция (1 — 2гр+го( У называется пРоизводящей с)суссц с(ией для поссиномов Лежандра.
Из формулы (19) легко получить Рекуррентные соотношении между полипомалси Лежандра: (Е+1)асс.с(р) — (2!+1)рдсс(р)+ЕРс-с(р)=0, (20) (2Е+ 1) Ус (р) = дскб~ с (р) — дскб-с (и). (21) Для этого, дифференцируя тождество (19) по г и р н умножая затем на 1 — 2гр+го, получим тождества (р — г),)„' д'с(р) г'=(1 — 2гр+г') Х Еус(р) гс-', с=о с-о «Д Я (р) г'= (1 2гр+ го) Х дскб (р) гс.
с=о 'о Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях г, по лучаем соотношения (20) и д'с (р) = дсс, (р) — 2РФс (р) + Асс (р). (22) 881 СФЕРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ Дифференцируя равенства (20), имеем (1+1)У! (р) — (21+1)УГ(р)— — (2(+ 1) ЦУ! (Ц)+ ГУГ, (р) = О. Исключая из этого соотношения и соотношения (22) произведение рУ! (р), получим равенства (21). Докажем формулу ! И'.Р= ) У)(р)Г(р=,+,. (23) — ! Для этого один из множителей У, подынтегральной функции выразим через У,, и Ус, по формуле (20).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
