Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 29
Текст из файла (страница 29)
(21) Фундаментальные решения 6ь и Ж удовлетворяют-соотно- шению й'~ (х) 1 (() = Ж ь(6 (х) ° 1 (()1. Физический смысл этой формулы состоит в том, что Жь(х) есть (не зависящее от () возмущение от источника 6 (х) 1 ((), сосредоточенного на оси ( (ср. 6 11.3). 5. Фундаментальное решение линейного дифференци- ального оператора с обыкновенными производными. ллй дл-ф ЕЖ= — — „,„+а,— „, +...+а„6 =6((), В 9 6.4, 1) (см. также 9 10.5, й)) было показано, что фундаментальное решение этого оператора выражается формулой ж (() = 9 (() г ((), где х (() удовлетворяет однородному уравнению ЕЕ = 0 и начальным условиям Л (0) = 2' (0) =... = г'" " (0) = 0, 2'" " (0) = 1.
В частности, функции о'(1) 9 (() е еч Ж(1) =9(()— (22) (23) 6. Фундаментальное решение оператора теплопроводности. дЙ вЂ” — а'Ье 6(х, (). (24) являются соответственно фундаментальными решениями операторов вь ш 'вР— +а — +а'. % и) лииенныв диФФаевнцихльныв опеРАтогы В 2 5.5, 1) было показано, что решение уравнения (24) выражается формулой в (() Ж(х, ()= „е '" и, следовательно, эта функция является фундаментальным решением оператора теплопроводности. Выведем формулу (25) методом преобразования Фурье, Для этого применим преобразование Фурье Е„(см з 9.2) к равенству (24): Е„([ — ] — а'Е,,[Лб]=Е'„[6(х, 1)], и воспользуемся формулами (21) и (22) 2 9.3: Е„[6 (х, ()] = Е, [6 (х) 6 (()] = Е [6] Д) .
6 (1) 1 ($) 6 (1), ~М~ д„. В результате для обобщенной функции Ж (э, () = = Е,[е]($, 1) получаем уравнение — +а1$1'8(5, () =1($) 6(1). (26) (25) Пользуясь формулой (22) с заменой а на а'~~~', заключаем, что решением в е7".' уравнения (25) является функ- ция Ж(5, 1) =0 (1)е-"~е~ч. Отсюда, применяя обратное преобразование Фурье Ее' и пользуясь формулой (38) 2 9.7, получаем равенство (25): Ж (х, г) = Е~ ' [е К, г)] = 1мн — ] е- ' ~ыч — ~(ь 1г(5 е ыч е р) е , , е р) (2л)л (2а УЙ) 7. Фундаментальное решение волнового оператора. [],Ж„=б(х, (). (27) Применяя к равенству (27) преобразование Фурье Е и действуя, как в предыдущем пункте, вместо уравнения (26) для обобщенной функции Е„[8„]=а„($, 1) получаем 2ОО ФундАментАльное Решение и зАдАчА кОши (гл.!11 уравнение "а„' +а'~1~'~.6, ()=1%) б(1).
(28) Пользуясь формулой (23) с заменой а на а~$), заключаем, что решением в аУ' уравнения (28) является функция 8„(~, г)=э(()"",",~". Следовательно, ла(х ()=)а('(б 6, ()]=э(1)р1'~ ~ (29) Пусть п=3. Тогда из формулы (40) $ 9.7 выводим откуда и из (29) получаем е,(х, ()=4 „бз„(х)= — „б(а'(' — ~х!'), (30) причем обобщенная функция Ж, действует по правилу: ! Г Ш ( В гк) 4лаа ~ ( Яа~ь о 4лаа ~ 1 ~ 'Р(х~ 1) 4(5кс(1~ гр ~ Р'()7 ). (31) О 3„ Аналогично, пользуясь формулами (26) 5 9.6 и (43) 2 9.7, получим (ср. 2 6.5, и)) Жа(х, Ф) = 2-,0 (и( — /х!), 1 З (а1 —, к ~) (32) , (х, ( = 2ла)' аи' — ~ кп Для получения фундаментального решения Ж,(х, 1), х=(х„х,), воспользуемся также методом спуска по пе- еменной х, (см.
2 !1.4). Зля этого нужно показать, что ,(х, х„г) допускает продолжение (16) на 'функции вида гр(х, Е) 1(ха), где грея Я ()т'), Пусть т)к ~ Я ()7') и последовательность ~)А(х,), й = 1, 2, ..., стремится к 1 в Я'. Тогда, пользуясь (31), ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНПИАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 201 4 11! при всех 1р ~ Я (Рсз)' получим (1гп (Ж0, 1Р (х, !) т)„(х,)) = л <ю СО г ))ГП вЂ” ! — ! 1Р (», !) «)1, (Х0) 1(51() 4П00,) 0 З„ так что этот предел существует и не зависит от последовательности 111)„!. Отсюда, применяя формулу (20) „заключаем, что при всех 1р ен Ы (Я0) Преобразуем последний интеграл.
Так как 1р не зависит от хз, то, заменяя поверхностный Рис. 4!. интеграл по сфере 5„=(~ х(0+ +х(=ОЧ0! на удвоенный интеграл по кругу )х((а! (рис. 4!), получим !) 1х~<01 откуда и следует формула (32) для 80. Аналогично, пользуясь формулой (2!), получаем методом спуска по переменной х, формулу (32) для й!2 ааУНДАМЕНТАЛЪНОЕ РЕШЕНИЕ И ЗАДАЧА КОШИ !ГЛ, ПИ фундаментального решения Ж,(х, !): Оа Жа(х~ 1)= ) Жа(х. Аа. ()а(ха= ОЭ 1 ~ 8 (а! — 1' ха +х,') — ' ЙХ, 2аа Д 'а' ан' — х' — х1 ааШ хз В(а! — ! х ') (' аха а 8(а! — ! х !) Ч' йи 1 = — О (а( — ~Х!).
ла ~ а'1 — и' 2а в. Фундаментальное решение оператора Лапласа. бЖ„= б (х), (33) В й 6.5, 4) было показано, что функции Жа(х)=2 1и!х!ф Жх(х)= 2 — )х~ "', л=х3, (34) ! 1 (а — 2) а„ 'являются фундаментальными решениями оператора Лапласа. Вычислим зти фундаментальные решения методом преобразования Фурье. Применяя преобразование Фурье к равенству (33), получим (35) Пусть п = 2.
Проверим, что обобщенная функция — (р — (см, 3 9.7, д)) удовлетворяет уравнению (35).' 1 1а!' А(ействительно, (1~! ~ !5!" ~) = ( 6 !е! 'Р) = (' !Вам( — !Ва(р($)!Вадь+ ( !$!аф($)„ ! $ !а ) 1 а ~а !1!(! !1') ! =) Ч($) 4=(1, ф), р~,9'. Следовательно, в соответствии со схемой $11.2 можно положить г(Ж,) = ген — - — = — ба —,. ! — АР !$!а' линепные диффегвнцилльные опеглтоэы 2ОЗ 4 Ц! Отсюда, пользуясь формулой (41) 2 9.7, получаем 92(х)=Р-2~ — У вЂ” ~ = ! )с!» = — — Р)~У вЂ”,— т~ = — !п'х!+ — ".
(36) 4л» ~ !й!и~ 2л 2л' 1л' "= ~ ~~ 1' Отсюда при п=3, пользуясь формулой (44) 9 9.7, получаем В2(х) = — —. 1 (37) Аналогично вычисляется и Ж„(х) при п -'3, Особенно просто Ж„(х), и ) 3, строится методом спуска по переменной ! (см. 2 11,4) из фундаментальных решений оператора теплопроводности или волноврго оператора. Например, пользуясь формулой (21), из (25) при а=1 получаем формулу (34): ».и- — (и<*, и»»= — ~ и 1х' и»» р —.
— 2 = — — ~ е-"и' т(и и!2 ~и !» 4т д)„, (2 !' л!)и — !х(-и»2, п)3, ! (л — 2) аи 9. Фундаментальное решение оператора Гельмгольца, (Ы- ли) 9, = б (х). (38) Так как постоянная удовлетворяет однородному урав. нению Лапласа, то, отбрасывая в (36) слагаемое — ', 2л' убеждаемся, что фундаментальное решение Жи(х) можно 1 выбрать равным — !и ! х !.
2л Пусть теперь п)3, В этом случае функция — !В!-2 локально интегрируема в Йи и потому, в соответствии с 9 11.2, 2О4 ФундАментАлъное Решение и зАдАчА кОши [гл н! В 2 6.5, е) было показано, что ем!к' е — !о~к! ~з(х) = 4л к!' Жз(х) = 4л ~ (39) — ф)!Ндаменталш!ые решения оператора Гельмгольца при п=3, Формулы (39) с!)раведливы и при комплексных !е. Вычислим Жз (х) методом преобразования Фурье.
Из (38) имеем ( — !В/з+)ез) г"'1оз) = 1. Возьмем решение уравнения (40) в виде ! 1 Ф ко+!о — !о' оз+!о — 14, ' (40) Здесь использовалась формула 6.532, 4) из справочника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [1); Н!!1, 1=-1, 2,— функции Ханкеля (см. 2 23,8); пределы понимаются в смысле сходимостн в пространстве ор". Итак, функции Фз(х) = — — Но" ()е ~ х ~), Жз(х) — Но- (й1х ~) (41) — фундаментальные решения оператора Гельмгольца при и =2.
и, следовательно, в силу непрерывности преобразования Фурье, 1 8з (х) = Е-! ') . 1 Г е о!Ь "> олз 1!гп )нп 3 оз 'е — 1з з "(ь л + З -1-1е— $!~й и зл Ип! 1(гп е зо ! к ! коз Фо(оре(р ! р 4л е +о л о! зз+!е Рз о л 1 ( Руо(Р1" ') 2л + о л,,) е~+ 1е — Р— — и Ко( — 1)~ )зз+ (е ~ х ~) 2л е .1-о 1 1 Ко( — !)е,'х !) = — — Н',"(л!х!). 2л 4 Н! ЛИКЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕ!ШКАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 3!Б При и= ! фундаментальные решения удобно взять и виде (см. ч )!.5) Ж, (х) = — я и йх — — + — = —. е'» ' В (х) . х!Н»х сса Ах ! » х» 2И 2»д Ж1 (х) = — ! е-о~к~ (42) (О. Фундаментальное решение оператора Кошн— Римана, дуЖ=5(х, у).
(43) В ~5 6.5, )) было показано, что Ж(х, у) = —. лг (44) (!. Фундаментальное решение оператора переноса"). ! дЖ вЂ” — '+(з, дгайЖ)+иЖ,=б(х, 1), !3!= !. (45) Р д! Отсюда, пользуясь формулой (22), заключаем, что решением из ФУ' уравнения (46) является функция ол (я, 1) =од (1) е!!<», Н-Ф!и Применяя теперь обратное преобразование Фурье ?т!".
Ж (х, В = Р'»' [Ж*(5 1)[ оа (1) е х ср-1[ем», м»Р) и пользуясь формулой ()!) ч 9.2 при х =о(з Г-'[е"' н "1=5(х — о(з), получаем фундаментальное решение оператора переноса Ж»(х, 1)=од(1)е 'б(х — о(а). (4?) ») См. % 2.4., Применяя к равенству (45) преобразование Фурье Р„, для обобшеиной функции Р"„[Ж,) = о, Я, 1) получаем уравнение ! дЖ ($, !) — +[а — 1(з, $)]Ж,($, 1)*=((в) б(1). (46) 2!)6 ФундАментхльнОе Рец!ение и зАЛАИА кОши (гл, н! Для вычисления фундаментального решения Ж", (х) стационарного оператора переноса (З, дгас) е",)+аок=6(х) (48) воспользуемся методом спуска по переменной ! (см.
4 11,4). В результате, в силу (47), при всех ч ~ Я ()7з) получим (вака, ф(х) 1 (!)) = пг) и-па'(6 (х — о(з), гр(х)) с(! = а ц ~ е-аыгр (о(з) с(! ~ е «игр (аз) г(п о а — б~з — — ",), <р), откуда, в силу (20), вытекает, что е о'"' ! х! Ж",(х) = б з — —,). !кд ( (х()' (49) Из (49), в частности имеем 1 а с-и!к! 4л ,) ' 4п к '' — ! Ж;(х)г(з= —. 5, (80) — ( — ) Ь (аа!з — ! х (а), е (!) / б ! 2 2ла (,лаз г(гз) и =- 3 — нечетное е(аг — (х 0 2ла (лаа Йа!~ — ! — — ! )'аз!а — ~к1а ' Жв(х, !)= и за 2 — четное, являются фундаментальными решениями волнового оператора () . Ь) доказать, что фундаментальными решениями оператора Клейна — Гордона — Фока (л+ш( (см.
$2.8) являются обобшснные функции Ок(ха, к)= — 6(х! — 'х'з] — — Е(ха — !х') — 'а ' (82) Е(х) „..., у,(ш,)гх; — Г 2л 4л р'к~- к ' н (уа (ха х)=()к ( — ка х); здесь у! — функция вессс.гк. !2. Упрамнення. а) Пользуясь формулой (29), показать, что обобшениые функции линпннып днвопрдннилльнып опнрдторы 2()) т !1! с) Доказать, что обобщенные функции 0~ (х„х) = —, Е [Е (Ц) б Я вЂ” ! Ц !з — т!) ), ! "("' х)= — 8,з; р(е( $,)бЯ вЂ” )В~! т!)! ! (53) чдовлетворяют уравнению Клейна — Гордона — Фока и соотношению 0з ! 0- — 0г 0а з мн (х х) = — — ! У уь — -)- тз! 0г (хе, х), (54) дх, е где 0' определена в (52), есть фундаментальное решение оператора Дирака (см, 6 2.8) з 7, уь — — те! Ж=б(хе х)1 д дхь ь=о е) Пользуясь формулой (39) 9 9.7, показать, что функция Ж(х, !)= — е(!)= 1гт — 'е зч!' У2» Р' 2пл| (55) является фундаментальным решением одномерного оператора Шредингера д Д' дз гд + — —,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
