Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 35
Текст из файла (страница 35)
(14) Итак, если выполнены условия (14), то решение смешанной задачи (4) — (5) — (11) существует, единственно и задается формулой х+ «1 и (х~ 1) = 2 [йа (х+ аг) + йа (х — а()1 + — $ йт ($) а В, (15) 1 1 Г «-а1 х)0. Пусть теперь х — а(~0. Тогда йа(х — а()=иа(х — а(), й,($)=и,(э), $)х — а1)0, и формула (15) принимает вид к*а1 и(х, ()аа -[иа(х+а()+иа(х — а!))+ — ~ и, Д)с(в, (16) 1 1 * 243 РАспРОстРАнение ВОлн з !ч Пусть теперь х — аС:ю О. В этом случае йо (х — а1) = — ио ( — х+ аС), й, (й) = — и, ( — $), х — а1 =.5к;О, и формула (15) принимает вид «+м о (х, 1) = — (ив (х+ а1) — ив (а1 — х)1+ — ~ ит Д) дк, 1 1 м-ч (17) аС-,с х+от х Как видно из формулы (17), в точку (х, 1), О ( хм аС, приходят две волны: прямая волна из точки (х+аС, 0) и один раз отраженная волна из точки (а1 — х, 0) (совпадающая с прямой волной из фиктивной точки (х-а1, 0), см.
рис. 61). Аналогично рассматривается смешанная задача для полубесконечной струны х 0 со свободным левым концом: Ст,и х=еС и,)„,=0. Здесь также имеет место отражение волн от конца струны х=О, но уже без изменения х-вг знака. 7. Метод отражений. Конечная струна. Применим метод отражений, изложенный в предыдущем пункте, для решения смешанной задачи для конечной струны О~х(!с закрепленными концами: и 1„, = и ~„ы = О.
(18) Сначала докажем, что всякое классическое решение и(х, 1) волнового уравнения (4) в полуполосе 0<к(1, С ) О, удовлетворякн4(ее условиям (18), представляется в виде и(х, 1)=д(х+аС) — д( — х+а1), д(5+21) =д(В), а ен С'(Ст4). (19) Действительно, по лемме ~ ~14,5 решение и(х, 1) представляется в виде (6), где 1(Ц) яС'($<1) и й(Ч) ен 244 эундлмвнтолънов гашении н зодочо коши 1гл. гп ев С'(т() 0). Отсюда, учитывая условия (18), получим д ($) = — ~ ( — К), ! (! — $) = — д (!+ $).
(20) Эти соотношения определяют продолжение функций ! и д на всю ось с сохранением класса С'. В самом деле, равенство д($) = — ! ( — з) распространяет функцию и на интервал ( — (, со). А тогда второе из равенств (20), записанное в виде ! (т)) = — д (2! — т(), распространяет функцию ! на интервал ( — со, 3!) и т. д. В результате такого продолжения функции !' и д будут принадлежать классу Со(Яо) и удовлетворять соотношениям (20). Отсюда вытекает представление (19) и 21-периодичность функции йс — а(!+$) =П! — $) = — а( — !+Р. Решение (19) пока "ывает, что имеет место отражение волн от обоих концов х=О и х= ! с изменением знака. Отсюда следует, что движение струны — периодическое по времени с о периодом — (рис, 62). 2! ! Теперь построим решение сме! 1 1 шанной задачи (4) — (5) — (18). Если классическое решение и (х, !) гдГ этой задачи существует, то, в силу (19), оно допускает 2(-периодическое нечетное продолжение й(х, !) по х относительно точек х=О /! и х=! и это продолжение принадлежит классу Со()го) и удовлетворяет уравнению (4) в )го.
Отряс. 62. сюда и из условий (5) вытекает, что функция й (х, !) удовлетворяет начальным условиям (13), в которых функции й, и й,— ссютветственно — 21-периодические нечетные продолжения функций и, и и, относительно точек х = 0 и х = !. Рассуждая теперь, как и в предыдущем пункте, заключаем, что если функции и, и и, удовлетворяют условиям хоы С'(10, !]), ио(0) =ио (0) =ио(!) =ио (!) =0 ио ен С' (10, !]), ио (0) = и, (!) = О, (21) РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН % Н! !о решение смешанной задачи (4) — (5) — (18) сушествует, единственно и дается формулой и Рос и(х, 1) = — (йо(х+а1)+йо(х — а1)]+ —, 5 й,($) с(3, (22) ! ! Он=х~1. Пусть точка (х, 1) расположена так, как показано на рис.
63. Тогда формула (22) в этой точке принимает вид и(х, 1)= — сие(у) — ив Я)'1 — — ! ис($) Щ. (23) ! ! я Действительно, пользуясь правилом отражений, имеем йе (Ь) =и, (у), й, (с) = — ие (()], с -с г ~ йс (еь) с(ье = 1! йт (еь) й$ + ~ й с (еи) с(ез ь а с в в = г) ис (з) с(5+)г ит($) с($ =)гис Я) с1$, т с т откуда' и из (22) вытекает формула (23). Она показывает, что в точку (х, 1) приходят две волны: одна волна — из Р-1 сг д тг 1 с х Рис. 63. точки () (один раз отраженная от конца х=1), другая волна — из точки у (по одному разу отраженная от концов х = 1 и х = О) (рис.
63). а. Нелинейные волновые уравнения. Аналог метода 1(аламоера построения реосенна линейного волнового уравнения с двумя пере- 246 онндлмннтлльнок ркшнннн н злдлчл коши (гл. гн менными, наложенный в 44 14.5 — 14.7, применим и к некоторым нелинейным уравнениям.
Ищем частные решения нелинейного уравнения г (и...,, 0"и, ...)=О (24) в виде и(х)=)($), й=(1, х) — ха, где ! и хе — постоянные векторы. В силу (24) функция 1 должна удовлетворять обыкновенному дифференциальному уравнению х (г ! )О П (25) П р н м е р ы. 1) Уравнение Корямвега — де Фриэа и, + 6иих+ и„„, О, ! (4) — (- а) О. аГ а (27) 2 с)та ~ — (х-а1-хе) 2) Уравнение Лиувилля ии — ихх=деи, д) О, (28) 1(й) 1п иа(1-аа) О (а(1. (29) 2ясцт ~ — (х — аг — хе)~ 2 Решениями уравнения (28) является функция 8ф' (х+ 1) ф' (х — 1) в( р(х+1) — ф(х — 1))т ' где ф и ф — произвольные функции класса О, удовлетворяющие условиям ф' ) О и ф' ) О.
(26) (30) ГЮ дн 2 ,л .т О л' Ряс. 64. 3) Уравнение Б1пе — Гордон (ср. и 1.8) и„— и„„= — яя(пи, 8~0, .- х — аà — кя шуа ! ($) 4 агс(йв (31) (32) 247 мвтол Римкины Ргшення ~27Ь (20) н (32) нмевл характер «уеднненной волны» понед«як«прн «=0 н к„О нзображе»ю на рнс. 64 соответст«чно Такие решения называютсн солишонными. Волны (2у) н (32) характернзуются тем, что нх внергня конечна: — (н", + иД дк+ — ~ (Г' Я) з «Гй. Перечисленные уравнения возннкают во мпогнх нелинейных за. зачах распространения волн ').
Онн также представляют интерес для квантовой теорнн поля как модели с нетривиальным взанмодейгтвнем. й 1Б. Метод Римана В этом параграфе мы изложим метод Римана для решения задачи Коши для линейного уравнения гиперболического типа с двумя независимыми переменными, приведенного к каноническому виду д д +ау-+Ьд +си — т(х~ у), (1) 1. Решение задачи Гурса. Лля уравнения (1) рассмотрим задачу Гурса (см, 2 4.6, а)) и ~ -а = «рз (х), 0 (х ч6 ха, р,(о) = р,(о).
~ (й) и! -е=«рз(у), О~у~у„ Функции а, Ь и с предполагаются непрерывными на замкнутом прямоугольнике П, где П=(0, ха)х(0, ув); решение и(х, у) ишется в П. Допустим, что / еа С(П), «рт ев С'((О, ха)1 и ~рз я ыС'(10, уе]). Сведем задачу Гурса (1)-(2) к эквивалентной системе трех интегральных уравнений, предполагая, что решение и =С'(П) (и тогда и„„я С(П)). Пусть и (х, у) — решение этой задачи, и ен С'(П). Положим ди ди дк ' ду — =о — =та (3) ») См. Лж.
Унзем 1)1. 24В ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ !ГЛ. Н! Тогда уравнение (1) и условия (2) примут соответствен- но вид ди дм — = — „=,г — ао — Ьш — си, ду дк (4) (б) Из (3) — (б) немедленно получаем систему трех интеграль- ных уравнений относительно трех функций и, о и ал и(х, у)=<р,(х)+(ш(х, у')с(у", и о(х, у) =~р;(х)+) (р — ао — Ьв — си)(х, у')с(у', о ш(х у)=(рч(у)+г)(Р— ао — Ь!о-си)(х', у)с(х'.
о (6) ди, (' дв(к, у') д Р'( )+ д =%(х)+)(р-ао — Ь!о — си)(х, у')!(у' =о, о так что функция и ен С'(П) и удовлетворяет уравнению (1) в П: Ри дв ди д'и диду дк к,к ' к ду ду дк Обратно, пусть функции и, о и ш непрерывны на П и удовлетворяют системе интегральных уравнений (6). Докажем, что функция иенС'(П) и является решением задачи Гурса (1)-(2), Действительно, из (6) непосредстди венно следуют равенства (4), — =!о и мвтод еимонх о !о~ 'Гаким образом, задача Гурса (1) — (2) эквивалентна системе интегральных уравнений (6). Поэтому достаточно исследовать зту систему. Решение системы (6) будем строить методом последовательных приближений, положив ио зарх(х), оо=ср;(х)+$)(х, у')о(у', о гео= ~р'(у)+()[(х', у) Их', о (7) и„=) ш,,(х, у') ду', о оо — (з(ио .о+Ько, +сио,) (х, у') бу', о о во — )г (аое-, + Ьгв~х+ си х) (х', у) Их', о у=1, 2, ... (8) Докажем для всех (х, у)онП и р О, 1, ...
оценки [ир(х, у) [(МКо~"~~~, [о„,(х> у)[ч=МКо — ~ [гв„(х, у)[ ~МКо("+,"), где М п1ах [шах ! ио!, тпах ' по[, шах ', иъ ~1, К =1+шах([а[+[Ь!+[с[). кроме того, функция и удовлетворяет и граничным услооиям (2): ( ) и[~=ф~(0)+5 о Ч, (О)+ $ ср, (у') о(у = ~р1 (О) + сро (у) — сро (О) = ф~ (у). о УОО ФУНДАМЕНТАЛЬНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ 1ГЛ 1П При р=О оценки (9), очевидно, выполнены. Покажем, что неравенства (9! останутся справедливыми и при замене р на р+1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
