Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 25
Текст из файла (страница 25)
(24) Действительно, при всех <р($, Ч) ~ вх'(Й"~'") имеем (Г[)(х).д(у)[, гр) =(!" (х) й(у), Р[<р))= =(Пх), (й(у), ЕчР4[~1» =«(х), (РЫ, Ет[~~»= =(~(х) Е[й«Ч), рты) =(Е.У(х) ЕЫ(Ч)1, Ч) = =(РЫ(ч), д(х), РВЫ»=(ЕЫ(ч), (РИ(е), <р»= =(ЕИ(в) Р[й[(ч), р), откуда и следуют равенства (21).
й) Аналогичные формулы справедливы и для преобразования Фурье Р,„например: если г(х, у) е:-вр" (Я"' ), то Втоар„Щ= Г <((<х) 0~~1 (22) р.)р",Я[ =( — й) ~!ф..щ. 4. Преобразование Фурье обобщенных функций с компактным носителем. Теорема. Если !' — финитная обобщенная функция, то ее преобразование Фурье принадлежит классу Вм и представляется формулой ЕИ(Б) =Ч(х), Ч(х)е<" "'), (23) еде Ч вЂ” любая функция иэ б', равная 1 в окрестности носителя Г". Доказательство. Учитывая равенства (6) З 8.3 и (!6) з 9.3, при всех' <р еи вх' получаем Р"ЕН, ч) =( — 1) "'(РИ, В'т)=( — 1)'"<(~. ЕЯ" рЪ= =( — 1)'"'(/', Ч(х)( — <х)" РЯ) = = () (х), ~ Ч (х) (<х)'" <р ($) е' и '> <(Ц.
эз1 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Из представления (24), как и при доказательстве леммы у ?.1, выводим, что 0"РЯ~С(>т«), так что Т[?]~С ()А>"). Далее, по теореме Л. Шварца (см. $ 8.2) существуют такие числа С)0 и р)0 (р — целое), при которых справедливо неравенство (3) 9 8.2. Применяя это неравенство к правой части равенства (24), получаем оценку 10 Р[):](й) (=>(р, т)(х) (>х)'*еце «>) / «С>>т)(х) (1х)'*е>к «> ]р =С Бпр (1+)х>)Р>0Р[т)(х)Х«е'Ц ">])( >в!~р «мя" ~С«(1+~$~)', $ен)?", из которой и вытекает, что г[1]евам (см. 9 8.Ц.
Тео. рема доказана. 5. Преобразование Фурье свертки. Пусть ?~ох" и д — финитная обобщенная функции Тогда "[) Ф у] =" [ЫГ И. (25) Действительно, в силу 9 8.6 свертка ? Фу ~ох" и представляется в виде (>«Ф й, Ч>) = (? (х), (д (у), т) (у) Ч> (х+ у))), тр е= ФУ, где т)ен!х, т)=1 в окрестности зпррд. Учитывая это представление, при всех фен РУ' получаем (РУФУ], Р)=Сей, У[Р])= (~(х), (д(у), т)(у) ~ Ч>(Б) е>к +е> Е> ав)). Принимая во внимание, что, по теореме З 9.4, г" [у] ~ Вн, и пользуясь формулами (15) з 8.5 и (23), преобразуем полученное равенство: (г [>'Фд], тр) =[?, ~ (д, т)(у)е'ц Р>)ена «>>р($)д$) = =(?, ')г [у]($)>р(4)е'<В ">т(р) = д, у[у[у] тр]) = =(рй Ча] р)=(уЫ~И, р), откуда и вытекает формула (25).
6. Примеры, и 1. я а) г[о(Й вЂ” ~х>)]= ) е>"«ах=2 . (26) — я ь) а (2?) ововшвнные Фгбкции (гл, и Лействительно, Ф 1 г -е+~ — о »с[8 а»1= ~ е — ~»™+Фиг(х е а с(о а ~ и — —, с — (о+ — 1 1 И а (28) По теореме Коши при любом й)О имеем ~ е- м аь = О, ь = о+ (т, сл (29) где контур Сл=сцЦсаа13Ы3(а изображен на рис. Зб. Рис, 36. Но на отрезках (-„=[О~тра, о=.+. (т1 ~ е-М ~ = ~ е-е'+"-Ям» ~ = е-"'+»* —.'-~ О, Д ~ со, »е(0, а~ а потому справедливо равенство !!гп (~ + ~~е-мйь=О, и с»~» -/ Осталось доказать, что линия интегрирования !гп1=— $ в последнем интеграле может быть сдвинута на вещественную ось, т.
е. что при всех а ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 167 откуда, пользуясь (29), получаем равенство (23): о ! -"л- !' ~ ! -~- !) с'44- и- сл я со! !4са са оо ~ е-"4(о — .~ е-~'4(4.=0, — со с-м с) у[ЕМ*)=)сПЕ 4 (30) Действительно, из сходимости несобственного интеграла (интеграла Френеля) оо 4л ~ еЬ*4(у= !/Пе4 вытекает равномерная сходнмость по $ на каждом конечном интервале несобственного интеграла со Ас е44 +мт4(х= 1!Пт ~ е4м+4'тс2х= м со,и М со м ( $)4 Ас+— $ 4 ~с+ — 4$ 3 = 1пп ~ е 4 Е/ " 4(х е 4 1!гп ( е4У*4( -м ее у— М оо М со М.!.
$ 3 з е ' ~ е44Р4(у Уне Таким образом, мы доказали равенство (30) поточечно при условии, что преобразование Фурье понимается как несобственный интеграл. Докажем справедливость этого равенства в РУ'. Пользуясь полученным результатом, при всех фееЫ, зпррсрс=( — 14', 14) имеем (г [ем*1, ф) = (е", у Ы)- и я 1е444г [ф) (х) 4(х — !ага $ е44 $ ф Д) е~лс 4Ц4(х -м — е М со Я АС 1ПП ~ ф($) ~ Е4м+4"!4(Х4!$ -м М со й АС 4л ~ ф(я) !Нп ~ е" +"!4(хЩ=)Гпе" ~фф)е 4 сЦ АС со М м- Ововшениые Функции !гл, и г [01=пб(В)+И' —, $' Р[В( — х)]=пб($) — (У !. $' (31) (3! ') Действительно, при всех а 0 имеем р [В (х) е-ак] ~ е-акмала дх ~+ гя е (32) Так как в(х)е- " В(х), п- +О в ах'", то, переходя к пределу при а- +О в формуле (32) и пользуясь непрерывностью иа ех' преобразования фурье (см. 3 9.2), выводим: е [в1 = —. с+ го (33) Применяя теперь формулу Сохоцкого (10) ч 5.8,. получаем равенство (31).
Равенство (31') устанавливается аналогично. г [т' —,~= — 2С вЂ” 2 !п)$(, е) (34) где С вЂ” постоянная Эйлера, и обобщенная функция Ю вЂ” определена в 3 6,6 Ь), ! )х! ! откуда заключаем о справедливости равенства (30) на основных функциях из Я. Но агг плотно в У (см. ~ 8,1). Поэтому это равенство справедливо на основных функциях из ФУ. (69 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ Лействительно, при всех !рея ор' имеем ("~ й )=( 4-" )= 1 Л [$Р! (х) — Г !(Р! (0) ,Ь + (' Р [З ! (х) [ (к~ Д [х! — 1 (А1>1 1 ') — ~ !(! ($) (е'"т — 1) ![$ ![х+ ~ — ~ <(! ($) е!Ут Щ !(х — ! !о!>1 1 со =2~~ (~)""„' ' [И +2~~ р(~) — '"'[~[х= о 1 1 оо 2[о!!!), !*я — 2) [о'!!! — '",*о!о= 1 оо ![о!!!) „! о1 — 2)о'!!!)'"~~ ~! о = — 2 ~ !р ($) (С+ [п ! ~ !) !$, откуда и вытекает формула (34).
1) В 9 6.4, ![) было установлено равенство б (х — 2лй) = — „!) Е»'. А = — оо А — оо (35) Нетрудно видеть, что ряды в равенстве (35) сходятся в РУ'. Пользуясь формулой (Ц), перепишем равенство (35) в виде !7О ОБОБЩЕННЫЕ соУНКЦИИ !тл, н Применяя зто равенство к ф сна', получим 2(Г с( — ссс,о) 2 о (6(* — сй),о) 2 л о(2 йс=( Х с!6с* — Й)1, о) = Х (б( — й). Р[ф1)= Х Р[ф1(й), т. е со со 2п ~Ч ', ф(2пй) = ~ Г[ф) (Й), (36) !с — со Л -со Равенство (36) называется формулой суммирования Пуассона.
Полагая в формуле (36) Ф ссссэ ф(х)=е 4 р[ф1($)==е ! (- О, Уг получим со — Ляс е- и* )/ — ~~Р е !, (37) Ф вЂ” со !с = — со формула (37) ° применяется в теории эллиптических функций. 7. Примеры, л=»2. а) Пусть квадратичная форма аух!х, =(Ах, х), А (ау), с, /=! вещественна и положительно определена: (Ах, х) ~ с! ) х (', о) О. Тогда ! Лля получения формулы'(38) с помощью неособенного вещественного преобразования х Ву приведем квадратичную форму (Ах, х) к диагональному виду (Ах, х) = (АВу, Ву) = (В'АВу, у) = ! у (з, )т! ПРЕОЗРАЗОЗАНИЕ ФУРЬЕ так что А-'= ВВ', бе! А (()е! В)'= !.
Отсюда, пользуясь формулой (25), получаем р[Š— (Ах, х)) ~У-(Ах, х)+ к'(х к)((Х ( (Ы В ( ~ е (Але, Ви+ ((Ь ВУ) ((у ! ( е — )У)'+((з ь У)((у 'ухк>е1 А 3 л л(2 ! в-з Г у' ((ан.у и") — — ~з$) ° Лл)2 — х (Ь Залп Л")2 — „(Ь А"ки ) л ))) Аналогично, пользуясь формулой (30), получим г(е((Ах х>]==У 4 е ' . (39) Лл)2 (л —" — — '(Ь А- М 'Уха! А с) Пусть Бз, (х) — простой слоИ иа сфере Вл в (те. Тогда Р[бз [=4П)() ~, (40) Действительно, так как 62 — финитная обобщенная функция, то, применяя формулу (23), получим Р[БУ 1=(Бзл(х), т)(х)е((! ">)= $ ))(х)е((! х)(Бл зя л 2л =)(2 ~ Е(Л(! х>(Й=ВУ~ ~ Е>я)!)""Езйнздзйр 3, оо 4п)(( — (()-!.
!$! д) Пусть п 2. Введем обобщенную функцию У--~ ! из ер", положив при (рея ,х) с> )х))! 1тд ОБОБШЕННЫЕ ФУНКЦИИ (гл. и Тогда Р (У вЂ” х) — 2П! П ( Б ( — 2ПСО, 1 (41) где + ~ !рД) О!!х, О)О$1(», 1 Г !х!>! 1 ЕО Г)Г ! фЯ) ~ (О!г !О!сахО 1) ЩО(~с(г+ О О Г ! Г + !рЯ) О!г,$!сахОЩО(~ДГ ! 1 =2 У-,')с!!!1г,! !!Π— !!х!х.-~ Г!Г +2п~ —,~ !р($) 38(г($()с($1(г 2 ) сЩЦ 'г ! х -!.)~гх)х1 г 2 )сщ ' ! х ! )"!"!х)х1 и = — 2Н~ !р Д) (СО+)п($1) !1$, ! са с.- ( '-'. " х.
— ~ Й!с!х О и ра — функция Бесселя (см. ниже, $ 23). Лействительно, при всех ф Она справедлива цепочка равенств ("1'й') =~'й "( )'= Р [<р)(х) — Е (!р1(О),( Г Р (ср)(х) (х )х + ) —, с(х* !х!С! !х!>! 1 - ~ — („(.~фаи ' -Ца~.+ !х(<! ыа ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ % 91 откуда и вытекает равенство (41). (42) е) Применяя к обеим частям равенства (44) 2 6.5 преобразование Фурье, получим И ~ Г+ Р) И ==,' ~И=. Так как — — локально интегрируемая функция в )с, то 1 й последнее равенство можно разделить на Ь в ВУ' Я'), В результате получим формулу (42).
1) Р~ 8(к — 'к )1=2 ипп~й~ =2 (46) () Пк-1к'! " ~$~ ).(ействительно 1 к ~<я я ьл (' ео ~ ..Ф,(„,,(„2„('к~к(к1$~)(, (~ )'л' — кк Л ,1 Р Рк „к Б =2~Я ~ У,();>(~~и) "д" =2п."лн(Й р 1 — ~Ф! Здесь мы воспользовались формулой 6.554, 2) из спра- вочника И. С. Градштейна и И. М. Рыжика 111.
(44) Учитывая, что функция ~х~-' локально интегрируема в Й*, при всех у ен ер' получаем следующую цепочку 174 (гл. и ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ равенств: ~р~1„.11 'р)=(1„* р'Ы)= ~1„° р)р111»- =!Нп 1 —, $ <рД)е«1 '>с(а<ах= ! ~(я ~< <1 «> 1югп $ <Р(6) ) з <зх<(В= я ое я лзп «1<реева = Ипт ~ <р($) ~ ~ ~ ~, р'<(трз(па<(6<(рта Я са О О О я < =2л1ип ) <р($) ) ) е" (<Он<(1«(рс($— я со Π— < =4л 1ип ~ ~ ~ н Р<(р<($. (45) О Так как 16! — ~а<Р = соз1$~)т (' сов~5!р ~ ! г ер 2 тО ВОЗМОЖЕН ПрЕдЕЛЬНЫй ПЕрЕХОд Прн )т-мсо ПОд ЗиаКОМ интеграла в последнем члене равенств (45). В результате, учитывая, что О получим (Г~ — „,~, <р) = 4л ~ 1 ., ($) ~ " 'Р<тр<($=2л' ~ Я<т'4, О откуда и следует формула (44).
а. упражнения. Пользуясь 4ориуламн <З1) н (31') н равенством 1 ! !У 1)ь — — ~У вЂ” ) (сн. $ 6.6 в)), показать, что и (~) 176 ПРЕОБРАЗОВАНИЕАЛАПЛАСА ч !е) а) Е[а!Кпх[=2ГУ вЂ” „, Р(бь — ~ Глз1йп$; ! Г 11 Ь) Р~б'- ~- — [61, Р[1 11= — йб' —; ! ч 1 кд~ кд ! с) Р [0(х) к[= — (лб' (6) — бд —. зз' б) Доказать, что ряд адб (х — й), ! »д [ ~ с (1+ [ й [) м д= — со сходится в еУ ()(д) н а*б (х — й) ~ аде'".. е) Пользуясь теоремой 4 8.4, доказать: если ) дн ЯГ' ()7») сфернческв.снмметрячна (т.
е. 1(Ах)=[(х) для всех вращенвй А в )7») нлн лоренценнварнантна (см. 6 6.9) н зцрр[=(О), то соответственно )(х) Р (Ь)б(х) нля 1(х)=Р(П)б(х), где Р— некоторый полкном. 1) Пусть /щ ~'(А») н зцрр 7(7»; пусть далее т! — любая функцня класса з» ()7»), равная ! в окрестностн носителя 6 Доказать, что функция 7 (х) = (7 (ь) Ч (ь) е !к' Н). к = (к| .. . к,) = х + (у (46) не зависит от д), целая н удовлетворяет прн некотором т ) О н любом в ) О оценке [Г (х+(У) [(Се»Г»+е>!У! (1+[х !)м (47) Обратно, еслн целая функцяя )(к) удовлетворяет пря любом е~о оценке (47), то существует (едннственная) 1 ьз Я' ()7»), зцрр 7 с У» такая, что имеет место представление (46) (теорема Пейля— В н н е р а — Ш в а р ц а).
$10. Преобразование Лапласа обобщенных функций (операционное исчисление) Метод преобразования Лапласа является одним из мощных средств для решения задач математической физики. В приложениях, например в теории электрических цепей, этот метод часто называют операционным исчислением (Хевисайда). Основы теории преобразования Лапласа обобщенных функций заложены Л. Шварцем ~З] и Лионсом [11.
В целях простоты мы ограничимся здесь изложением тео- 1гл. н ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ рии преобразования Лапласа обобщенных функций с одной независимой переменной. *) !. Преобразование Лапласа локально интегрируемых функций. Пусть 1(!) — локально интегрируемая функция в йт, )(1)=0, 1(О и )! (1) !» Ае"' при !-«-+ ОО. Интеграл у (р) = ~ ! (1) е-в' е(Е, р = а+ !'о), (2) называется преобразованием Лапласа функции !. Функция У (р) — аналитическая в полуплоскости а) а, причем У (р) О, а — +Ох Действительно, в полуплоскости а)а подынтегральная й ункция в (2), в силу (!), имеет оценку 'р'(1) Е-р! !» ЯЕ-)о-а)! ! ! СО и, следовательно, абсолютно интегрируема. Поэтому интеграл (2) сходится равномерно во всякой замкнутой полу- плоскости анна+в, н)0, определяя тем самым аналитическую функцию У (р) при а)а, стремяшуюся к 0 при а- +со равномерно по со. Формула (2) в терминах преобразования Фурье принимает вид ,у (р) р[1(!)е-а)1( о)) а)а Зту формулу мы и примем за исходную при определении преобразования Лапласа обобщенных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
