Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Ч1!1 и й!ессна [!1. УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА [ГЛ. У (см. $2.7), ф 22. Задача Штурма — Лиувилля При л=-1 задача на собственные значения (!) — (2) $ 21.! называется задачей Штурма — Лаувилля, (и — (ра')'+Ли=Ли, 0(х(1, (1) й,и (0) — й,и' (0) = О, Н,и (!) + Н,и' (!) = О.
(2) В соответСтвии с условиями (3) у 21.1 считаем ряС'(10, !1), девС(~0, !1), р(х)>0, д(х)зО, Ь,~О, Ь,=О, Н,)0, 'Н,~О, д1+Ь|~0; Н,+Нт)0. Напомним, что область определения Мг оператора 7. состоит из функций и(х) класса С'(О, !) ПС'(!О, !)), и" ен вне,(0, !), удовлетворяющих граничным условиям (2). Выражение (13) з 21.3 для квадратичной формы (Ц, !), 7евМы принимает следующий вид: с (Ц, Д = (р / 1' !'+ д ( ~ ~') г(х + — ' р (0) ~ ((0) !'+ — 'р(!К7(!) !' (последние слагаемые выпадают при л,=О или соответственно). !. Функция Грина. Предположим, что 1=0 собственное значение оператора 7.; это значит, леммы 5 2!.4, что либо дФ О, либо Ь„чь О, либо Рассмотрим краевую задачу 7.и — (ри')'+да=/(х), и ен лвы Н =О не есть в силу Н,ныл.
(3) — Ли + У (х) и =- Ли. (26) Как будет показано в З 32, собственные значения оператора 7. определяют собственные частоты колебаний ограниченных областей (объемов, мембран, струн, стержней н т. д.), а соответствующие собственные функции— амплитуды гармонических колебаний. Наименьшее собственное значение стационарного оператора переноса (см. з 2.4) определяет также критичность ядерного реактора, а соответствующая собственная функция — плотность нейтронов в реакторе в критическом состоянии. задача штнрмя — лихвнлля а 221 0 оя о! Р о, 0 о, р 1 (х) оя(х) 1 С1 =— м Р (О) гя (О) г (х) о, (х) Р (О) гн (0) ! С;=— гн *)' См., например, Л. С.
Понтрягин (1), га. 3. где ! ни С(0, !)ПХя(0, 1). Так как Х=О не есть собственное значение оператора г', то решение краевой задачи (3) а классе Мг единственно (см, р !. !!). Построим решение этой задачи. Пусть о, и о, — ненулевые (веществениые) решения однородного уравнения г'.о = О, удовлетворяющие условиям йгог(0) — й,о,(0)=0, Н,о,(1)+Няо„(1)=0. (4) Из теории обыкновенных линейных дифференциальных уравнений следует, что ~акис решения всегда существуют и принадлежат классу С'([О, !]). Решения о, и о, линейно независимы. действительно, в противном случае о,(х) =со,(х) и, следовательно, в силу (4) решение о, удовлетворяет и второму граничному условию (2). Это значит, что о, является собственной функцией оператора А, соответствующей собственному значению 1=0, вопреки предположению.
Поэтому определитель Вронского го (х) =! Р Ф „', 1„) ! Ф О, х = [О, !1. Кроме того, имеет место тождество Остроградского— Лнувилля *) Р (х)го (х) = Р (0)го (0), х ен [О, !!. (б) Будем искать решение задачи (3) методом вариации произвольньгх постоянных, и(х) =С,(х) о,(х)+.С,(х) о,(х), (6) В соответствии с этим методом функции С; и С; должны удовлетворять системе линейных дифференциальных уравнений Сгог+ С[от =О, Сго1+ Сяоя = —— (у) с определителем ш (х) ~ О.
Решая эту систему и пользуясь тождеством (5), получим 2 22! ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ треугольниках !О «х « у « 1] и [О «у « х« 1] (рис. 71). 2) Симметрична: У (х, у) = р (у, х), (х, у) ~ П. 3) На диагонали х= у скачок производной У„ равен ! — —, т. е. рЫ' дУ (У+О У) др (У О У) ! дх дх р(у) ' 4) Вне диагонали х = у удовлетворяет однородному уравнению 1„,2(х, у)=0, хну, (х, у)енП. 5) На боковых сторонах квадрата П удовлетворяет граничным условиям (2): Ь,З(0, у) — Ь, =02Ь(1, у)+02 д — — О, дУ(0, у) др(1, у) уев!О, 1].
П р н и е р. Функция Грина краевой задачи — и"=1(х), и(0) = и(1) =О имеет вид . 2(х, У) = х(1 — у), 0«х«у, (1 — 'х)у, у«х =!. Физический смысл д г функции Грина. Из свойств !) 3) н 4) вытекает, что прн казкдом у ен(0, 1) функция Грйна У(х, у) удовлетворяет в обобщенном смысле (см.
$11,!) уравнению Ь,З(х, у)=6(х — у), х~(0, 1). Поэтому у(х, у) есть возмущение, порождаемое точечным источником интенсивности !, находящимся в точ- 340 РРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА !ГЛ, У ке у. Таким образом, функция Грина 5(х, у) является естественным обобщением фундаментального,.решения (см. З 11.2) на уравнения с переменными коэффициентами при наличии граничных условий (описывающие процессы в недднородных ограниченных средах).
2. Сведение задачи Штурма в Лиувилля к интег- ральному уравнению. Покажем, что задача Штурма— Лиувилля сводится к интегральному уравнению Фред- гольма с вещественным, симметричным и непрерывным ядром 3(х, у). Т е о р е м а. Краевая задача Е.и=Ли+!, иен !Еы ЕенС(0, Е)Г)Уо(0, Е) (11) при условии, что Л=О не есть гобспменноз значение опе- рипора Е, эквивалентна интегральному уравнению ! и (х) = Л ~ 3 (х, у) и (у) !!у+ $ 3 (х, у) Е (у) гЕу, (12) о о и ее С(10, Е1), где 3(х, у) — функция Грина оператора Е., Доказательство. Если и(х) — решение краевой задачи (11), то, применяя лемму $ 22.1 с заменой Е на Ли+ (, получим ! и(х) =$ 3(х, у)!Ли(у)+Е(у))г(у, о т. е. и (х) удовлетворяет интегральному уравнению (12). Обратно, пусть функция и,~С(10, Е!) удовлетворяет интегральному уравнению ( ! 2). Рассмотрим краевую задачу ЕИ=Лио+Е, и оно!Е!.
По лемме 2 22.1 единственное решение этой задачи дается формулой ! и (х) = )Г 3 (х, у) (Лпо (у) + Е (у)~ !Еу = ио (х), о откуда следует, что ио ее мк! и удовлетворяет уравнению Еио = ) по + Е, т. е. ио есть решение краевой задачи (11). Теорема до- казана. 343 ЗАДАЧА ШТУРМА — ЛИУВИЛЛЯ % 221 При 1=0 краевая задача (11) превращается в задачу Штурма — Лнувнлля и, следовательно, задача Штурма — Лиувилля (1) — (2) эквивалентна задаче на собственные значения для однородного интегрального уравнения и(х) =Л)гэ(х, у) и(у) йу о (13) при условии, что Л=О не есть собственное значение оператора Л. Теперь освободимся от предположения, что Л=О не есть собственное значение оператора (..
Для этого заметим, что, в силу леммы з 21.4, р = 0 не есть собственное значение задачи Штурма — Лиувилля 1.,и 2т — (ри')'+(у+1) и =ри, (14) И,и (0) — И,и' (0) = Н,и (1)+ Н,и' (1) = О. (15) Но нас =мум, и поэтому задача (14) — (15) эквивалентна задаче (1) — (2) при р =Л+1. Следовательно, задача Штурма — Лиувилля (1) — (2) эквивалентна интегральному уравнению и (х) = (Л + 1) ~ 3, (х, у) и (у) йу, (16) о где Р2(х, у) — функция Грина оператора (.ь 3. Свойства собственных значений и собственных функннй. Таким образом, установлена эквивалентность задачи Штурма — Лиувилля (1) — (2) задаче на собст'венные значения для однородного Интегрального уравнения (16) с симметричным (и, стало быть, эрмитовым) непрерывным ядром З2(х, у).
При этом собственные значения Л задачи (1) — (2) связаны с характеристическими числами р ядра э,(х, у) соотношением р =Л+1, а соответствующие им собственные функции совладают. Поэтому для задачи Штурма — Лиувндля справедливы все положения теории интегральных уравнений с симметричным непрерывным ядром, развитые в Я 19 и 20. В частности, множесяао собственных значений (Ло) этой задачи не пусто и не имеет конечных лредельнык точек; собственные значения веи(есп2венны и конечной кратности; 342 УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА (ГЛ. У собственные функции (Х„) можно выбрать вещественными и орпюнормальны»»и; Х» ы С' ([О, 1]). Но задача Штурма — Лиувилля имеет ряд специфических свойств.
Отметим некоторые нз них. Собственные .рначения неотрицательны. Это утверждение доказано в $ 21.4. Множеспмо собстеенкых значений счетно. Действительно, если бы это множество было конечным (Х,, 1(„..., Хн), то ядро 3,(х, у) имело бы представление (см. 2 20.1) (18) У Х»(х)Х,(В) (17) » 1 Но Х„а=С'([О, 1]), и поэтому представление (17) проти- воречит свойству 3) функции Грина з,(х, у). Полученное противоречие н доказывает наше утверждение. Каждое собственное значение — простое. В самом деле, пусть Х, и Х,— собственные функции, соответствующие собственному значению Хь. Это значит, что эти функции удовлетворяют уравнению (1) при Х = А» и граничным условиям (2).
Из первого граничного у ловия (2) А,Х,(О) — И,Х;(О) =О, А,Х,(О) — А,Х;(О) =О вытекает в силу предположения и,+Л») О, что — (=О, Х, (О) — Х ,'(О) 1 1 Х» (О) Х» (О) / О Х (0) — Х;(0)! (Х,'(0) Х',(0)! т. о. определитель Вронского для решений Хд(х) н Х,(х) уравнения (1) при А = Аь в точке х = О обращается в нуль.. Поэтому эти решения линейно зависимы. Это и значит, что Х» — простое собственное значение задачи Штурма — Лиувилля (! ) — (2). Теорема (В. А, Стеклов). Всякая функция 1" из яс разлагается в регулярно сходящийся ряд Фурье по соб- спменным функциям (Х») задачи Штурма — Лиувилля, Г(х) = Я (1, Х») Х»(х). Доказательство. Так как ( е= мвс, то й»[=Ц+[=ЬыС(О, 1)П.Е,(О, 1). зАдАИА штурмА — лиувилля Но Юд, =мйт, н потому / ев ме1,.
Таким образом, функция / является решением краевой задачи Ез/=Ь, /Яме~,„ причем, по построению (см. $ 22.2), Л=О не есть собственное значение оператора Еь Обозначим через,Р, (х, у) функцию Грина оператора Е,. По лемме у 22,1 функция/ выражается интегралом / (х) = $ 3, (х, у) Ь (у) с(д, е т. е. нстокообразно представляется через зрмнтово непрерывное ядро Р,(х, д).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
