Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Таким образом, характеристические числа ядра Л'(х, д) и собственные значения оператора К взаимно обратны, а их собственные функции совпадают. $ !7. Метод последовательных приближений !. Интегральные уравнения с непрерывным ядром. Предположим, что в интегральном уравнении (2) область 6 ограничена в )г", функция ) непрерывна на замкнутой области 6 и ядро Л'(х, д) непрерывно на бхб (такие ядра будем называть непрерывными). Напомним определение норм в пространствах Х,(6) и С(6) н скалярного произведения в Х,(6) (см. Ц 1.3 и 1.7): (7, д) ~1(х)д(х)г(х, Г, яенХ,(6); с ~Л-~/~~П)~'б =Ус О, ( ~.(6); '! ) 1)с = шах ~ ) (х) ~, 1 ад С(б).
каО 272 интегРАльные уРАВнения [ГЛ. [У. Л ем ма. Инп[егральный операп[ар К с непрерывным ядром Л'(х, у) переводит ьк(6) в С(6) (и, следовательно, С (6) в С (6) и Х, (6) в Х, (6)) и ограничен, причем (К% МУУ(Ь У =Х,(6), (4) ) К([[с ~ М У 9с. ) Ен С (С). (5) )К)к-=МУ[!!) У~=-Х (6) (6) где М = [пах [Л'(х, у)[, У = $ йу. кбб, РЕб б Доказательство. Пусть [" ~Х,(6).
Тогда [" — абсолютно интегрируемая функция на 6 (си. 2 !.7) и, поскольку ядро Л'(х, у) непрерывно на (кх6, функция (К() (х) непрерывна на Й. Поэтому оператор К переводит Х,(6) в С(6) и, в силу неравенства Коши — Буняковского, ограничен: [( К) )с = го ах' ,(К() (х) [ = го ах ~ ~ Л' (х, у) ) (у) ду ~~ кыб кеб[б ~ [пах ~/ ~ ! Л' (х, у) [' бу ~/ ~ ! ! (у) !' ду == М$' У ! [' !. куб б Аналогично, проще, доказываются неравенства (5) и (6). Лемма доказана. Для а[ого чтобы ингпегральный оператор К с непрерывным ядром Л'(х; у) был нулевым в Же(6), необходил[о и достаточно, чтобы Л' (х, у) = О, х ~ 6, у ен 6.
Достаточность условия очевидна, а необходимость . вытекает из леммы дю Буа-Реймона (см. 2 5.6): если при всех [ к= ~к(6) (К))(х) ~ Л'(», у))(Де[у О, хан 6, то У[; (х, у) — О, хан 6, УЯ6. Таким образом, мы установили взаимно однозначное соответствие между непрерывными ядрами и соответствующими им интегральными операторами. Аналогично доказывается такое утверждение: если (К)' д) =О при всех ) и у из Х,(6), то К=О и, стало быть, Л'(х, у) =— О.
$ ГП МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЪНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 273 Докажем, что Р р'" = Х Х»К»7, р= О, 1, ..., (8) »-о где К» — степени оператора К (см. 2 1.10). Действительно, при р=О формула (8) верна: ср"'=7. Предполагая эту формулу верной при р и заменяя в рекуррентной последовательности (7) р на р+1, получаем формулу (8) при р+1: ,~~РНО ),К,21Р! ! г Р Р Р+~ = А,К ~, )»К»7+ 7 = 7+ 'У, '),»"К»»7 = 'У, 'Р.»К»7. Таким образом, формула (8) верна при всех р. Функции (КР7) (х), р = О, 1,..., называются итерациями функции 7. По лемме 5 17.1 итерации 7 непрерывны на б и в силу (5) удовлетворяют неравенст!ьу 1 К'М =(К.(К ' ))с = МУ ! К' Ч 1с -(мУ)')к' ' 1с-' (АУ)Р'о)!с, т. е 1КФ,~(т) 1,71,, р=О, 1..., (О) Из этой оценки следует, что ряд ~ч~ ).»(К»)) (х), хен б, »=о называемый рядом Неймана, мажорируется числовым рядом И)с»7; !) 1'(МУ)" = ! )оси „(11) »-о сходящимся в круге !Л~ = †.
Поэтому при этих ) ряд ! (10) сходится регулярно (см. $ 1.3) по хы б, определяя (10) Будем искать решение уравнения (2) методом последовательных приближений, положив р'о' (х) =7(х), ср'р! (х) = Х ~ о»Г (х, у) <р~ р-'! (у) о(у+) (х) = — АК~р'р-м+Г, (7) а р=1, 2, ... 274 интеГРАльные уРАВне<<ия [ГЛ. <<Г тем самым непрерывную на 6 функцию <р(х). Это значит, в силу (8), что последовательные приближения <р'о'(х) при р- оэ равномерно стремятся к функции <р(х): «ее о <р<Р!(х) ~ <р(х) = г,' Ъо(КА!) (х), р- со, (12) <=о причем, в силу (1!), справедлива оценка !!!с 1'"'с~! — л мг (13) Локажем, что функция <р.(х) удовлетворяет интегральному уравнению (2!.
Лействительно, переходя к пределу при р- сю в рекуррентном соотношении (7) и пользуясь равномерной сходимостью последовательности <р<о'(х) к <р(х) на 6, получаем <о (х) = !! ш <р е' (х) = Ъ ~ Х (х, у) ! Нп е' о " (у) йу + ! (х) о оо о и с*~ = 1. ~ УУ (х, у) <р (у) йу+ )' (х), 1! <ро!» ! Ъ ! М 1'1 го 1, откуда, благодаря неравенству 'Ъ,' МУ (1, следует <Что(= О, т. е, <го=О, что и требовалось установить. Резюмируем полученные результаты в следу!ошей теореме. Т е о р е м а.
Всякое интегральное уравнение Фредгольма (2) с непрерывным ядром Л'(х, у) при !Ъ!( — имеет единственное решение <р в классе С(6) для любого свободного члена !'~ С(6). Это решение представляется в виде рггулярно сходящегося на 6 ряда Пеймона (12) и удовлетворяет ! оценке (13), Другими словами, в круге ! Ъ ~ ( — сушествует М!< и ограничен обратный оператор (7 — ЪК) '. Докажем единственность ре<пения уравнения (2) в классе Жо(6), если ,'Ъ ~( — „,. Для этого достаточно показать, что однородное уравнение (3) имеет только нулевое решение в этом классе (см. 2 1.11). Лействительно, если <ро ен ~,л о (6) — решение уравнения (3), <ро = ЪК<р„то, по лемме 2 17.1, З 17~ МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ 275 3 а м е ч а н и е.
Методом последовательных приближений можно пользоваться для приближенного решения интегрального уравнения (2) при достатОчно малых,' А (. 2. Повторные ядра. Резольвента. Предварительно убедимся в.справедливости равенства (К1 д) =(7' К*у) 1' и к ЕЕЖз(0). (14) Действительно, если 7 и д~.оз(6),.то, по лемме р!7.1, К7 и Карее.ьз(0), и поэтому (К1, у) = г)(К7)цдх= ~~~Ю(х, у)1(у)дд~д(х)дх= = ~)(у) ~ ~Ю(х, у)д(х) Нх1ду= ~ )К'"уду= (7, К*у). в 1О О Л е м м а. Если Кн 1 = 1, 2, — интегральные операторы с непргрывнымп ядрами йз'1(х, у) соответственно, то оператор Кз — — К,К, — интегральный с непрерывным ядром ®з(х, У) = ~ звз(х, У') Ю1(У', У) НУ'.
(15) с При этом справедлива формула (К,К,)* = К";К;. (16) Доказательство. При всех 7ее.'оз(сг) имеем (К31) (х) = (КзКВ~) (х) = = ~ Юз(х, у') ~мь",(у', у)7(у) дуНу'= в в = 11 ') д'з (х, у') й1 (у', у) ду'7(у) ду, в(в откуда и вытекает формула (14). Очевидно, ядро Ььз(х, у) непрерывно при х ~ 6, у ~ сг. Принимая во внимание равенство (14), при всех 7 и д ЕЕ .'Оз(0) получаем (~, Кзу).=(КЫ у)=(КзКА у)=(КА Кеа) =Ч, К"КЮ; т. е.
д, К.*д-К*,К;д)=6, и, следовательно, Кем=К",К;, что и эквивалентно Равенству (16). Лемма доказана. 276 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [ГЛ. !У Из доказанной леммы следует, что операторы К'= = К(К!' ') =(К~ ') К, р=2,' 3, ...,— интегральные и их ядра Юр(х, у) непрерывны и удовлетворяют рекуррентным соотношениям: Ю»(х, у) =А'(х, у), Ю (х, у) = ~ й" (х, у') уь" .! (у', у) с[у! = в = 1 Р»" (х, у') М(у', у) Г(у'.
(17) Ядра Ю (х, у) называются повторными ядрами ядра Ю (х, у). Из рекуррентных соотношений (17) вытекает, что повторные ядра удовлетворяют неравенству 1[В,(х, у)((М'У"-Г, р=1, 2, ... (18) Из оценки (18) следует, что ряд 'Я Л»Ю„»(х, у), хенб, уев 6, (19) » о мажорируется числовым рядом '~ ~~ Л !» М»+! У» » о 1 сходящимся в круге ~ Л ~( —. Поэтому ряд (19) сходится регулярно при хен!г, уев б, [Л~( — — о при любом ! а)0. Следовательно, его сумма непрерывна в бхбх0 ! м! 1 и аналитична по Л в круге [Л~( —. Обозначим сумму ряда (19) ЧЕРЕЗ о!Г (Х, у; Л): в!У(х, у; Ц= Я, 'Л»[~»»(х, у). »=о Функция М' (х, у; Л) называется резоловеняюй ядра Ю(х, у).
Т е о р е и а. Решение [р интегрального уравнения (2) с непрерывном ядром Ю(х, у) единственно в классе С(б) при ~ Л (( — и для любого [ ~ С(б) представляется через ! метод последовлтвльных пгиьлижвнип 277 $17! резольвенту Ю(х, у; Л) ядра Л'(х, у) по формуле ~р (х) = ! (х)+ Л ') оЯ.'(х, у; Л) г' (д) йу. (20) Другими словами, справедливо операторное равенспмо (21) где Я вЂ” интегральный оператор с ядром Я(х, у; Л). Доказательство.
По теореме З 17.1 решение уравнения (2) единственно в классе С(б) при, Л~( —— и для любой ~ыС(б) представляется в виде равномерно сходя!цегося ряда Неймана (12). Подставляя в этот ряд выражения итераций К"7' через повторные ядра Юь(х, у) и пользуясь равномерной сходимостью ряда (19) для резольвенты ой(х, у; Л), получаем формулу (20): Л ) Я (х, д; Л) "7 (у) ау+ 7 (х). о Теорема доказана. Докажем, что повторные ядра (К')„(х, д) и резольвеита вЯ' (х, у; Л) эрмитово сопряженного ряда Хь (х, д) выражаются через повторные ядра Юр(х, у) и резольвенту исходного ядра М" (х, у) по формулам (дР*)е(х, у)=*ядр(х, у)„р 1, 2, ..., (22) ой7„, (х, у; Л) ~ Л (у, х; Л), ( Л ( ( —. (23) Равенство (22) следует из формулы (1б), согласно которой (Л;") =(Юг)*, р=1, 2, ...
Так как !рг*(х, у)!=(МГ(у, х))~М, то, по доказанному, ряд (19) для резольвенты оУ (х, у; Л) ядра Юь (х, у) сходится при хедб, уевб, !Л~< —, Отсюда, пользуясь ! хгь (гл. (у ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ равенством (22), получаем формулу (23): е)х (х, у; Л)= ~Ч, 'Ла(ел"е)аьт(х, д)=,'У', ЛаЮА„(х, у) а-о а=о ~ Ль'л;агх(у, х) = ~', Лаейа„(у, х) =ей(у, х; Ц. а о а-о Из (23) получаем еЯ' (х, д; Л) ей (у, х; Л) еЯ'* (х, у; Л), и, следовательно, в силу (21) справедлива формула Л'УР )- =1+Лаев, )Л~ - — ', . (21.) Замечание. Можно доказать, что резольвента РЯг(х, у, Л) непрерывного ядра Ю (х, у) допускает меронорфное продолжение на всю плоскость комплексного переменного у Л, причем полюсами ее являются хаа рактеристические числа ядра еК(х, у).
Это предложение ниже будет доказано для вырожденных и для армитовых ядер. 3. Интегральные уравнения Вольтерра. Пусть и = 1, область 6 есть интервал (О, а) и ядро й'(х, у) обращается в нуль в треугольнике О <х ( у < а (рис. Рис. бб. 68). Такое ядро называется яд- ром Вололтерра. Интегральные уравнения (1) и (2) с ядром Вольтерра принимают вид х к ~ Л"(х, у)гр(у)г(у = ((х), гр(х) = Л ~ юг(х, у)гр(д)г(у +Г(х) (24) о о и называются ингпеграпвными уравненилми Волыперра первого и второго родов соответственно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
