Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 50
Текст из файла (страница 50)
ч располагая их в порядке возрастания величины (22) Выпишем для примера первые три корня 7,(х): р'," 2,4048, и,"' = 5,5201, 14)И = 8,6537. Примерные графики функций l,(х) и /,(х) = — 7;(х) приведены на рис. 73. Рис. 73. Выпишем без доказательства асимптотическое выражение для функции,/, (х): /2 ! л .7„(х) = — соз х — — ч — — -1- О (х '), х-~-+ оэ. (23) Отсюда вытекает приближенная формула для корней,l„(х): РА ФЫ вЂ” .+ — У + ХЛ. Р,1 Зл л 4' 2 5. Краевая задача на собственные значения для уррв- неиия Бесселя. Пусть' я ~0. Рассмотрим краевую ззн(ачу на собственные значения Ь,и — — (хи')'+ — „и=Ахи, 0(х~1, (24) и (х) = О (хт), х-~ О, аи (1') + ри' (1) = О, (25) где у=гп1П(ч, 1), а)0, р)0, а+5)0.
К области определения Фт, оператора 1 отнесем функции и (х) класса С'((О, 1]), удовлетворяющие граничным условиям (25) и условиюх 'г7 ии-:Хт(О, 1); я~ плотновХ (0,1). ФУНКЦИИ БЕССЕЛЯ Из определения ывс, непосредственко вытекает: если иветнс,, то Евиее.св(0, 1) и хи'(х)- О, х — мО. (26) Оператор. ń— положительный (и, стало бить, зрмитов, см. З 1.12), причем (Еаи, и)= ~х~и'(вдх+ув ~ — "' с(х+ -~и(1)(о~О, (27) о о и~Ам (при 6=0 последнее слагаемое в (2?) выпадает). Действительно, (27) следует из (25) и (26): (Е,и, и)= ~ Еаийдх= — ~.(хи')'йс(х+чв~ ™ дх= о о о 1 1 ,.П Г (ив = ~ х,' и')вдх — хи'и ~ и ов ~ — " — дх= ~о 3 л о о 1 ! = ~ х~и'~вйх+О' ~ — "' бх+ — "!и(1) (о. к о о Каждое собственное значение Х оператора Е„неотрицательное и простое. Для того чтобы Х=-0 было собственным значением оператора Е„необходимо и достаточно, чтоби у=О и а=О; ему соответствует (единственная) собственная функция и(х) = сопз1.
Действительно, из неотрицательности квадратичной формы (Еаи, и) следует иеотрицательиость собственных значений ); при этом, как и в 5 21.4, устанавливаем, что ?а=О тогда и только тогда, когда ~=а=О, и ему соответствует собственная функция и = сопз1. Простота Х доказывается так же, как и в $ 22.3. Пусть р, 0 — корень уравнения (10), Тогда из уравнения Бесселя (1) и из (6) следует,- что ко= ро — собственное значение и l, (р,х) — соответствующая собственная функция оператора Е,. Обратно, пусть ло — (положительное) собственное значение и и„(х) — соответствующая 12 В. С.
Владимиров зо4 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. У с обственная функция оператора (, Тогда (см. ~ 23.1) и,(х)=Сто ()/Хох)+СТУ ()/Хох). Но из первого граничного условия (25) и из (6) и (8) следует, что С,=О. А тогда ио(х) =С,,/„()Глох) и из вто- РОГО ГраННЧНОГО уСЛОВИя (25) СЛЕдуЕт, Чта ро=ф' А, ЕСТЬ корень уравнения (10). Таким образом, Х©" = <Р© ']~ и l, (Р~А"х), й = 1, 2, ..., (28) — все собственные значения и' соответствующие собствен- ные функции оператора 5„, 6.
Неоднородная краевая задача для уравнения Бес- селя. Пусть А=О не есть собственное значение опера- тора 1.„т. е. либо р)0, либо при У=О со)0. Поль- зуясь методом 3 22,1, построим функцию Грина Р„(х, у) оператора т Пусть У )О. Функции х' и х-' †линей независи- мые решения уравнения 5 .и = О. Поэтому функция о,(х) =х' удовлетворяет первому граничному условию (25) и функция рр — а оо(х) =ах'+х-', а= —, 6+с ' удовлетворяет второму граничному условию (25). По- этому, в соответствии с формулой (10) з 22.1, функция л,(х, у) при некотором с,~О имеет вид у,(х, у)= ', ' ' (29) стх" (ау" + у-'), 0 = х -.
у, с,у' (ах'+ х-',, у ( х ( 1. Пусть у=О и а~О. Функции 1 и 1пх — линейно не- зависимые решения уравнения 1.оп=О. Поэтому о,(х) = = 1, оо (х) = — — +!их и со( +1пу), 0~к =у, Уо(х, у) = (30) со ( — — +!и х), у ~ х ~ 1. Решение краевой задачи Ьри=~(х), иен оЕА,, УЯС((0, 1)), х-и") ее Хо(0, 1) (31) Функции Бесселя % 231 единственно и выражаетсл формулой ! и(х) =~ у,(х, у)) (у)е(у. о (32) Это утверждение устанавливается так же, как и в 2 22,2. Единственное различие связано с первым граничным условием (25).
Проверим его выполнение. Пусть о->О. Тогда, пользуясь (29) и неравенством Коши — Буняковского, получаем (и(х)(= к ! =/'!~!. о1!!о)и-!м"1! У"!-у "~о!!о/~ о к / к Г к -0(х")+~с,( -'1/ ~ у'""йу~( 1 ~Пу)~о — "у+ Ъ о + ' ; ~ *" ф'г [ и- '" ч 1 ~ ( ~ ! !о а = Ц Х к = 0 (х') 1. О (х) =-- 0 (ху), х- О, что, и требовалось. Аналогично, проще, рассматривается и случай т=О. 7. Полнота функций Бесселя. Введем пространство Жо[(О, 1); х) — функций со скалярным произведением и нормой (см.
з 1,9, замечание): ! (~, у)„=~хг" (х)д(х)дх, (г'1„=-)"(~, ~)„. о В силу результатов предыдущего пункта, как и в 22,2, заключаем, что если )!=0 не есть собственное значение оператора 1.„то задача на собственные значения (24) — (25) эквивалентна задаче иа собственные значения для однородного интегрального уравнения и(х)=) )у,(х, у)уи(у)иу, иенС([О, 11). (33) о Переходя к новой неизвестной функции и(х) ='к' хи(х), приведем интегральное уравнение (33) к эквивалентному !2* УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА ~ГЛ. Ч виду (ср.
5 2016), замечание): 1 о(х)=А ~3~ худ,(х, у)о(у)ду, о~С([0, 11). (34) ь В силу (29) и (30) ядро )Гхуз,(х, у)~»0, вещественно, непрерывно и симметрично. Поэтому к интегральному уравнению. (34) применима теория Гильберта — Шмидта (см. Ц .19 и 20). В частности, существую1п собственные значения М, й=1, 2, ..., и )lх,)„(у' )'»'х), у=1, 2, ..., — соответствующие' собственные функции (см. Ч 23,5), ортогональные в Х»(0, 1). Таким образом, мы доказали, что краевая задача (24) — (25) имеет собственные значения Л1"1 ")»" <..., являющиеся квадратами положительных корней р1то уравпения (10); соответствующие собственные функции /,(р»1"1х), я = 1, 2,..., образуют ортогональную систему в Х»1(0, 1); х), причем в силу (12) 1)т(р» х)(к 2 ~)~(р» )1 + ( Х„>) )т(р»"'), (35) Справедлива следующая Теорема.
Если иеп 4'»,, то функция )/хи(х) разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по системе функций )/х,l,(р»1"! х), Й= 1, 2. Ухи (х) = ~а»"' к' х/,(р»"'х), а»'~ = „»,, ° (36) Доказательство аналогично доказательству теоремы В. А. Стеклова (см. з 22.3). Если и ~ Ж»,, то У и =) (х), где ) я С((0, 11), х — и*) я Х» (О, 1) (см. 3 23,5), По доказанному (см. % 26.6) функция и(х) выражается через ядро з,(х, у) по формуле (32), т, е. 1 )~ хи (х) = ~ у' ху у„(х, у) — ду.
Таким образом, функция 3/хи(х) истокообразно предста- вима через вещественное непрерывное симметричное ядро )~ ху 3,(х, у). По теореме Гильберта — Шмидта (см. 3 20.1) Функции Вяесвля эта функция разлагается в регулярно сходящиися ряд Фурье по собственным функциям 3/х),()га!'!Х) этого ядра. Если же А 0 есть собственное значение .оператора Е» (т: е. при » а О, см. З 23.5), то, как и в 9 22, достаточно рассмотреть задачу — (хи')'+хи=()с+1)хи, и(х)=0(1), х- О, и'(1)=0.
Теорема доказана. Множество функций (]/хи (х), и ен ага,] плотно в ,йуа (О, 1), По теореме каждую функцию вида ]х хи (х), и ен ен .Фг, можно сколь угодно точно приблизить в Хз(0, 1) линейными комбинациями ортогональной системы функций ]/х),[)!~а"х), А .1, 2, ...
Отсюда по теореме З 1.9 следует, что эта система г(олна в са(0, 1). Итак, доказано: система собственных функций Г,[раыГХ), н ° 1, 2, ..., полйа в оа[(0, 1); х]. 8. Другие цилиндрические функции. Наряду с функциями Бесселя 1,(х), большое значение для приложений имеют другие типы цилиндрических функций* ). К их числу относятся: функции Ханкеля первого рода Н,"' (х) = —.' [,Г, (х) е-'"" — 1, (х)], » чь п, Н7(х) =1„(х)+ — — — ( — Ъ" ! Г д1» (х) л д1-» (х) ! л[ д» д« ~» а' функции Ханкеля второго рода Н" ,(х) .. [,Г» (х) е'"», — у (х)], » ~ и, .; (.) =1.(.) — [ — -(-1) — 1; Г д1» (х) „ д1 « (х) ! л( д» д» з» а' функции Неймана АГ„(х) = . [,г,(х) сок ну —,Г (х)], у~ и, ! [д1»(х) 1 а д1-»(х)] л [ д» д» 1»-а' *) Более полробное изложение можно найти в книгах В.
И. Смир. нова 131, гл. »'! А. Н. Тихонова н А. А. Самарского [Ц, дополнение Г! и В. я. (рсенина 1(1, гл. Х(, А. Ф. Никифорова и В, Б. Уварова 1!), гл. Ш.' ЗЯ уРАВнения аллиптического типА [ГЛ, Ч Функции мнимого аргумента и л! л I, (х) е ' (, ((х), К, (х) — е' Н,"' (!х). Таким образом, Н7 (х) (, (х)+ !Н, (х), ~ Н7'(х) = ( (х) — !Н,(х). / (ЗУ) (40) В. Упражненяя. а) Пользуясь формулами (16) и (17), доказать, что пРи т~ — 1 положительные коРни фУнкннй,)„(к) н .Го+А(к) разделяют друг друга, т. е.
О( (т! (И(о+И(И !т! (р!о+а! ( ! ! я я Ь) Доказать равенство к( !1 —,(! —,~ оо ее ! г~ ~! Уя(к) гл, л оо с) Пользуясь Ь), доказать л (' ег!лв «ив е! ов 2л,) Пользуясь асимптотическим выражением (23) для .)т(х), получим при х-ь+оо НТ(х)=~/ — е ( ' а)+0(х *'). (38а) / 2 . Г л л! Ж, (х) = у — ып ~х — — Р— — + 0 (х- ! ), (39) г, (х) = [1+ 0 (х-!)1, К,(х) = ~У вЂ” е- 11+0(к-!)). (41) ! Аналогично, пбльзуясь (6), получим при х-о+О 2! 1,„, 2! Но" (х) — — 1п-+..., На"'(х) — !и--(-..., Не(х) = — — 1и-+..., Ке(х) =1и — +... 2 1 1 л к к ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ б) Доказать равенство »» (ег"мх) е!нм»г» (х), гл О, ~ 1, 1 е) Доказать формулу прк») —— 2 ) (1 ь') е!"ьпь=( — „) )гйГ (»+ — ) / (х).
— ! 2 — л со (2п)»~1еь) ~ у (! е , 'г) гт)(г) пгы)т( ! $!), о (42) н справедлива формула обращения 2-п»а /(г)=(2п) "Г г ~ у (гр) реп й(р) г(р, о 3 (4з) Формулы (42) н (43) называются прямым н обри!плыл лраобрал — 2 зоаачнлмц Ханкала порядка — соответственно. 2 $24. Гармонические функции В этом параграфе изучаются основные свойства гармонических функций. Ветцественнозначиая функция и (х) класса Са(б) называется гармонической а области 6, если она удовле- )х) творяет уравнению Лапласа Ли=О в этой области.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
