Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 31
Текст из файла (страница 31)
45), 4. Поверхностные волновые потенциалы. Если = и,(х) 6(!) нли /=иа(х) 6'(!), где ие и и, произволь- ные обобщенные функции нз й" (Йа), то соответст- вующие волновые потенциалы )г'„"=Ж„е(иг(х) 6(/)], )гав =8„*(иа(х) 6'(!)], и =1, 2, 3, называются поверхностными волновыми потенциалами (простого и двойного слоя с плотностями и, и и, соответственно), В силу формул (14) и (17) $ 12.2 волновые потенциалы )г„"' и )го' представляются в виде у"„и = Ж„(х, !) * и, (х), л! иа (х) В! [~гг (» !) е иа (х)] 1 08в(к !) д 2!7 волновои потанци»л » и1 причем обобщенная функция б„(х, 1)» и (х) действует в соответствии с формулой (15).
Л е м м а, Поверхностные волновые потенциалы У'„" и принадлежат классу С по переменной 1 в [О, со) и удовлетворяют начальным условиям при 1-»-+со У» (хю ()» О, дг ' -»'иг(х) в Я'(Й"), (2г) ~$ У„"'(х, ()- и»(х), " ("' ) -+О в .ег'()т"). (28) Доказательство. По лемме ~ 12.! обобщенная функция е„(х, 1) принадлежит классу С по переменной ! в [О, со). Далее, при каждом ()О носитель е„(х, 1) содержится в шаре Пы и, следовательно, равномерно ограничен в )с» при т-~1»)0. Поэтому, пользуясь тео- ремой ~ 7.6 о непрерывности свертки в Ю', заключаем, что при всех ~реп.У (Я") . ( — — » иг(х), ~р (х)) »= С [О, со), й — О, 1, Отсюда, в силу равенств (3) и (17), д» д» (Ж» (х, 1)» иг (х), %) = г д»вл (» г) — »-[8»(х, 1)» и,(х)], »р) — — — » и»(х), <р), выводим, что (Ж„(х, 1)»и,(х), ~р) ыС [О, со).
Это и зна чит, в силу (25), что потенциал У„'"'(х, 1) принадлежит классу С по 1 в [О, со). Заменяя и, на и,, выводим из (2б), что таким же свойством обладает и потенциал У„"'. Докажем предельные соотношения (27). Учитывая предельные соотношения (4) и пользуясь непрерывностью свертки 8„(х, ()*и,(х) в Я'()7»), получаем при 1-»+О У„'"(х, 1)=8„(х, 1)»и,(х)-».0»и,(х)=0 в Ю'(Я"), де» (х, г) = д ["»(х, 'г*иг(х)1= д»и»(х)-». — б»и, =и,(х) в .У'Я»), Аналогично устанавливаются и предельные соогно- щения (28). Лемма доказана, 2!8 еяндлментАльное Решение и злдачА кОши 1гл. Ен Дальнейшие свойства поверхностных волновых потенциалов У„"' и У;,' существенно зависят от свойств плотНОСтвй и, И икь Если и, — локально интегрируемая функция в Йа, то поверхностный потенциал у'„а' — локально интегрируемая функция в )такс и выражается формулами 4 пап ~ и, (з) д5, (29) вс»с ао У,"(х ()= "" ~ "~)~ (29) 2па г У а«С« ~ х-ф )а ос»; ап «+ас 2а г с(а) (29') к-аС Установим формулу (29).
Так как функция и,— локально интегрируемая в Й", то, пользуясь формулами (25), (15) и (1), при всех срен Ь' (сга) получаем (Ус", ср) = (е а (х, Е ) а и, (х), ср) = =(Жа(у, (), т)(а'(а — !у~а) $ и, Я) ср(у+2, ()4$)= — 4, 1 с 1 ~ и.(х — у) р(х, ()ахс(5„Й= ~ и, (х — у) с(5„4(х с((, а Я* Аы ОтКуда СЛЕдуЕт, Чта У,,'а' ЛОКаЛЬНО ИнтЕГрнруЕМа В Йа И представляется в виде (ср. с формулой (34) % 7.10) 6(0 ас Совершая в этом интеграле замену переменных х — у= = $, получим формулу (29). Аналопсчно, с соответствусощими упрощениями, выводятся формулы (29') и (29') для потенциалов У»аи и У,". Теорема.
Если пав С«(ста), и, ЕНСа(ста) при и *3 и 2; иа я Са ()74), и, я Сс ()к'с) при п = 1, то поспенциалы У„'"' и У„'" принадлежат. классу С' (( == О) и Волновои потно!циол 919 (30') (32) 4 (вгаг)» йо (х а!в) в) гЬ~ а!8(!)»" откуда вытекает, что Уо"' удовлетворяет оценке (31): ! Уон'(х, !) ) ( так~ ио(х — а!в)1+а! гпахН(1гаг)»ао(х — а!в), в)~а~; ~»~ 1 ~5~ 1 ~ так ~по($) (+а! так ~ага!)„ио(х)( 5!», ао в<»; ао и принадлежит классу С'(!.~0), поскольку иоенСо(йо).
При п=2 замена переменных 5=х — агг) при !)О преобразует представления (29'1 и (26) для потенциалов г ! оленгворяют ог!енкам / Уо"' (х, !) / -! гпах ~ иг Я) (; (30) 3!»; ап / У„'"' (х, !)! .== ! гпах / и, Д) ~, и = 1, 2; иг»: ао /У,"'(х, !)!( гпах ~ио(5))+а! гпах ,'дгаг)иоЯ)(, (31) 5!»; ао з<»: аа )Уо"'(х, !)|~ гпах ~ио(з)',+а! гпах ~дгаг)ио($)(, (31') иин»о и<»; аа ! У,"'(х, !) )( гпах ~ ио(Е) ( (31") в<»: ао и начальным условиям У'„"! =О, " ~ =и,(х), д Доказательство.
Пусть п=3. Совершая в фор- муле (29) замену переменных х — 9=а(з, !)О, получим представление У,'"(х, !) = — „и, (х — а!з)г)з, В(Ог Г (34) из которого следует, что Уо" удовлетворяет оценке (30) н принадлежит классу Со(! ~ 0), поскольку и, ен Со(йо). Дифференцируя формулу (34) по ! н пользуясь (26), по- лучим представление для потенциала У,"". еу) Г о (т !) 4 ~ но(х огз)й 1 220 ониддмеитлльиое решение и злдлчд коши ~гл. ьп о, Уаао (х, 1) = — ~ а(т)— 8 (Г) Г оа (х — о(Ч) =2. 1 у(,„д й, оВ И) а (' (нгаб,и,(» — оГЧ), П) 2п ~) ~:.~. „а откуда и вытекают требуемые свойства гладкости и оценки (30') и (31') для потенциалов Уа'"' и У,", например, й~ ~ У,'"'(х, 1) ~ ( — гпах , 'и,(х — а1а)) ' ~ 1 гпах ! и, ($) (~ В~цинао о ' Р У! Соответствующие свойства потенциалов У'," и У", следуют из представлений (29") и (26), например: (» 1) 2 [ма (х+ о() + иа (х о1)а.
Теперь установим справедливость начальных условий (32) и (ЗЗ). В силу (27) и (28) зти условия выполнены в смысле сходимости в пространстве М'()та). Но по доказанному функции У'„"(х, 1) и У'„'(х, 1) принадлежат классу С'(1)0). Следовательно, зги функции удовлетворяют условиям (32) и (33) в обычном смысле. Теорема доказана.
Замечание. Формулы (29), (29') и (29") формально следуют из формул (20), (20') и (20"), если в них положить 1(1, г)=и, (1) х Хб (т) и «проинтегрировать» б (т). $13. Задача Коши для волнового уравнения В этом параграфе мы применяем теорию обобщенных функций к решению (обобщенной) задачи Коши для волнового уравнения. 1. Задача Коши для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Прежде всего решим задачу Коши для обыкновен- 22! з»длч» коши для вол~!ового тв»знания » м! ного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами: ».и = — ион+ а,и'"-"+ ..+а»и =/ (1), (ь0, (1) и!"'(О) = и», А=О, 1, ..., и — 1, (2) где 7 ен С (( ~ О). Пусть и (!) — решение задачи Каши (1) — (2), Продолжим функции и(() и г(!) нулем на ((О.
Обозначая продолженные функции через й и ) соответственно й пользуясь формулами (14) ~~ 6,4 и начальными условиями (2), получим й!"'=(и»'(!)) + ~"„иб» ! "(1), й=1, 2, ..., и. Отсюда и из уравнения (1) заключаем, что ( ! ) ) ) и б !» ~ [ ! ) + ( а 1 и» + и ) б ~ ~ » ! ( ) + » — ! ...+(а„,и,+...+аг~~» з+и»,) б(1) =! (!)+ ~~ с б!'>(1), где с»=а,,и»+ ..+а,и„,+и„„..., с„,=а,и,+и„ с„, =и» Таким образом, функция й в обобщенном смысле удовле- творяет в Й! дифференциальному уравнению (.й =!'(1)+ ~' с„бои(1).
(3) Построим решение уравнения (3). Функция Ж (1) = = В (() У(1), где Е.2=0 и 2(0)=Я'(О) ...=Е'" "(0)=0, 2'" "(О)=1, (4) есть фундаментальное решение оператора (, (см. 5 11,б). [1оскольку 6 и правая час~ь уравнения (3) принадлежат сверточной алгебре обобщенных функций .Ы' (см. Ь 7.7), то, по теореме 4 1!.3, решение уравнения (3) существует 221 фтндлмантольное оешвиие и зодлчл коши !гл. гн и единственно в Я.'ь и выражается сверткой « †! и — ! (!-2. )- ! Х.
° «- г=о о=о — ! = 0 (() $ Л (( — т) ) (т) с(т+ 0 (() ~Ч~ ~с,Я!о! (О. (5) о о-о Здесь мы учли равенства Ж!о>(()=[0(()Л(()]!о'=0(()2'»'(() й=О, 1, ..., и — 1, справедливые в силу (4) (см 6 6.4, ()). Таким образом, решение и(() задачи Коши (1) — (2), будучи продолжено нулем иа ((О, удовлетворяет уравнению (3), решение которого единственно в алгебре М', Поэтому формула (5) при ( 0 дает искомое решение задачи Коши (1), (2): ! и — ! и (() = $ 2 (( — т) ~ (т) !(т+ '5' с„Л!" ! (().
(6) В частности, формула (6) для задач Коши и'+аи=) (П, и (0) = ио', и"+а'и=)((), и(0)=ао, и'(0)=ао (у) (8) принимает соотве~ственно вид ! и (() = ) е '" 1! ) (т) !(т+ а е о (9) Поа =*)(х, П, ди ~ а~ =ао(х), — ~ =а,(х). 1!-о ' дГ !!-о Считаем, что ) ен С (1 ) 0), ио я С' ()т") и и, ы С (г("). (1Ц (12) и(1) = — з(п а (( — т) ) (т) !(т+ по соя а(+ а! —. (10) 2.
Постановка обобщенной задачи Коши для волнового уравнения, Схема решения задачи Коши, изложенная в предыдущем пункте для обыкновенного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, применяется для решения задачи Коши для волнового уравнения 223 ЗАдлчА ко!Ии для волнового кговнения е ~з! Предположим, что существует классическое решение н(х, !) задачи Коши (11) — (12). Это значит, что функция и класса С' (()0) () С'(( хО) удовлетворяет уравнени!о (11) прн !)О и начальным условиям (12) при (-о- +О (см.
2 4.2). Продолжим функции и и ! нулем при ((О, положив и, 1~0, - <), (-=-О, й 0,(<0, )<О ! О, Покажем, что функция й(х, !) удовлетворяет в )с"" волновому уравнению с'.„й=!(х, !)+ио(х) б'(!)+и,(х) б(!). (13) действительно, при всех Ч~ ы Я (Йо') имеем цепочку ра- венств (ьз й, ф) =(й, П,гр) =~,) и П,Ч:дха! о к" = 1! ш ~ ~ и ( — „,", — а Ьф) г(х г(! = е Ле 1!пт~~ ~ (, — а~Ли грг(хг(!— 1е ко кл = ~ ~ МЧ дх е(( — ~ — -' — ' — и (х, 0) е(х+ йр(х, о) д! о Л» ял + < ор(х, 0) "(,' о(х=- ~ фйхе(!— яо ко ~ ао(х) о! ах+ ~ а1(х) гр (х, 0) о(х= дср(х, 0) Ко к" = (! + и, (х) б' (!) + и, (х) б (!), ор), откуда и вытекает равенство (13).
024 огндлмантвлыюе решение и звдлчя коши (гл, пз Равенство (13) показывает, что начальные возмущения и, и и, для функции й (х, () играют роль источника и,(х) б'(1)+и,(х) б(1), действующего мгновенно при 1=0; при этом начальному возмущению и, соответствует двойной слой и,(х) б'((), а начальному возмущению и,— простой слой и,(х) 6()) на плоскости 1=0. Далее классические решения задачи Коши (11) — (12) содержатся среди тех решений уравнения (13), которые обращаются в нуль при ( =О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
