Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 20
Текст из файла (страница 20)
операция прямого произведения коимутативна. Действительно, на основных функциях ф ен .й! ()св' ) вида ф (х, у) = Я и,(х) о,(у), и, ее лй!(Ь'л), о, ее .У (р"), (8) ! ! равенство (7) вытекает из определений (2) и (2'): !!1*!л! !. »1-(1, Х;!и .,!!!-д !!..!!л.;1- 1=! ! -(а Х !!. !)=!л!а1!!о. !. !=! Чтобы распространить равенство (7) на любые основные функции, докажем лемму о том, что множество основных функций вида (8) плотно в Ы ()сл"") (ср.
й 1.7). Ле м м а. Для любой функции !р ее сд (йл "') существует последовательность основных функций ф» (х, у), й = 1, 2, ..., лида (8), сходящаяся к р в сад ()сл'"). Доказательство. Пусть носитель ф(х, у) содержится в шаре (7я (рис. 32). По теореме Вейерштрассй 5 В. С. Владимиров !зо Ововшепные Функции ]гл. и (см. Ч 1.3) существуют полииомы Р»(х, у), й=1, 2, ...
такие, что )Оиф — 0'Р»)( — при всех (а((А и )х!'+~ у!'~8)7». (9) Пусть е(х) и й(у) — основные функции, равные 1 в шаре радиуса )7 и 0 вне шара радиуса 2)7 (по лемме 1 З 5.2 такие функции существуют). Тогда последоватевьность основных функций ф„(х, у)=е(х)й(у)Р,(х, у), й=1, 2, ..., обладает требуемыми свойствами. 11ействительно, ф» имеют вид (8), их носители содержатся в шаре ~ х'+! у ~'~ 8)7* М и, в силу (9), при любых а и й)!а! »»»2Я ((7 р — О»ф„~= ! М(у/ !рс Ои( йр )! Си ГЯ ! х !'+ ! у !» =-= 8Щ где С,— некоторые числа, не зависящие от и.
Это значит, что ф»- ф, й- оо "(г'~~у( ' в .у (Р'+'"). Лемма доказана. Пусть ф — произвольРис. 32. ная основная функция из М ()с"""). В силу доказанной леммы существует последовательность ф„ф„... основных функций вида (8), сходящаяся к ф в,У ()с»' ). Отсюда, пользуясь непрерывностью на ~ю ()с»" ) функционалов ((х) у(у) и у(у) ((х) (см. $ 7.1) и доказанным равенством (7) на функциях вида (8), получим равенство (7) и в общем случае: ()(х) д (у), ф) = !!пт () (х) гг(у), ф„) = = )пп (йс(у) ) (х), ф») = (у(у).~(х), ф).
3. Дальнейшие свойства прямого произведения. а) Операция пряного произведения ( (х) д (у) линейно н непрерывна относитеиьно ) (из .'У'()7») в .У'()т»+'")) и ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА гзг относительно д (из Ы'(/г'") в Ы'(/г"' )), например: Р./(х)+р/,(х)] д(у) =А!/(х) д(у)]+р//,(х) у(у)], / / е- ст,' (дл) уе- Я~ (/ни). /А(х).д(у)- О, /г со в Ы'(/г"""), если /»- со в 'Ю'(Р'). Докажем непрерывность. Пусть фе=.м (/г" ). По лем- ме ч' 7.1 ф(х) =(д(у), ф(х, у)) ~ лр(й"). Поэтому, поль- зуясь определением (2) прямого произведения, получаем (/„(х) у(у), ф) =(/„(х), (у(у), ч (х, у))) = = (/А, ф) -Р О, й-~- Со, что и требовалось.
Ь) Ассоциативность прямого произведения: если / ен У' (/г'), у ~ У ' (/г ) и и я Ы ' (/гь), то / (х) . [д (у) и (г)] = 1/ (х) у (у)]. и (г). (10) Действительно, если Ч ен 'д (/г" '«), то (/(х) !у (у) й(г)], ф) =(/(х), (д(у).й(г), ф)) = = (/(х), (у(у), () (г), ф))) = =(/(х) д(у), (й(г), ф)) =(1/(х).д(у)] й(г), ф). с) Дифференцирование прямого произведения: Р, 1/(х) д(у)]=Р"/(х) д(у).
(1 1) В самом деле, если ф ~ Ы (И""."), то (см, р 6.1) (Ра]/() ()] ) ( 1), ~г/() () Ри ] =( — 1)'"'(д(у), (/(х), Р"„ф(х, у)))= =(д(у), (Р«/(х), ф)) =(Ри/(х) д(у), ф). д) Ум ножен ие и р ям о го произведения: если а ~СО(/ТА), то а(х)]/(х) д(у)]=а(х)/(х) у(у). (12) Действительно, если ф~ Я (Р'" ), то (см. З 5.10) (а(х) 1/(х) у(у)], ф) =(/(х) д(у), аф)= =(/(х), (д(у), а(х)ф(х, у))) =(/(х), а(х)(д(у), ф(х, у))) = = (а(х)/(х), (у(у), ф(х, у))) =(а(х)/(х) д(у), ф). 1З2 ововщвнныв Функции 1гл, и е) Сдвиг п ря мого п рои введен и я: (г и) (х+ й, у) = ) (х+ й) д (у). (13) В самом деле, если е ен Я ()с"'"), то (см.
9 5.9) (().д)(х+6, и), ~р)=()(х) д(р), ч (х — 6, у))= =(д(у), (1(х), ф(х — й, у))) = = (д(у), ()(х+й), ф(х, у))) =()(х+й) п(у), ч). 1) Говорят, что обобщенная функция вида )(х).1(у) не зависит от у. Она действует по правилу: если ~реп енЯЯ"' ), то ()(х) 1(у), ч) =()(х), ~ 4 (х, у) г(у) =(1(у) ) (х), ~р) = = ~ () (х), ~р (х, у)) Ну. Таким образом, получено равенство ()(х), асср(х, у)г(у)=$()(х), Ч (х, у))с(у, (14) справедливое для всех ] я У'(Й") и ~реп У Я"' ). 4. Свертка обобщенных функций. Пусть |(х) и д(х)— локально интегрируемые функции в )с", причем функция й(х)= ~ ~й(у))(х — у) ~оу также локально интегрируема в Я".
Свергпкой ~ад этих функций называется функция () * д) (х) = ~ ) (у) д (х — у) ду = =)к (у)1(х — у) г(у=(де)) (х). (15) Отметим, что свертки ~ей и )))е~д~=л существуют одновременно и удовлетворяют неравенству ~ (~ е й) (х) ~ == ~й(х) (при почти всех х), так что свертка )еу оказывается также локально интегрируемой функцией в Я" (см. ~ !.4, о)). Поэтому она определяет (регулярную) обобщенную функцию, действующую на основные 'функции <р ~ Ы(Я") по правилу: 0*а, р)= = $ () е и) ($) ~р ($) Й $ = $ Ц д (у) ) ($ — у) Йу ! (р ($) ЙЕ = =)а(р) 9( — р) р(ипв( (р= = $д(у) Д) Г'(х) ~р (х+у) дх~оу А Т! ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕПИЕ И СВЕРТКА (в силу теоремы Фубини, см.
5 1.4, 'п)), т. е, (~оу, ~р)=~7(х)д(у)~(х+у)о(хо(у, срыЫ()Р'). (16) Отметим три случая, когда условие локальной инте- грируемости функции Л (х) выполнено и, стало быть, свертка )од существует и определяется формулой (!5). 1) Одна из функций / или д финитна, например зцрр у ~ Уя,.
$ и (х) о(х = $ ! и (у) ! $ ! 1 (х — у) ! о(х о(у == ия ия, ил ~ ~ !у(у)!о(у ~ У(е)~пв.= ия, и„ 2) Функции ( и д обращаются в нуль при х(0 (и =!): л(х) йх =~ ~ |д(у) ~ !)(х — у) ~ о(удх= — я оо =~ !у(у)!$ У( — у)!д ду=~!у(у)! у~ У(В~А-С У Ь о 3) Функции ( и д интегрируемы на й": ~ й (х) о(х = ~ ! д (у) ! ~ ! )' (х — у) ! о(х о(у = =! (у(у) ( у) !)'(е)!о(5(оз, гак что в этом случае свертка )од интегрируема на Я". Будем говорить, что последовательность (и„) основных функций из Ро()с") сходится к 1 в )2", если: а) для любого компакта К найдется такой номер й), что тр,(х) =1 при всех х~ К и й:=- й); )з) функции (т),) равномерно ограничены в Р" вместе со всеми производ- ными, ~0"т)о(х)~Р..С„х~)т", й=1, 2, ..., а — любое. Возможный график функций последовательности т), (х), й=1, 2, ..., при п=! изображен на рис.
33, Отметим, что такие последовательности всегда суще- ствуют, например: п„(х) =о)( — ), где нее од, т!(х) =! в Уь ~ А (' Докажем, что равенство (!6) можно переписать в виде Цод, ор) =!Пп ()(х)д(у), п,(х', у) <р(х+у)), (16') Й со р ~ У~ ()(а) овогщгнныг. жчпкп1ти ~гт и где т(,(х; у), 1=1, 2, ...,— любая последовательность, сходящаяся к 1 в )ст". Действительно, по доказанному функция с„! ! (х) у (у) ф (х+ у) ( интегрируема иа К'" и ((х)д(у) т!л(х; у) тр(х+у) ! -с,(~(х)д(у) тр(х+у) ), й=1, 2,... Л.алее, )(х)д(у) т),(х; у) Ч (х+у)- 7(х)д(у) тр(х+у), А- со почти везде в )тт". Применяя теорему Лебега (см.
Е 1.4, 1)), получим равенство ~) (х)у(у) чт(х+у)т(хт(у= = 1 пи ~ 1(х) д (у) т(т (х; у) тр.(х+ у) т(х т(у, что, в силу (16), эквивалентно равенству (16'). Исходя из равенств (16) и (16'), примем следующее определение свертки. Пусть пара обобщенных функций ( и д из этт' ()т") такова, что их прямое произведение ) (х) у (у) допускает продолжение (см. ~ч !.1О) (т'(х) у(у)~ тр(х+у)) на функции вида тр(х+у), где тр — любая функция из Я (ттт"), в следующем смысле: какова бы ни была последовательность (т)т! функций из .зт ()тт."), сходящаяся к 1 в )т", существует предел числовой последовательности !пп ()'(х) д(у), ть(х; у)Чт(х+у))=()(х) тт(у), ч(х+у)) и этот предел не зависит от последовательности Отметим, что при каждом А функция й„(х; у) тр(х+у) принадлежит Ю (ттт"), так что наша числовая последовательность определена.
ЙРямов пРоизигдгпии и сиииткл Сверпжай )ад называется функционал Иву, ф)-(1(х) у(у), ф(х+у))= =1)гп (~(х) и(у), а)а(х; у)ф(х+у)), фен ей«(йч). (17) Докажем, что функционал )'иу принадлежит с«'()ч«ч), т. е, является обобщенной функцией. Для этого, в силу полноты пространства лд'(еса) (см, 5 5.4), достаточно уста- новить непрерывность линейных функционалов ()(х).д(у), т)е(х; у)ср(х+у)), 1=1, 2,, (18) на Я ()с"). Пусть ф„-~-О, и-:ю в сзу(К'), Тогда т)а(х; у) ср„(х+у) — «-О, т«-исл в бу()7зч), поскольку т)а~ "В()сз««).
Отсюда, в силу непрерывности функционала )(х) д(у) на Ы ()7зч) (см. 5 7.1), получаем (7(х) у(у), т)а(х; у) ф,(х+у))-+.О, т-~-ск«, что доказывает непрерывность функционалов (18) на Ю ()гч). Заметим, что, поскольку ср(х+ у) не принадлежит $," ()сзч) (она не фпнитна в )сзч)), правая часть равенства (17) существует не для любых пар обобщенных функций) ну, и, таким образом, свертка существует не всегда.
Пример, Свертка любой обобщенной функции )' с 6-функцией существует и ровни )', )' а«6 = 6 ж )' = ) . Действительно, пусть ф ея ГР" ()ти) и (т)„) — любая после- довательность функций из .Ы ()сзч), сходягцаяся к 1 в )7ач. Тогда т),(х', 0) ф(х)- ср(х), й-«-оо в схт ()ч«ч), и поэтому 1пп ()с (х) . 6 (у), т)а (х; у) ср (х+ у)) = = 1пп ()'(х), т)„(х; О) ф(х)) =(), ф), а- ° с« Отсюда, в силу определении (17), следует, что свертки )вб и 6*) существуют н равны ), что и утверждалось.
За««е чаи не. Смысл формулы ) Г'чб состоит и ъщ, что асякую обобщенную функнию Г' мои но разложить но б-функниям, что формально часто занисыаают так: )(х) =-) )(5) б(х-а) ««и. ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ ггл. н Именно зту формулу и Иммет в виду, когда говорят, что всякое материальное тело состоит из точечных масс, всякий источник состоит из точечных источников и т. д. 5. Свойства свертки. а) Линейность с в е'р т к и. Свертка 1е а — линейная операция из Ю' в .Ю' относительно 1 и а в отдельности, например: (М+р1х) Фа=а(1еа)+р(1з еа) 1 1, а ен ~'. при условии, что свертки 1*а и 1,еа существуют.
Это свойство свертки непосредственно следует из определения (17) и из линейности прямого произведения 1(х) а(у) относительно 1 и а в отдельности (см. з 7.3, а)), Отметим попутно, что свертка 1еа, вообще говоря, не является непрерывной операцией из вх' в Ю' относительно 1 или а, например: б(х — й)-+.О, й- со в .й" (У), но 1 еб(х — й) =! ~ О, й-~-Оо в Я'Ях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
