Владимиров В.С. Уравнения математической физики (4-е изд., 1981) (1004030), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Ь) Коммутативность свертки. Если свертка 1еа существует, то существует и свертка ае1 и они равны: 1.а=ае1. (! 9) Это утверждение вытекает из определения свертки и из коммутативности прямого произведения (см. з 7.2): (1еа, ~р) = !!гп (1(х).а(у), тр,(х; у) гр(х+у)) = — !Ип (а(у) 1(х), т)з(х; у)<р(х+у))=(ае1, <р), чх~.вг, с) Дифференци рован не све ртк и. Если свертка 1еа существует, пю существуихт свертки !)1еа и1е0оа, причелх 01еа=П(1- а) =1ФЕуа. (20) Это утверждение достаточно доказать для каждой первой производной Вн 1=1, 2, ..., и.
Пусть ~р ен Ю(Яч) н т)з(х; у), й=1, 2, ...,— произвольная последовательность функций из Ю(йз"), сходящаяся к 1 в г(з". Тогда последоаательносгь пз+ — —, и=1, 2, ..., функций из дч„ дк, ' Я()сз") также сходится к 1 в Яз". Отсюда, пользуясь ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА 137 существованием свертки гад (см. В 7.4), получим следующую цепочку равенств: (07('7аа), р)= — (~ад, 0,р) = = — !Ип !7((х) д(д), т!»(х; у)'~~"+"~) = = В»п ( — [7(х) а(д)1, т)»»р(х+д)) + + !!»п (7(х) 'В (у)~ !»)»+В„) <р(х+у)) — В и (7'(х) д(у), »)»ч»(х+у))= » сю 1!п1 (07/(х) а(у), т)»а(х+у))+ » са +Уау ч) — (1 и р)=Ю*д ф) откуда и следует первое равенство (20) для 0;.
Второе равенство (20) следует из первого и из коммутативиости свертки (см. В 7.5, Ь)): 07 (7ад) =07 (дэ!') = 0;де=)'э 0;у. Из равенств (20) вытекают равенства 0а» Оаб,„) 6 в 0а» ) ~ уГ1 (21) Отметим, что существование сверток 0а) ад и 7*0ад, ! а ! ==: 1, недостаточно для существования свертки 7 а д и справедливости равенства 0а(ау=!" а0 д, например; В'а1=6В1=1, но ВВ!'=ВВО=О.
Другими словами, операция свертки, вообще говоря, не ассоциативна: (Ваб')В!=В'а!=1, но Ва(6'*1)=ВВО=О. б) С д в и г с в е р т к и. Если свертка !' * д существует, то существует и свертка ) (х+6) э!1(х), Причем 1(х+й) ад(х) =(~ад) (х+Й), Й ея Я", (22) т. е. операции сдвига и свертки коммутируют. Действительно, пусть т!»(х; у), к=1, 2, ..., — любая последовательйость функций из .У'()7»а), сходящаяся к 1 в )7»". Тогда при любом Л ы Р' посАедовательность т!»(х — й; у), а=1, 2, ..., сходится к 1 в Я»". Теперь, !за тгл.
и оаопшеиныа Функции пользуясь определениями сдвига (см. Э 5.9) и свертки (см. ~ 7.4), при всех ть ~ »2т()7») получаем (Дну) (х+)г), ф) =()ву, тр(х — )т)) = = 1(ш (1 (х) д (у), т)» (х — ул у) тр (х — )т+ у)) = !пп () (х+)г) у(у), т)„(х; у) Ч,(х+у)) = = (1 (х+ )т) в у (х), ф), что и требовалось. Здесь мы воспользовались формулой (!3) для сдвига пря(кого произведения. 6. Существование свертки. Установим некоторые достаточные условия (помимо указанных в з 7.4), при которых свертка заведомо существует в ьт'. Теорема.
Лусть 1' — произвольная и у — финитная обобщенные функции. Тогда свертка 7вд существует в .У' и представляется в виде (7'ьд, ~р)=(7(к) у(у), т)(у)~р(х+у)), <р~.бт, (23) где т) — любая основная функция, равная 1 в окрестности носителя у, Лри этом свертка непрерывна относительно и у в отдельности: 1) я У=~ если )»- О, lг — ~со в .У', то )»ьд-~О, й- со вЮ', 2) если у»-» О, )г-т-оо в »у' и при некоторолт Н А, х вирру» с:. (7я, то / ьу»~О, ! ! я-». ж в ер '. -А Доказательство. Пусть ьцрр у с: (7я, функция из .У (К»), равная 1 в окрестности зцррд, и зиррт) с:(7я. (По лемме! у 5;2 такие функции существуют.) Пусть, далее, ~р — произвольная функция из.'~ (Я»), зцрр трс:(ул и т)»(х; у), юг=1, 2, ..., — последовательность функций из Ы()ст"), сходящаяся к 1 в )7»» (см.
3 7.4). Тогда при всех достаточно больших я т( (у) т)» (х; у) тр (х+ у) = т) (у) ~р (х+ у). (24) Для доказательства равенства (24) достаточно установить, что функция т)(у)~р'(х+у) ен»гт()с»»). Но это сле- ь «! ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕР«кь дует из того, что она бесконечно дифференцируема и ее носитель содержится в ограниченном множестве (рис. 34): [(х, у): (х+у((А, !у(~й1с=.бл,нхбя.
Учитывая теперь соотношение (24) и равенство у=«)у (см. (8) 3 5.10), убеждаемся в справедливости формулы (23): () вй, «Р) = (нн () (х) д(У), «)ь(х; У) «Р(х+У)) = = ! пп () (х) «) (у) д (у), «)ь (х; у) «р (х + «)) = = !(гп (((х) д(у), Ч(у) ц„(х; у) «р(х+у)) = = ()(х).д(у), «)(и) «р(х+ у)), «Р ~ лэ. Непрерывность свертки (ау относительно / и у вытекает из представления (23) и из непрерывности прямого произведения ) (х) у(у) относительно ) и у в от- ! дельиости (см. ч 7.3, а)). При этом в случае 2) условие Рцрруьс:()я дает л возможность выбрать %«т«МР вспомогательную функ-' цию гь не зависящую от й.
Теорема доказана. А 7. Сверточная алгеб.' Ф ра обобщенных функ- ', ~ -д ций ь)'.. Совокупность 1 у гг) Р обобщенных функций из «Й«' ()т«), обращающихся ! в нуль при ( (О, обо- Рис. Зь. значим через Ю+. Т е о р е м а. Пусь«ь (' ~ й«». и у ~ й».. Тогда их свертка (ад существует в Ю+ и представляется в виде (1 У, Р)= = (7(() Ю(т), «)«(г) «)«(т) (р((+т)), «ран Ы()4«), (25) еде «), (() и «)е («) — любые функции класса С ()ч«), ровные ! в окрестности полуоси [О, ОО) и 0 при достаточно боль«иих отрицательных С При этом свертка непрерывна относипыльно «' и д в отдельности, например: если )„-Р О, й- ОО в ь~' и )ь ее Ю'+, то ), ау-~-О, й- ОО в й«'.
ОБОБЩЕННЫЕ ФУНКЦИИ (гл. и До к азател ьство. Пусть у(() — любая функция из 'Р(7т'), причем Бцрргр ~ ( — А, А); п~((; т), й=1, 2, ...,— любая последовательность функций из .'У (Й'), сходящаяся к ! в )т' (см. З 7А); пг((), (=1, 2,— любые функции со свойствами, указанными в теореме, причем 11,(Г) = О, — 66 можно считать, что А)6, и А)6,, Тогда при всех достаточно больших й справедливо равенство 11, (() г)з (т) Ч„(0 т) ~р (1 + т) = ти (~) т)2 (т) ф ((+ т). (26) Для доказательства равенства (26) достаточно установить, что фу~~пня п,(Ой,(т)н ((+т) е= Ы(йн).
Но это следует из того, что она бесконечно дифференцируема, а множество [((, т): 1~ — бн т~ — 6„!(+т! ~ А1, в котором содержится ее носитель, ограничено в )т' (рис. 35). Далее, по построению тн(()=! и 1)а(т)=1 в окрестности носителей 7(() и д (т) соответственно. Следовательно, по формуле (8) з 5,10 7(()-иг(()1(~), й(т) =н (т)а(т) Учитывая теперь эти равенства и равенство (26), убеждаемся в существовании свертки ) Ф д в йг' ()т') ' и в справедливости формулы (25): ()Ф д, ф = !пп (1(!) д(т), т)а(Г; т) ~р((+т)) = = 1нп (гн (() ) (!) ть (т) тг(т), т(„ ((; т) ~р (! + т)) = = ! Нп () (!) .
и (т), т), (() и, (т) т), ((; т),~р (( + т)) = = () (() а (т), гн (!) Нз (т) ~р (( + т)). Докажем, что ) яд =0 при (<О, т. е. что ) Фд ен.с."„ Пусть ~ран.9 (гг') и Бирр~р~[!(01. Так как носитель р — компакт в я', то, в силу леммы рейне — Бореля (см, З 1.1), Бцрря~~[( - — е] при некотором е" О. А тогда, выбирая вспомогательные функции гн (г) и т),(() равными 0' при (( — е/2, получим гн(() т)2(т) <р((-)-т) =0 в Ят, откуда и из представления (25) вытекает (Г Ф д, гр) = = (((() д(т), 0) =О, что и утверждалось (см. й 5.5). ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ И СВЕРТКА Непрерывность свертки г *д относительно г и у в отдельности следует из представления (25) и из непрерывности прямого произведения ) (!) у(т) относительно ) и у в отдельности (см.
3 7.3, а)). При этом вспомогательные функции Ч, или Ч, можно выбрать не зависящими от Г» или д» соответственно. Теорема доказана. С л е де т в и е. Свертка обобщенных функций из Ут+ обладает свойством ассоциативности (и коммутативности): Т з з (Тз в Т з) = (Т т з Т з) в Т з = Т з з (Т» * Т з). (27) Действительно, пусть вспомогательная функция Ч(!) удовлетворяет условиям теоремы. Тогда, в силу представления (23), при всех ф ~.У ()т') будем иметь (6 в (~з в )з), тР) = (6» (!) .
()з в ~з) (т), Ч (!) Ч (т) Р (! + т)) = = (й '» Ы (т), ()»(!), Ч (!) Ч (т) ~р (! + т))) = = ()з (т) 6 (т') Ч (т) Ч (т') (У (!) Ч (!) Ч ('г + т') Х Х<Р((+т+т'))) =([)з(т) Тз(т')].Т»(!), Ч(т)Ч(т') Х Х Ч (!) Ч (т+ т') тр (! + т+ т')). Здесь мы воспользовались леммой З 7.1, согласно которой (тт(() Ч(!)Ч(т) ф((+т)) ~ ~()» ). Учитывая теперь равенство К (т) ' 1» (т') ] Ч (т) Ч (т') Ч (т + т') = К (т) ' 7» (т')] Ч (т) т) (т ) (см. (8) з 5.10), продолжаем нашу цепочку равенств: (6»в(6*1»), тР) = =(Ь(т) 1»(т')] 1т(!), Ч(!) Ч(т) Ч(т) тР((+т+т')) Меняя местами )„)з и )з в полученном равенстве и прльзуясь коммутативностью (см. 3 7.2) и ассоциативностью (см. З 7.3, Ь)) прямого произведения, убеждаемся в справедливости равенств (27). Определение.
Линейное множество ее называется алгеброй, если на нем определена операция умножения, линейная относительно каждого множителя в отдельности. Алгебра а з называется ассоциативной, если всегда х (уг) = (ху) г; алгебра а Р называется коммутативной, если всегда ху =ух. ОБОБШЕННЫЕ ФУНКПИИ Ггл. и Доказанные в этом пункте теорема и следствие из нее утверждают, что ЮФ образует ассоциативную и коммутативную алгебру, если в качестве умножения взять операцию свертки Ф; .У+ называется сверпючной алгеброй.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
