Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Г. Петровский [2[, 6 8). 6. Упралнения. а) ((оказать, что если (хь" (Г) — непрерывная 2л-перноднческая функция и Ю (() е'а' Й Ф О, Д вЂ” целое, то Л»= 1 и ~ре (х) = е-га" Я' (Г) ек е! ау — характеристическое число и соответствуюшая собственная функция ядра мь (х — у), — л(х, у(л. Ь) 1(оказать, что если мь (() — (абсолютно) интегрируемая функ. ция на йт и г [Ю] (р) чь О, то 1 Л = — — и ф (х) = е-гих 'г [Л [(р) — характеристнчесное число и соответствуюшая собственная функция ядра мь" (х — у), — со(х, у сог - ° /2 с) Локазать.
что Л = аг . — характеристическое число ядра соз(ху), О ( х, у с со и ему соответствуют собственные функции ф (х) =Г'(х) +1у — ~ ссм (ху) ) (у) пу, Г2 о где /(х)-любая функция нз Хз(0, со). Отметим, что для интегральных уравнений с ядрами примеров Ь) и с) теоремы фредгольма несправедливы (области интегрирования в них неограничены1). $19. Интегральные уравнения с эрмитовым ядром ЯДРО еть" (Х, У) НаЗЫВаЕтСЯ ЭРМиПЮВЫМ, ЕСЛИ ОНО СОВПадает со своим эрмитово сопряженным ядром, Ю(х, у)= мз а (х, у). Соответствующее интегральное уравнение гр (х) = Л $ оь" (х, у) ф (у) а[у + ( (х) ([) прн вещественных Л совпадает со своим союзным, иоо Н и К.
Это уравнение удобно рассматривать в пространстве Яз (6). ИНТЕГРАЛЪНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. !Ч 1. Интегральные операторы с эрмнтовым непрерывным ядром. Пусть К вЂ” интегральный оператор с эрмнтовым непрерывным ядром гй" (х, у). Этот оператор переводит Хе(б) (б — ограниченная область) в Хе(0) (см. 2 17,1) н эрмитов (см. з 17.2 и р 1.12): (К1 Я=И, Ку) 7 а~~ (О)= гг (2) Обратно, если интегральный оператор К с непрерывным ядром М (х, у) эрмитов, то это ядро эрмитово.
Действительно, из равенства (2), следует эрмитовость ядра Ю(х, у) =йр'*(х, у) (см. $ 17.1). Из формулы (22) й 17.2 следует, что все повторные ядра итар(х, у) эрмитова непрерывного ядра йп'(х, у) эрми- ЗГр(х, у) =(рр*) (х, у)=Юг(х, у). Лемма. Интегральный оператор К с непрерывным ядром ил'"(х, у) переводит всякое ограниченное множество из Хе(0) в множество, ограниченное в С(б) и состоящее из равностепенно-непрерывных* ) функций на б. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть  — ограниченное множество из Хе(0): 171-А, 7ыВ, По лемме р!7.1 опера.тор К ререводит множество В в множество, ограниченное в С(б): (К((с--.М)УУ А, (~ В. Далее, так как ядро Ю(х, у) равномерно непрерывно на бхб, то для любого е)0 существует такое число 6 и О, что 1М' (х', у) — иЗ'(х", у) ~».. = как только ~х' — х"~ ( 6, х', х" и у ее б. Отсюда, пользуясь неравенством (4) з 17.1 с заменой йГ(х, у) на А'(х', у) — йр" (х", у), при всех (~ В получаем ! (К[) (х') — (К() (х") ! = = ([н['. ии-нк и[[[[и[ии(,,-' уи[[! как только ~ х' — х" (<6, х' х" я б. Это значит, что множество ((К[)(х), )ее В) состоит из равностепенно-непрерывных функций на б.
Лемма доказана. "1 Определение множества рааиостепенио-непрерывных функций содержится и $ [.3. » ги интсгг»льиые ЕР»вне!щя с эемитовым ядьом 303 2. Лемма Арчела — Аскояи. Если бесконечное множество В ограниченч в С(К), гдг К вЂ” компакт, и сосгпоит из равнпсй»епгнно-непрерывных функций н1 К, та из него можно выбрать сходящуюся в С(К) последовательность, Доказательство. Как известно, множес1во точек с раиионаяьиымн координачами счетно Поэтому все такие точки множества К можно перенумеровать: х„х„ По условию множество чисел (г'(х,), (енВ) ограничено. Могут представиться два случая.
!) Это множество бесконечно, Пользуясь теоремой Больцано — Вейерштрасса (см. Ч !.1), из него выберем сходящуюся последовательность Я (х,), й=1, 2, ... 2) Это множество конечно. В этом случае найдется последовательность функций Я'(х), А =1, 2, ...,. принимающих в точке х, одинаковые значения. Далее, поскольку множество чисел ((»и (х»), я =1, 2,...) ограничено, то из него выберем описанным выше способом сходящуюся подпоследовательность |»' (х»), А=1, 2..., и т. д. Рассмотрим теперь диагональную последовательность (»(х)=)~»" (х), й=1, 2, ..., функций множества В. Для любой точки х; числовая последовательность )»(х;), й= =1, 2, ..., сходится, ибо по построению при я.=-( эта последовательность содержится в сходящейся последовательности (~»п(х;), й=1, 2, ...
Докажем теперь, что последовательность |», )г = 1, 2. сходится равномерно на К. Пусть г)0. Поскольку эта последовательность состоит из равностепенно-непрерывиых функций на К, то найдется такое число 6, что при я=1,2,... ~)»(х) — 1»(х') ~ (-3, (3) коль скоро (х — х')-'=. 6, х и х' ~ К. Так как К вЂ” ограниченное множество, то из множества точек х„ х,, ... можно выбрать конечное число их: х,, х,,..., хн 1 = 1(е), так, чтобы для любой точкн,х вн К нашлась точка хь 1(1(1, такая, что ~х — хц 6 Вспоминая, что последовательность ),. (х), я=1, 2, сходится иа точках хь х», х,, заключаем, что найдется такое число М = Ф(е), что )) (х,) — )„(х,),~3, й, р Ф, (=1, 2,„., 1, (4) интеГРАльный уравнения Пусть теперь х — произвольная точка множества К.
Выбирая точку х„1 ~! ~1, такую что 1х-х<) ~6, в.силу (3) и (4) получаем !7а(х) 7р (х) ) 17а (х) )а (х') ~+ Яа (х ) ~р (х<) ~+ +/~ (х;) — 1 (х)) С вЂ” + — + -=е, я, р~й<, причем А< не зависит от х. Это значит, что последовательаость га, й = 1, 2, ..., сходится в себе в С(К).
По теореме Коши (см. 3 1.3) эта последовательность сходится в С(К) к некоторой функции из С(К). Лемма доказана. 3 а не чан не. Лемма Арчела — Асколн выражает свойство ком. пакжносгли любого ограннченного в С ()С) множества, состоящего нз равностепенно-непрерывных на К функпнй. Лемма $ 19.1 утверждает, что интегральный оператор с непрерывным ядром пЕреводит всякое ограниченное множество нз Жт(6) в множество, компактное в С(6).
Всякий оператор, обладающий таким свойством, называется вполне чепрерьмныи из Ха<6) в С(6). 3. Интегральные уравнения с эрмитовым непрерывным ядром, Не всякое ядро, отличное от тождественного нуля, имеет характеристические числа; например, как было показано в ~ 17.3, ядра Вольтерра не имеют таковых. Тем не менее справедлива следующая Т е о р е м а. Всякое зрмитово непрерывное ядро 4" (х, у)ФО имеет по крайней мере одно характеристичжкое число, и наименои<ее по модулю характеристическое исло Х< удовлетворяет вариационному принципу — = зпр 1 1К(1 (6) <о<' <ым,<в< 1< 1 Доказательство. Обозначйм через т точную верхнюю грань функционала 1к)1 на множестве 'функций 7 из л.а(6) с единичной нормой: = зир 1КВ (6) <1,'= < Из оценки (6) Й 17.1 вытекает, что на функциях этого множества )~К)1-=М$', а потому т(МУ, Кроме того; очевидно, ч -"= О.
Докажем, что ч ) О. Действительно, если и=О, то, в силу (6), мы имели бы )К)1 О, т. е. Кг О и ри всех 7 ен Хз (6), и потому аь" (х, у) мм О, х ы О, у ы <д (см. $ 17,1), вопреки предположению. 4 пя интеГРАльные УРАВнениЯ с ВРмнтОВым ядРОм %6 Из определения точной верхней грани ч вытекает. существование последовательности 1», й=1, 2, ..., 11») 1, такой, что 1К1»1- «, й- со; (7) кроме того, справедливо неравенство ) К»11= ~~ К ~ — „.~ ) ~~(К11«ч)К11, .1 ыХ»(б).
(8) Докажем теперь, что К»1» — «'1»- О, й-» со в Ж»(0). (9) Действительно, пользуясь (2), (8) и (7), получаем ) К'1» — «»1» 1 .= (К1» - «'1 К'1» — «'1») (К»1» К»1») + ч» (1» 1») ч» (1» К»1») «» (К»1» 1») =1 К»1» 1» + «' — 2«» (К1„К1») « ««'1К1» 1'+«' — 2«'1К1»)» = «» — «')К6 Р О, й-~оо. что и зквнвалентно предельному соотношению (9). По лемме з 19.! последовательность функциИ К1м Й=1, 2, ..., ограничена в С(б) и состоит из равносте- пенно-непрерывных функций на б; А тогда, по лемме Арцела — Асколн (см, 9 19.2), существует подпоследова- тельность ф»=К1»и !=1, 2, ..., сходящаяся в .С(б) к функции февС(б), 1»р — »р»)с-»-О, 1-»"оо.
Отсюда, поль- зуясь оценками (4) и (5) 9 17.1 н сгютношеннем (9), полу- чаем (К»ф — «'Ф 1с « «1К'Й' — Ф)1с+«'1ф — ф 1с+)К'Ф-ч»ф»1счц к: МЪ/ 6 К (ф — ф») (с+ «»(ф — ф» )с+ 3 К (К'1»» — «'1» )1!с ~ -=(А~(" + ))ф — р»(с+МФгр ~К»1»,— »1»,.~ О, » Оо, и, следовательно, К»ф = ч»ф. Докажем, что фчь О. Из предельного соотношения (9) следует, что Кф( — «»1» -» О, (-~ос в Л»(б), н, следовательно, (Кф~~- «», (- со. С другой стороны, ка леммы $ 17.1 вытекает, что (Кф»(-~„Кф), 1-» о..
зов >гл ш интегРАльные уРАВнения Таким образом, (К<у)= У») О, откуда и следует, что ф~ о. Итак, построенная функция ф является собственной функцией ядра Л'о(х, у), соответствующей характеристическому числу —;, А тогда по крайней мере одно из уо' ! чисел + -- является характеристическим числом ядра Ю(х, у) (см, Э !8.4). Таким образом, построенное харак< теристическое число )<> по модулю равно — и, стало быть, в силу (6), удовлетворяет вариационному принципу (5), Осталось установить, что )<< — наименьшее по модулю характеристическое число ядра А'(х, у).
Действительно, если )<о и <со — характеристическое число и соответствующая собственная функция, )<»К<ро =<ро, то, в силу (5), и потому >1<< ~ ~~)о!. Теорема доказана. Как было установлено в Э 19,1, интегральный оператор К с эрмитовым непрерывным ядром Л'(х, у) эрмитов. По теореме 9 1.12 характеристические числа ядра'оч" (х, у) ,вещественны, а собственные функции, соответствующие различным характеристическим числам, ортогональны. Кроме того, по четвертой теореме Фредгольма множество характеристических чисел не более чем счетно, а по второй теореме Фредгольма кратность каждого характери.стического числа конечна. Поэтому система собственных функций оператора К не более чем счетна и эту систему можно выбрать ортонормальной (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
